考场仿真卷02-2021年高考数学（文）模拟考场仿真演练卷（课标全国Ⅱ卷）（解析版）

绝密★启用前

2021年高考数学（文）模拟考场仿真演练卷

第二模拟

本试卷共23题（含选考题）。全卷满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮

擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1.复数z=(l+2')2,则z的虚部是()

—i+2

A.1B.iC.-2D.-1

【答案】A

(1+21)2_(3+4z)(2+z)_-10+51

【分析】z=—2+z•墟部为1,

-z+2(2-z)(2+z)5

故选:A

2.已知集合4={%|(%-2)(%+1)<0},B=|XGZ|-1<X<1},则4泰3=()

A.(-1,1]B.{0,1}C.{-1,0}D.{-1,2}

【答案】B

【分析】VA={x|(x-2)(%+1)<0}={x|-l<x<2},B={xeZ|-l<%<1}={-1,0,1)

所以4门6={0』}.

故选：B

3.已知平面向量〃二(2,—1),b—(—3,2),则〃,(〃—B)=()

A.13B.1C.-1D.-11

【答案】A

【分析】因为2=(2,—1)3=(—3,2),所以2—石=(5,—3),

所以a.(a-Z?)=2x5+(-1)x(-3)—13,

故选：A.

4.劳动力调查是一项抽样调查.2021年的劳动力调查以第七次人口普查的最新数据为基础抽取相关住户进

入样本，并且采用样本轮换模式.劳动力调查的轮换是按照“2-10-2”模式进行，即一个住户连续2个月

接受调查,在接下来的10个月中不接受调查，然后再接受连续2个月的调查,经历四次调查之后退出样本.调

查进行时保持每月进入样本接受第一次调查的新住户数量相同.若从第左个月开始，每个月都有1的样本

4

接受第一次调查，上的样本接受第二次调查，上的样本接受第三次调查，上的样本接受第四次调查，则左的

''一4一4-4

值为()

A.12B.13C.14D.15

【答案】C

【分析】假设每月新增一组人，将其编号为1,2,3,4,……，则每个月接受调查的情况为:

1月：1；2月：1,2；3月：2,3；4月：3,4;5月：4,5；6月：5,6；7月：6,7;8月：7,8；9月：8,9；10

月：9,10；11月:10,11；12月：11,12；13月：12,13,1；14月：14,13,2,1；15月：15,14,3,2；可知到第14

个月开始，接受调查的有4组，并且分别是第一次调查、第二次调查、第三次调查和第四次调查.

故选：C.

5.已知｛4｝为递增等比数列，出，/5。4构成等差数列，则y()

4CI5十Cl~j

132711291

A.-或一B.-C.一或一D.-

884448

【答案】A

【分析】设等比数列｛4｝的公比为的

333

因为%Mq%构成等差数列，可得%+/%=2O3，即a闻+1,

2

整理得3d_8q+4=0,(q-2)(3q-2)=0,解得q=2^q=-,

aq(l+q2)_1_1

当q=2时,可得出上包x

3

a5+%4/(1+/)q8

比_2口日二+-_a“(l+/)_1_27

OQ——0J，-4712\—~~3'-o•

3%+。7%q(1+4)q8

故选：A.

3

6.已知sin[x-g则COS()

4334

A.——B.--C.一D.

555

【答案】C

【分析】cosf^+x37r71713

=cos----Hx—-sinX------

2335

故选:.C

7.已知圆C：Y+/一奴+2y—4=0关于直线/:x+y—l=O对称，圆。交x轴于A,3两点，则|AS|=

()

A.4A/2B.2A/2c.275D.75

【答案】A

a22

【分析】圆/—公+2y—4=0的标准方程为:x--|+"+1)2=5+?，

p-lb半径R」5+《.

圆心C：

4

因为圆+/—奴+2y—4=0关于直线/:x+y—1=0对称,

所以---1—1=0,解得：a=4,

2

所以圆心到x轴距离为1,

由垂径定理得：=2奴一仁2舟4加.

故选：A

8.蹴鞠，又名“蹴球”“蹴圆”等，“蹴”有用脚蹴、踢的含义，“鞠”最早系外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴

鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，类似今日的踢足球活动.如图所示，已知某“鞠”的表面上有四个点A,

B,C,。满足AB=8C=CD=ZM=QB=10cm,AC=15cm,则该“鞠”的表面积为（）

350万700〃

A.cm2B.2

33

D.350。岳晨

C.350^cm2

27

【答案】B

【分析】由已知得△ABD,ACBD均为等边三角形.如图所示,

设球心为。，△BCD的中心为0',

取的中点R,连接AR,CF,OO'，OB,O'B,AO,

则AF_L5D,CFLBD,得平面A/C,

且可求得AF=CF=5&cm，

而AC=15cm,所以NAFC=120°.

