2023年吉林省白山市成考专升本高等数学二自考模拟考试(含答案带解析)

2023年吉林省白山市成考专升本高等数学

二自考模拟考试（含答案带解析）

学校:班级:姓名:考号:

一、单选题（30题）

sin2zclr=

A.cos2z+CB.—cos2x+C

C.--cos2.r+CD.——cos2.r+C

乙

设八幻=则广a)=

A.g(/)一晨2x)B.x2g(x2)-2xg(2x)

C.(x2-2x)-g(x)D.2xg，)-2g(2x)

3.

设=］,则r=l是/（z）在［—2,2］上的

A.极小值点，但不是最小值点

B.极小值点，也是最小值点

C.极大值点，但不是最大值点

D.极大值点，也是最大值点

已知八4+1)=依川，则八幻=

A.xexB.(x-DexC.(x+l)exD.(x+De4*1

5月・"59等于()

A.xye”

B.x2ex>

Cey

D.(l+XY)exy

2x+lx<0

设/(外=<2x=0,则/(x)在x=0处是

X24-1x>0

k()o

A.连续的B.可导的C.左极限彳右极限D.左极限二右极限

7.

根据八幻的导函数尸（处的图像，判定下列结论正确的是

A.在（7,-1）内，f（x）是单调增加的

B.在（一,0）内，/（x）是单调增加的

C./（-I）为极大值

D./（-I）为极小值

8.

6.

函数/（X）的导函数f\X）的图像如图所示，则在（-8,+8）内

“X）的单调递增区间是

A.（7,0）B.（7,1）

C.（0,-H»）D.（1,+oo）

9.设函数z=x2i3y2-4xi6y-l,则驻点坐标为（）。

A.(2,-1)B.(2,l)C.(-2,-l)D.(-2.1)

「[2+xln(l+』)]dx=

<—I

10.A,4B.2C.0D.-2

11ftv=ii*irtJ=1()

A.无定义B.不连续C.连续但是不可导D.可导

12.设f(x)的一个原函数为xsinx,则f(x)的导函数是()。

A.2sinxxcosxB.2cosxxsinxC.-2sinx+xcosxD.-2cosx+xsinx

广义枳分I；春出=

13.()o

K

A.«

n

B5

n

C.2

DJ

14.函数y=l/2(ex+e-x)在区间(-1,1)内[]

A.单调减少B.单调增加C.不增不减D.有增有减

设/(必=电"，则|J/(x)dx]'=

15•x()o

cosx

X

A.

sinx

B.x

—+C

C.x

胆+C

D.x

2x+lx<0,

设f(x)八，贝ij/(lim/(x))=

X2-3x>0—

A.0B.-1C.—3D.-5

16.

下列我中的数列为某随机交*的分布列的是

17.

若./(/)<Lr=F(.r)+C,则,sin_r/(coar)d,r等于()

A.F(sinr),G

B.F(siru)—C

C.FCCOSJ*)-C

18I).-F(COJ<Z)+('

设/(x)=F；+l”<0,则用im/(x)］二

19.1-3Q。一()e

A.OB.-lC.-3D.-5

20.设随机变量6取善负为值♦且・小，则《的数学期望E(S)

A.A.-1B.0C.1D.2

21.曲线y=x3的拐点坐标是().

A.(-l,-1)B.(0,0)C.(l,1)D.(2.8)

22.

当z-0时，$小(31+/2)与x比较是

A.较高阶的无穷小量

B.较低阶的无穷小量

C.等价无穷小盘

D.同阶的无穷小垃

23.设f(x)的一个原函数为Inx,则?(x)等于().

1

A.A.7

1

B.V

1

C~

1

D.?

,4已知/(x)=lnarccotx,则尸(1)=

2

A.A.%

2

B.n

n

C.2

n

D.5

已知f(x)的一个原函数为x2/,则J/(2x)dx=

A.4x2e2x+CB.Ix^CC.j^e\CD.—e2x+C

25.4

26.

过曲线y=x+hu上/点的切线平行直线y=2x+3,则切点M）的坐标是

()o

A.。，1)

B.®e)

「(he+1)

D(efc+2)

设A与B为互不相容事件，则下列等式正确的是()

A./,(AB)=1

B.P(AB)^O

C.P(AB)^P(A)P(B)

27.D.P(八3)工P(AHP(B)

28.当x—2时，下列函数中不是无穷小量的是（）。

A・炉-8

B.sin（x2-4]

CL

D・M（3T）

29.微分方鞭/-24I的通解为.

sin3xx.0

设函数/(#)=*'*'在*=0处连续.则Q=().

30.%x=0A.-lB.lC.2D.3

二、填空题(30题)

当*-0时，函数/(x)与sin2x是等价无穷小=•则|加空"=

31>■l<ftinZT-------------

32.

已知/(公…,)=犬+'2_小则瞥R+，_2=.

dxay

j'sinrc皿di-

33.

dx=

34.

35」.，（八3x）dx

36.+x严

37.

设lim(l+2产=e'3,则人=,

n

38.设y=3$叫贝Ijy

下列曲数中为奇函数的虺

A.ynco、。li.y*J'+sitir

C.y-Intx1+i')

39.

40.

设z=InOy+ln(即)],则=-------'

42.

设z=(sirtz尸，(0V7V7t),则dz=

43川(可)=------

44.

2-x-

呵(亍产=-------------

45.

设z=arcsin(xy),则---=______________

axdy

46.

已知P(A)=().7P(B|A)=0.5,则P(AB)=

设函数y=/(-/),且/(“)可导，则dv=

47.

48.

设J；/Q)dz=y»则J：£f(4x)dx=

设2=1811(町,则生=.

49.dx----------

50.

lim(l+等)+=________.

r-O4

设函数z=/+e',则七|“.纥=_______.

51・Ax

52.函数y=%-ln(i+*)的驻点为a_____.

53.已知

Ind-^Zr)

Jijj.sin2T

54.

55.

设函数八3)=＞，则毅|小

56.

若z=ln(1+e»),则微卷=

57.设y=in(x+cosx),贝！Jy'

5%！喊一由"

60.

jxf(//(Rd%=

三、计算题(30题)

xarcsinr.

求不定积分_d.r.

一工】

61.

〃求极限limJ

62.，・°

63.求微分方程2"-3),一”.1的通解.

64.若曲线由方程i+点=4_21>确定•求此曲线在jr=1处的切线方程.

求dz

65.J】十sm/

66.求函数z=x2+y2+2y的极值.

设函数z-y1/y),求当•，安.

业力，其中。是由II线y=z,2y=1及z=1圉成的区域.

设£=>/(-)+方(2),其中/(“).口(10分别为可微函数,求空，空.

yxoxcfy

71.设函数N=/(bsiny,3z2y)•且/(u,v)为可微函数•求dz.

72求微分方程*+j=J的通俗.

73设函数/(力=J(1-X)34-*(/(工)&1•，求/(工)・

74.求fit分方程y*«z41清足y(0>-2./(0)=0./(0)=1的特X

[—

求极限!

75.

76.求嫩分方程2y'-3y=e-的通解.

求极限lirn

77.G—2

78计算定枳分Ji2&r・

79.已知函数'=arcsinzjE柴,求》匚.

80.求函数f(x,y)=4(x-y)-x2・y2的极值.

设函数/（幻=（[-a）/?（1）,其中小1）在点x。处连续,求，储）.

计算不定积分|工^27TTdx.

82.

求极限lim一~.

83.4-01

计算定枳分

84.

求不定枳分JxSinxA.

85.

设下述积分在全平面上与路径无关:

(•|->l^(x)cLr+俨彳)一yjydy

86.其中函数6上）具有连续导数,并且61）-1.求函数6・）.

1

Q-求函数z=/y+/X的全部二阶偏导数•

O/•

88.求函数八"=（：一】＞，的单调区间与微值点・

89.计咪八日

90.求二元函数f（x,y）=x2+y2+xy在条件x+2y=4下的极值.

四、综合题（10题）

91.讨论函数/《.「）=3」一/的单调性.