在平面AFC中过点A作CF的垂线，与CF的延长线交于点E,

由3D，平面A尸C,得5CA石，

故平面8CD，过点。作。GJ_AE于点G，

则四边形O'EGO是矩形.

则O'B=BCsin60°x-=(cm),o'F=-O'B=任(cm)，

33v723v7

AE=AFsin60°=y(cm),EF=AFsin30°=—(cm).

23

设球的半径为R,O0=xcm,

则由OO'2+0,32=052,o^=AG2+GO2,

得八世"，殍

7

解得％=5cm,R=4—^~cm.

故三棱锥A—BCD外接球的表面积S=4〃R2=22”cm2

3

故选：B.

9.用到球心的距离为1的平面去截球，以所得截面为底面，球心为顶点的圆锥体积为包，则球的表面积

3

为（）

A.16〃B.32zrC.367rD.48TT

【答案】C设球的半径为火，圆锥的底面半径为广，因为球心到截面的距离为1,

所以有：产=&2一］,

则题中圆锥体积V=gxlx（R2—1）»=与，解得尺=3,故球的表面积为4%R2=36〃.

故选：C

10.函数=--1cos的图象可能为（）

【分析】函数/（x）=°｝，

函数/（九）为奇函数，排除BC选项;

当0〈无<1时，=^<0,0<—<-,则cos]?]〉。，所以，/(x)<0,排除D选项.

xx2212J

故选：A.

11.我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的号长损益相同(辱是

按照日影测定时刻的仪器，密长即所测量影子的长度).二十四节气及号长变化如图所示，相邻两个节气号

长减少或增加的量相同，周而复始.已知每年冬至的号长为一丈三尺五寸，夏至的署长为一尺五寸(一丈

等于十尺，一尺等于十寸)，则下列说法不正确的是()

A.春分的署长与秋分的唇长相同

B.相邻两个节气号长减少或增加的量为一尺

C.立冬的号长为一丈

D.立春的号长与立秋的辱长之和为十五尺

【答案】C

【分析】设夏至到冬至每个节气的号长(单位：寸)

由题可知数列｛。“｝是等差数列，且6=15,《3=135,

设数列｛4｝的公差为d,则135=15+122,解得d=10；

设冬至到夏至每个节气的号长(单位：寸)构成的数列为｛"｝,

同理可知，数列｛么｝是等差数列，且4=135,伉3=15,数列｛4｝的公差d'=-10,

故相邻两个节气号长减少或增加的量为一尺，故选项B正确.

因为春分的密长为伪=135+6x(-10)=75,秋分的署长为为=15+6x10=75,所以A正确.

因为立冬的署长为％0=15+9x10=105,所以立冬的号长为一丈五寸，C不正确.

因为立春的署长为a=135+3x(-10)=105,立秋的号长为q=15+3x10=45,

所以“+4=150,所以立春的署长与立秋的辱长之和为十五尺，D正确.

故选:C.

一aInx

12.已知曲线G：/(%)=%靖在x=0处的切线与曲线G：g(x)=-----(。6氏)在％=1处的切线平行,

X

令丸(x)=/(x)g(x),则力(x)在(0,+8)上()

A.有唯一零点B.有两个零点C.没有零点D.不确定

【答案】A

【分析】/(^)=xex,：.(J;)=(1+x)ex,

「/、ilnx,/、。一41nx

又g(x)=——，，g'(x)=一；—,

XX

由题设知，/'(o)=g'(l),即(1+0)/="；叫.\a=l,

贝ij=f(x)g(x)=xex-Inx,

'x

.7，/\X,/(xlnx+1)^

•-h(x)=eInxd----=---------------，x>0,

xx

令讯x)=xln%+l,x>0,则加(x)=lnx+l,

当口时，m(%)<0,即函数加⑴=xlnx+l单调递减；

当x£，,+GO)时，m(x)>0,即函数相(％)=xlnx+1单调递增；

/.在(。,+。)上m(x)的最小值为根=1-->0,

/.m(x)>0,则〃(x)>0,

・・・网％)在(0,+。)上单调递增,且妆1)=0.

h(x)在(0,+。)上有唯一零点，

故选：A.