»/（x）在上连续•存在m・M两个常数•且脩足＜“＜儿证明：恒”

92.m（x;-x1）/（J.）/（X.）＜M（x,-X,）.

93.

设函数FCr）=/三广）（彳＞0）,其中/（外住区间1,+8）上连续（工）在

《％+—）内存在且大于零•求证/a）在（“.+8）内单调递增.

94.求函数/"）=八,注定义域内的最大值和最小值.

95.

设函数人工）在闭区间［0,1］上连续.在开区间（0,1）内可导且/（0）=/（!）=0.

/（f）=1•证明:存在sw《0」）使X（e）-i.

M证明：当0V”V件时…r<（一号+1・

96.h

97.证明方程41=2,在［0.1］上有且只有一个实根.

98.

设函数y=or'-&q?+力在［一］.2］上的最大值为3.最小值为-29•又a>0.求.也

99.*明,等时・”>空苧・

巳知曲线"aGQ>0）与曲线，TnG在点（―）处有公切线，试求，

（1）常数。和切点（右.“）!

100.（2）两曲线与/轴璃成的平面图形的面枳s.

五、解答题（10题）

101.

计算lim

L01-yiT?

计算网士1

2

102.X-5X+6

103.在抛物线y=l・x2与x轴所围成的平面区域内作一内接矩形

ABCD,其一边AB在x轴上(如图所示).设AB=2x,矩形面积为

S(x).

①写出S(x)的表达式;

②求S(x)的最大值.

计算J萼

104.

105.

(本题满分10分)巳知函数"G在点！处取得极大值5,其导函数)•=

/'(%)的图像系过点(1,0)和(2,0)(如图1-1所示).

(1)求极值点4的值；

(2)求明b,e的值.

106.

求极限对箫

107.

z

_I_L也「esinx-sinx

TT>hm―：---------

LO1-COSX

108.(本题满分8分)计算，啊(历-"彳).

设随机变量4的分布列为-^―一£~±_-

P0.20.3a0.1

(1)求常数a

(2)求第J的分布函数尸(x).

求函数y=x+-l的单调区间、极值及凹凸区间.

110.x-1

六、单选题(0题)

UI设函数i=tan(xy),则左=().

A.cos(xy)

B.cos匕y)

X

C.

/

D.cos2(xy)

参考答案

l.D

1i

sin2xdx=—sin2xd2jr=w(-cos2x)+C.

乙2J乙

I解析］八幻=［二gQ)d”'=g(x2)・(x2)，-g(2x)(2x)'

=2xg(，)-2g(2x)

2.D

3.B

［解析］用换元法求出f(x)后再求导

用x-1换式中的X得/(x)=(x-l)e\

所以

4.A

5.D

6.D

lim/(x)=lim(2x+1)=1.limf(x)=lim(x2+1)=1.故选D.

K-HTx-*0*x-#0*

7.D解析

x轴上方的/口)>0,无轴下方的/a)<o,即当*-1时，/q)<o：当

Q-1时fU)>o,根据极值的第一充分条件，可知/(-I)为极小值，所以选D.

QD［解析］因为x在(7,1)上，八x)＞0,/㈤单调增加，故选B.

0.15

9.A

令更=0与"=(),可得x=2,y=-1.故选A.

aray

I解析］因为xln(l+x2)是奇函数

A所以「［2+xln(l+x2)］dx=2「2dx=4

10.AXJ。

ll.C

12.B

本题主要考查原函数的概念。

因为f(x)=(xsinx)'=sinx+xcosx,

贝！Jf'(x)=cosx+cosx-xsinx=2cosx-xsinx,选B。

13.B

f"-J-dx;「------rdcx=(arctancx)---=2,

Jol+mJoI—＞lo244

14.D因为y=+(ex+e-x),所以y,=l/2(ex-e-x),令y*=0得x=0;当x＞。时,

旷＞0;当乂＜0时，yYO,故在(-1,1)内，函数有增有减.

15.B

［解析I因为lim/(x)=lim(x2-3)=-2

XTIJCTI

所以［flim/(x)］=/(-2)=(2x+1)|…2=-3

16.C-I

17.C

18.D

W.C

因为lim/(x)=lim(x:-3)=-2»

iii

所以/［lim/(x)］=/(-2)=(2x+l)L2=-3.

20.C

令

21.B因为＜=6x==0,得*=0,则,=o,且在x=0两侧/舁号.故点（0.0）为拐直

22.D

23.A

本题考查的知识点是原函数的概念，因此有/（*）=（】n#）'=j所以选A.

24.B

因为八x)=—5—(-二］)，所以八1)==(一4)=二

arccotx1+x四2兀

4

［解析］根据原函数的定义可得J/（x）dx=x2e^C

所以，(2幻dx=；J/(2x)d(2x)=1(2x)2e2x+C=2x2e2x+C

25.B

26.A

本题将四个选项代入等式，只有选项A的坐标使等式成立.

事实上y'=J+，=2得人=1,所以），二|

27.B

28.C

【解析】根据无穷小量的定义:若1加/（*）=0,则当》与时/（4）为无穷小量.因此可根据

140

定义计算其极限值,知选C.

42

29J=d+G”？+C2x+C3y=x+C|x+C2x+C3

根据函数在点X=O处连续的定义：lim/(%)=/(0)，则有

lim/(4)=lim迎工=3=/(0)=a.

5U.Di…。x

31.1

32.2x+12x+l解析

2?2

因为f(x-ytxy)=J+-x)=(x-y)+.x>>

所以小，加公+y则咚&+驾+l

dxdy

33.1/4

arcsinx-Vl-x2+C

［解析］dr

=arcsinx,,=d(l-x2)

2)

34=arcsinx-Vl-x2+C

35.0

因为X3+3X是奇函数。

36.2arctan2-(n/2)

37.

3

2

0)k

因为lim(l+-)^=lim(l+-)2=e2*=e'3

抑T8几〃一＞8fl

有2%=—3,所以左=一±

2

38.3sinxln3*cosx

39.D

40.2

41.应填L

j0”

用洛必达法则求极限.请考生注意：含有指数函数的。型不定式极

限，建议考生用洛必达法则求解，不容易出错！

e〕e"-2格必达法射../-e"格必达法剜..c'+e'.

Iim--------；-・■■—-—*—=1.

■yx2x•，＞2

42.cosxcosy(sinx)cosy-ldx-siny(sinx)cosy-l*lnsinxdy

由.=cosy•(sinz严•COSJ,a=(sinjr)^•Insinr♦(-sinv)>所以dz=

"dy

cosjxosy(sim)Mdj一siny(sinz)叫nsiiudy.

43.

回V'3-土

44.e」

2222

町G•口遮(1-尹=[iim(l--pr1㈣”衬=e-i

■二y

以y[l-x2y2

____L_________ia-_ayi

45.小…巾血"打解析：力号,一力口—『一/1一93

46.0.35

P(AB)=P(A}P(8|4)=0.7x0.5=0.35

-2Vz(-x2)dx

[解析]因为<=八--)(—2)‘=-2子(-，)

所以dy=-2xf\x2)dx

47.

48.

利用变上限积分的定义,当上限取某一定值时，其值就唯一确定.

因为f/(0dr=y所以当x取力或2时有Jj⑴dr=TJ*/(Odr=y

[2।2i2

设&=t»贝ijx=/，dx=2rdf

x1______4

12

于是J：?/(石)dx=2j；f(6)d(4)=2j；/(i)d/=2・==16

49.

答应填产斗、

coe(xy-«)

提示z对=求偏导时应视/为常数，并用一元函数求导公式计算.

50.

51.6

52,应填0.本题考查的知识点是驻点的概念及求

根据定义，使/'(力八。的“称为函数/(“)的驻点，因此有＞'="71=0,得X=0.

法.故填0.

53.

【答案】应填4(z-l)e」

求出y',化简后再求)，”更简捷.

八eU=(”2x)e-:

y,r=-2e*2,-2(l-2x)e-,,=4(x-l)e:,.