二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知DABC中，A=—,满足AC=2AB,则口M。的面积为

【答案】也

【分析】设=则AC=2m,

2»

由余弦定理可知：14=n?+4n?—2><7〃><27〃COS3-,解得根=夜，

所以口48。的面积为：▲•AC・AB.sin^=,x0x20xW=g.

2322

故答案为：5/3•

14.己知数列｛4｝的前〃项和为S“，q=2,2"S"=（2"—l）a“M，贝U数歹的前〃项和7；=

.与n+2

【答案】2-〒

【分析】由2t=（2=1）%+「得S〃=[l—?〉山

当“之2时，S〃_]=（1一，]。”‘两式作差,g=（1—!]4+1—[1一击]。"（"之2）,

化简得一^=2（〃22）,当孔=1时，S]=q=Lxa=2,a2=4,—=2f

an2q

.、nn

所以数列｛凡｝是以2为首项，2为公比的等比数列，所以%二2",故一an=9,，

_12n112n

（=万+齐+…+三,54=合+声+.•・+尸’

错位相减得;<=；+"+…一白，即北=2一2了.故答案为：2一仪?.

乙乙乙乙乙乙乙

15.已知三棱锥S—A3C中，SA=SB=SC,□ABC是边长为4的正三角形，点E,E分别是SC,BC

的中点，。是AC上的一点，且跖，SQ,若FD=3,则OE=.

【答案】布

取AC的中点连接阳、9/，因为口46c是边长为4的正三角形，所以A5=5C,因此ACL3H,

又因为S4=SC,所以AC_LS”，因为SHCBH=H,

SH,平面S3”,因此AC，平面S3”,而SHu平面S3”,所以ACLS5,

又因为点E,P分别是SC,3C的中点，所以EF//SB，而ERLSQ,所以跖，SD,

而ACnS£>=。，AC,SDu平面斜C,所以S3_L平面SAC,因为SHu平面胡C,

所以S5J_SH,

因为DABC是边长为4的正三角形，所以仃=,3。=2,CHaAC=2,

22

在□ABC中。尸=DC?+C/2—2•DCC•cosZAC3n9=DC?+4—2DC•2义工，

2

解得DC=1+#（负值舍去），设&l=S5=SC=x,

因为ACJ_S//，所以S/产=5。2_°〃2=X2_4，

因为ACJLBH,所以BA?=5。2一0/2=16—4=12,

因为如_1_阳，所以即/2=SB2+S42012=必+%2-4=%=20（负值舍去），

因为AC，S//,所以cos/SCH="=^=^n/SCH=45°,

SC2V22

历

在ODEC中DF?=DC?+CE?—2-DCCE-cosNACS=Q+娓了+2—2（1+4）.&><三=7,所以

DE",故答案为：百

16.共和国勋章，是中华人民共和国最高荣誉勋章，授予在中国特色社会主义建设和保卫国家中作出巨大

贡献、建立卓越功勋的杰出人士.2020年8月11日，国家主席习近平签署主席令，授予钟南山“共和国勋章”.

某市为表彰在抗疫中表现突出的个人，制作的荣誉勋章的挂坠结构示意图如图，。为图中两个同心圆的圆

心，三角形N3C中，AB^AC,大圆半径。4=2,小圆半径OB=OC=1,记S'为三角形。N5与三角

形OAC的面积之和.设阴影部分的面积为S,当S'-S取得最大值时cosZBOC=.

挂眩结构示意图

【答案】2)

【分析】过点。作8八3C于点。，则点。为8c的中点，又AB=AC,0,。三点共线，设

ry

ZBOC=a,aG（0,万）,ZAOB=ZAOC=7r——,

2

贝!JS=LX0X12一工xF*sin0=--—sincr,S'=2x—xlx2xsin（^-—）=2sin—,

2222222

从而S'-S=2sin---+—sincif,

人//、c.。。1.小、，,/、allaa.

令/（a）=2sin---------F—sincr,crG（0,7i）,j（a）=cos---------F—coscr=cos2——I-cos-----1,

由/'(a)=。，解得：cos—=――^或cos&=—)^―-(舍去),

2222

记CGS®1,6£(0《)

，/⑷在(0,6)上单调递增，在，。上单调递减，故当

8sg=近二1时，/(0)取得最大值，此时

22

cosar=2cos2--1=2xf——->1-1=2一君.