54.1

55・-e

______e___________.

56.一5+，)2-(工十土尸

57.

【答案】应填七期3

“CMM

用复合函数求导公式计算.

y，=[ln(x+cosx)]*=----------(1-sinx)

«+cosx

58.

-N(Z十))

JJ

59/”

60.

费〃)+C

喏空业=-larcsirvrd^7

，i-3J

v/1—x2arcsiru-+J，】-7

y1-x2arcsinx+jctr

61.x-y/\-jr:arcsinx+C.

[-z=~cLr=-Iarcsiitrd。一《r’

JJ

yl—x2aresiru-+-

y1-x2arcsinx+卜/

x-V1-x:arcsinx+C.

曲分方程对应的齐次方程为

y-2y-3y=0,

其特征方程为尸一2，一3二0•特征根为乙=3,rt=一】•故对应的齐次方程的通解为

y=Cc”+ae、（G.a为任意常数）.

由于自由项f3=（3i+】）c~・4=0不是特征根•故可设特解为

y9=A+Hr•

将歹代入原方程•得

一2I—3A-3Hr=3i+l,

有-38=3.-2B-3An1・

故A=J.8=—1.从而歹=；一”•

Ow

所以原方程的通第为

y=Ge"+C：e-+J-x（C,,C,为任意常数）.

该分方程对应的齐次方程为

y-2y―3y.0.

其特征方程为一一2，一3-0•特征根为勺=3,rt=一】•故对应的齐次方程的通解为

y=cc“+ae~・（G.a为任意常数）.

由于自由项/J）=（3”+l）c。1a=0不是特征根•故可设特M为

y•=A+Hr•

将/代人原方程•得

-2H—3A—3Hr=3x+1.

有-38=3.-2B-3A=1・

故A=［.5=—1.从而歹=；一”•

WW

所以原方程的通解为

y=Ce"+C:c，+J-J（C,.C,为任意常数》.

64.

o<

两边对r求导•得I+2e>-y=-2e'・（y+工y'）.于是』="2^M^2xe

注意到当i:1时•有1+j=l-2e、・可求得y=0•即曲线1=1处的切线斜率为：

k一一!,切线方程为~一一4（/一1）・即1+4y-1=0.

44

两边对r求导♦得।+2广・丁n-2L•（y+n'）♦于是，工一段忘

注意到当J=1时,存1+（/'-l-2c、・可求得y=0•即曲线工=1处的切线斜率为，

£----切线方程为-....---—1）•即1+ly—1=。・

44

被积函数分子分母同乘（1―4皿》.科

f一：回dr=I普3r-M血

JI—sinxJcos*J

nr-f一［（Kec^x-1）dx

Jcos工J

------Iscc2r（Lr4-|dr一

65.couJJ=l/cosx-tanx+x+C

被积函数分子分母同乘《1-3皿）,得

I*“L=：2）业=f吗£&_X也

JI-mn^xJcos'iJ

工一f—［（sec^x-l）dx

Jcos工J

=」-一Isecrdx*IAr一，…

c。"J=1/cosx-tanx+x+C

66.

:

更

=

—2Xo.

^dx令

1更2y得驻点

=o

dv

222

因为4=笠=2,B=^=0,C^~=2,

dx(o.-i)dxdyI《•・•”a>(o.-t)

所以炉YC=-4<0,且4=2>0,从而可知£(0.-l)=-l为极小他

手―Zxyf(,xl—y*,jry)+JC2yf/•2x±x2yff•y

ox1

=2x>/(x:—y)+x,y(2x/|Z+y/J).

*+，WJ・(—2y)+*、//•*

外

67.=>/(>一3'•“〉+/、("/-2y/7).

~q2xyf(,xl-y2.xy)+yf।'・2JT+/"/・y

cJx

=2x>/(x*—y'./y)+x2y(2x//+”/).

手=JTZfix'-y3iy)+x'Wi'・(-2y)•x

oy

=上—/r)4-Jr2y(xf/-2M'>.

1.

区域D可表示为‘l/=

,4丁V二

drdv小，

Jo亍出，业

(1—cos2x)cLr

68.

0&x&1♦

1/?

{丁（y&*・

则jj苧drdy=£明苧力=J：苧.心疝

■fT*s"*dx

=+j（1-cos2i）cLr

=:（|一%出）|：

B="同>喈）+*'（）（-:）

=/（y）+*（f）-f-«（f）»

6=，（f）+”《）•（-»+〃仁）•！

一/停）-，/'俘）+/（分

69.

喜="住）・（力*仔）・（V）

=，住）+喈）->/（分

5=/（手）+"俘）•（与+邛，（"i

=/俘）-，/仔）+，（力・

_

•・・4击-__t.rcta-yTTT•一1Q.・,2»,x■-

9j1+工+y2，工2十丁

=>/J+

22

70.J6+y?（14-x4-y）

{工'+y?（14-x24->2）

71.

令e'iny=u,3x2y=则有z=

利用微分的不变性得.

z/

dz=/-(tt.v)da+/V(u»v)dv

z#，t

=/.d(esin>)+f9dl3xy)

=’.'esinycLr+e'cosydy)+fJ(6j：ydx4-3x2dy)

=(e'siny/.'+SxyfJ)dr+(e'cosy/V+3z*八')dy.

令v'siny=”,3]2丁=v,则有z=/(u,v).

利用微分的不变性得.

dz=f/(UfV)du+/p*(u»v)dv

2

=，・'d(e'siny)+ft,d(3xy')

2

=//(e'sinycLr+bcosydy)+fv\6j：ydx4-3xdy)

=(e^sinj/./+6xyf/)dz+(ezcosyf/+3x2fJ)dy.

由盟意•知P(J)=y.Q(r>=F・

・,・该微分方程的通解.v=:+「

72.

由盟意•知PG)

・・.e拄'=e升山二c<a

・•・该微分方程的通解N

等式两边从0到1积分得

[/(x)d,r=JJ-(1-y(j->dx.

即「八"dr=21/(1-4L

故八工)7(1一・2+£・

73.

等式两边从。到1积分得

[/(x)dj-=Jx(1+/(j-)dx.

即[/(j-)dx=21,(1_.),d_r

上一二寸―东

故/⑺=X(1-J-)J+^.

74.

该题属于了…=/(4型的微分方程♦可通过连续积分求得通解•

对/=/+1两边积分•得y*=J，+i+G.将初始条件/(0)-1代人•得3=

1•即

y—yx1+1+1・

两边再积分•得+4尸+/+G・将/(0)=0代人•得Ci-0.EP

OC

♦11119J

y=R+/+i・

两边再积分•得y-+：/+a♦将w°)=2代入•得g=2.

故所求特解为

该超属于9“=/(上)型的微分方程♦可通过连续枳分求得通解.

对y・=z+i两边积分•得y"=)，+i+c•将初始条件y”⑹=1代入•得q=

1•即

两边再枳分,得＞'=-j-x1+*z+*+G.将y'(0)=0代人•阳C,R。,即

♦1«•1•a

y=r+彳”+上・

两边再积分•得y=%+•将虫。)=2代人•得C,-2

故所求特解为

V=呆,+*+，+2.

4404

令一/=人则当1-8时•有，，3•所以

与原方程对应的齐次线性方程为

S-2y-3>=0.

特征方程为^-2r-3

故

y=Ge'+Ge”

为齐次线性方程的通解.

而e’中的人—1为单一特征根，故可设

的一个特解.于是有

3)'=A「一ArL.3)*=一Ae-，一+Arer.

Are'-2Ae'-2(A「-Are')-3Arer

于是由4A=1,知

>*—2y_3y二『

的一个特解.因此原方程的通解为

y-Cb+C*，-fe-（C,C为任意常数）.

4

与原方程对应的齐次线性方程为

y1—2y-3y=0・

特征方程为--2r-3=0・

故

r1=-1.rt=3•

于是

y=Ger+Ge”

为齐次线性方程的通解.