故答案为：2-若

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17〜21题为必考题，每个试题考生

都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

(-)必考题：共60分。

ac

17.(12分)在口钙。中，角A,瓦C所对的边分别为a,七c,且满足cosC=---------

b2b

(1)求角5;

(2)若口筋。外接圆的半径为有，且AC边上的中线长为姮，求口相。的面积

2

【答案】(1)y;(2)5

ac

【分析】（1）由cosC=---------，得2Z?cosC=2a-c.

b2b

利用正弦定理得：2sin5cosc=2sinA-sinC，

即2sin5cosC=2sin（5+C）—sinC,化简得sinC=2sinCcos5.

,/Ce（0,7r）,:.sinC^O,:.cosB=^

又5=y.

（2）由正弦定理得一2—=26nb=3.

sinB

设。为AC边上的中点，则姮，

22

uumUUUUU

利用向量加法法则得：2BD=BA+BC

两边平方得：4BD2=BA+BC2+2BABC=c2+O2+ac

由余弦定理Z?2=c2+4Z2—2accosB，^9=c2+a2—ac

两式相减得8=2QC,即々;=4.

由三角形面积公式得：SaABC=-acsinB=s/3.

II

18.（12分）近年来，明代著名医药学家李时珍故乡黄冈市靳春县大力发展大健康产业，粉艾产业化种植

己经成为该县脱贫攻坚的主要产业之一，己知靳艾的株高式单位:cm）与一定范围内的温度x（单位：口）有关，

现收集了新艾的13组观测数据，得到如下的散点图：

现根据散点图利用＞=°+64或丫=。+"■建立y关于x的回归方程，令s=《，f=’得到如下数据:

XX

Xy~sT

10.15109.943.040.16

n13131313一

士办T3T•歹fs：T3『象2-13产LX2-13/

Z=11=1k=l1=1i=l

13.94-2.111.670.2121.22

且（号，%）与（％K）（i=l，2,3,…，13）的相关系数分别为彳，弓,且&=-0.9953.

（1）用相关系数说明哪种模型建立y与x的回归方程更合适；

（2）根据（1）的结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；

（3）已知新艾的利润z与x、y的关系为z=20y-；无，当x为何值时，z的预报值最大.

参考数据和公式：0.21x21.22=4.4562,11.67x21.22=247.6374,7247.6374=15.7365,对于一组数据（小,

Z%匕—nU-V

匕）（i=1,2,3,…其回归直线方程v=a+/3u的斜率和截距的最小二乘法估计分别为p=R---------,

-2

%2—nu

Ez=l

£%匕-nu'V

a=v-pu,相关系数）=1fl~~In.

【答案】（1）用、=。+4■模型建立y与％的回归方程更合适；（2）g=in.54—W；（3）当温度为20时

XX

这种草药的利润最大.

【分析】（1）由题意知＜=—0.9953,

13.9413.94

’"11.67121.22==0.8858,

J247.6374

因为闻＜|目＜1，所有用y=c+&•模型建立y与％的回归方程更合适.

X-

13

E^,-13F-y

1-2.1

(2)因为/=上n-----------=-10,

2X.13尸021

(=1

c=y-dt=109.94+10x0.16=111.54,

所以9关于x的回归方程为£=HL54—W

X

(3)由题意知2=20》—4x=20(111.54—©)—1x=2230.8—(剪+工乃

2x2x2

<2230.8-20=2210.8,所以2W2210.8,当且仅当x=20时等号成立,

所以当温度为20时这种草药的利润最大.

19.（12分）抛物线丁2=2「%（0>0）的焦点为尸，准线为/,点尸为抛物线上一点，PA±l,垂足为/,

若直线A尸的斜率为-6,且IP/1=4.

（1）求抛物线C的方程；

（2）若过尸的直线与曲线C交于P,。两点，直线OROQ与直线％=1分别交于48两点，试判断以A3

为直径的圆是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.

【答案】（1）y=4x；（2）以A3为直径的圆经过定点（—1,0）和（3,0）.

【分析】（1）由题意，抛物线9=20x0〉0）的焦点为/（々,0）,

因为直线AF的斜率为-四，可得直线AF的方程为丫一百卜一争,

当x=—时，y=6p,可得/点坐标为

又因为N为垂足，所以尸点纵坐标为石p,

由|P尸|=4,所以9点横坐标为4—日，所以9点坐标J—

将点P代入抛物线方程得3P之=2p〔4—,解得p=2,

所以抛物线C的方程为/=4%.

（2）设直线PQ的方程为1=^^+1,0（芯,>）,。（%2，%），

y2=4%.

联立方程组《，整理得V—4根>—4=0,

x=my+l

2

则A=16m+16>0,%+%—4m,yxy2=-4,

yx4

直线OP的方程为=—%,

4

同理：直线。。的方程为丁=一％,

%

(41(4)

令X=1得,A1-,B1,—

IyjI^2J

设AB中点7的坐标为(七,%),

44

—十—

2(%+%)*所以丁(一2峭，

则X%

巧=L%=

2

所以|A吐=沙力=近®三^=行能•

X%|%%|4

可得圆的半径为r=,16疗+16,

2

所以以A3为直径的圆的方程为(x-1)2+(y+2m)2=4/n2+4,

整理得(x—I)?+J?+4根＞=4,

令y=。，可得(x—1)2=4,解得x=3或x=—1

所以以A5为直径的圆经过定点(-1,0)和(3,0).

20.(12分)

如图，在三棱柱43。一4四£中，四边形片BCG是菱形，ZBtBC=6Q0,AB±BC,AB±BB},。为

棱3c的中点.

(1)求证：平面公用。，平面A8C；

(2)若AB=5C=2,求点C到平面A耳。的距离.

【答案】(1)证明见解析；(2)2.

5

【分析】(I)证明：设3C=2a.

•.•四边形是菱形，。为棱6。的中点，.•.JBC=JB51=2a,BD=/c=a.

在△BBQ中，ZB}BD=NB[BC=60°,

由余弦定理得B[D-=BD~+BB；—2BD-BBXcos/B^BD,解得BXD=y/3a-

2

BD-+BjD=BB；,ZBDBl=90°,即3QJ_3c.

-,-AB1BC,AB上BB1,且3。口5耳=3,AB,平面3。耳.

•.•BiDu平面BOB],AB1BtD.

AB±BXD,B\D工BC,且ABc..用。，平面ABC.

•.•5]。匚平面4耳。，；.平面4瓦。，平面43。；

(2)由AB=5C=2和(1)知4£)=J5，6]D_L平面ABC,

BXD是点B]到平面ABC的距离.

QADu平面ABC,则△AB1。是以A用为斜边的直角三角形，

-,-AB1BC,AB=5C=2,点。为棱3C的中点，,-.AD=y/BD2+AB2-

AACD的面积SAACD==1,AAB,D的面积sAAB<D=ADXDBI=，叵.

222

设点C到平面A耳。的距离为h,则VC-ABtD二均i—ACD•

—xSLAB'Dx/z=§xS^CDxBQ,解得h=-.

点C到平面A耳。的距离为正.

5

21.(12分)

已知函数/(x)=ax-sinx,XG(0,+oo)(aeR).

(1)若/(x)>0,求。的取值范围；

(2)当a=l时，证明：2/(x)+COSx〉二.

【答案]⑴[1*)；(2)证明见解析.

【分析】

(1)f'(x)=a—cosx,

当时，函数/'(x)在(0,+s)单调递增，故/(%)>/(0)=0,满足题意；

aW—1时，f'(x)<0,函数在(0,+co)单调递减，故/"(>:)</(0)=。，不满足题意；

一1<。<1时，令/'(x)=0,在(0,不)上存在尤。,使得cosx()=a成立，

故0<x</时，rM<0,“尤)在(0,不)单调递减，则/1(龙)<f(0)=0,不满足题意，综上：。的取

值范围是口内)；

(2)a=l时，/(x)=x-sinx,

要证2/(x)+cosx〉,即证2x-2sinx+cosx>er，即证(2x-2sinx+cosx)e*>1,

设g(x)-(2x-2sin%+cosx)ex,贝Ug'(x)=[(2-2cosx-sinx)+(2x-2sinx+cosx)]ex,

=[2(%-sinx)+2-V2sin(x+—)]eA,

由(1)得x>sinx,W2--\/2sin(xH—)>2—V2>0,

4

BPhr(x)>0,g(x)在(0,+oo)单调递增，g(x)>g(0)=l,

所以X/xe(0,+co),a=l时，2/(x)+cosx〉/X.

(-)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22.［选修4—4：坐标系与参数方程］(10分)

x=V2costz

在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为〈(a为参数).以坐标原点为极点，x轴的正

半轴为极轴建立极坐标系，直线/的极坐标方程为何cos

(1)求曲线C的普通方程和直线/的倾斜角;

（2）已知点〃的直角坐