而e'中的4―1为单一特征根•故可设

y・=j-Ae*

为

y"_2y_3y=e*

的一个特解.于是有

(>,)*=Ae-*-Are'*.(>*)*=-Ae-z-Ae-z+Are

知

Are'—2Ae'J-2(-Are,)-3Are~*=c-#.

即

-\AeJ=cS

于是由-4A=】，知A——

所以

的一个特解.因此原方程的通解为

y-Cb+C*，-fe-（C,C为任意常数）.

4

原式=/jjn.rdr

2ln2—jdj=2ln2----j-x'

=21n2-1

78.

原式=yjln.rd.r-

=*・川：7卜.兴

=2ln2—[jdx=2ln2----

2Ji4।

=21n2-4-

4

79.

该题若求出导函数后再将工=0代人计算比较麻烦,下面利用导数定义计算.

/<0)=lim浮4rlim士=lim'聆叵=1.

，一°/一。-oJ*J-o\1—smx

该题若求出导函数后再将x=0代人计算比较麻烦,下面利用导数定义计算.

r<0)=lim4rHm±=lim'层匹二1.

，-ox—u—oix-ov14-sinx

far令

S=4-2x=0,2

必,解得「二：即驻点W(2.-2).在点M处有

豹-4-2y±0,"2,

.4=-2,8=0,C=-2.«2-4C=-4<0.4=-2<0.

所以f(2,-2)=8为极大值.

«(才)在/=a处连续•于是linw(")=K(a).

r・・

利用函数的导数定义•知

lim1)二1SQ=Jim(.♦二，).二°=limg(x)=g(a)存在.

—x-aJ•«JC-a-

81.故/(/)在1=。处可存Fl/(。)二”(a).

«(I)在z=a处连续.于是lin)g(/)=M(a).

r•・

利用函数的导数定义,知

[im〃才)---="'S'r)---------------------------=limg(x)=g(a)存在，

L・x-at•)(i—a

故/(x)在i=以处可导且/'(a)=*(〃).

令力jr+1—“•即/=-i-Cu1-1).dr=•于是

|xYJZX4-lir=J-(u*—1)u•­u:du

―刃/-u')du=/:-+C

82.性/⑶+1，Y<21+l，+C.

令力工+1="•即/=—(u*—1).dj-=-1-u'dw.于是

|x-2]十】dr=J-1-(u，-DM•^u'du

■斗“―知T4+c

的/(2"+1。一《⑵•+1H+C

«-竽叱±

=e,・</,—1-7

limz

=e*-°4=e0=1.

84.

令e-='sinr,则z=-Insin/.dr——•且当*=0时，=1;当/=In2

sin/i

时/L卷♦于是

o

f/I—e〃d*=f*co^(~cos/)d/=-1--^dz

J®J十sin/Jfsin/

=-f*--+[*sinrdz

JfsmzJf

--「ln(esc/-cot,)]：一§

=-ln(2-\/3)一亨.

4

令e—=sinr・则/=-Insin/.<lrrr-d/.且当*=0时，=?当1=In2

sinztf

时〃一夫于是

0

[—e"d"=fco*/(—)dr=—「安」出

JoJfsinrjfsin/

=­f0-+1sinzdr

Jfsin/Jf

=—fInfesc/-cot/)]^一暮

=-ln(2-G)一

z

|Jxsinj-d.r=Jxzd(-COST)

:

=­Jr*COST+Jcosjd.r

e

=­jrCOSJ-+J2xcosxdx

:

=­jrcosu,+2jjrdsinx

:

=­Jrcosx+2zsinz-zjsinxdj-

2

85.=-JvCOST+2xsinj-+2cos/+C.

|Jxzsinj*d.r=[z2d(-COST)

=­x2cosx+Jcosj-cLr:

=-x2cojkr+J2xcosxdx

.

=-J-2COM*4-2jdsinj

«

=­JT:cosx+2xsinx-2siorcLr

=­x2cosx+2;rsinx+2cosz+C.

P=・Q=/外-

由枳分与路径无关,得

以一北.

dxdy

即

（/（X）—“"-3抨(*)或/(幻一3中(1)

得

3（彳）-小田工>3+3

=b"[卜ed<Lr+C]