六年级数学上册 期末复习专题讲义（知识归纳+典例讲解+同步测试）长方体和正方体 （含详解）（苏教版）

2019-2020学年苏教版小学六年级数学上册期末复习专题讲义长方体和正方体【知识点归纳】一．长方体的特征1．长方体有6个面．有三组相对的面完全相同．一般情况下六个面都是长方形，特殊情况时有两个面是正方形，其他四个面都是长方形，并且这四个面完全相同．2．长方体有12条棱，相对的四条棱长度相等．按长度可分为三组，每一组有4条棱．3．长方体有8个顶点．每个顶点连接三条棱．三条棱分别叫做长方体的长，宽，高．4．长方体相邻的两条棱互相垂直．【典例分析】例1：我们在画长方体时一般只画出三个面，这是因为长方体（）A、只有三个面

B、只能看到三个面

C、最多只能看到三个面分析：长方体的特征是：6个面都是长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形），相对的面的面积相同．再根据观察物体的方法，从某个角度观察一个长方体最多能看到它的3个面．由此解答．解：根据长方体的特征和观察物体的角度及观察的范围，最多能看长方体的3个面．答：这是因为长方体最多只能看到它的3个面．故选：C．点评：此题主要考查长方体的特征和观察物体的角度及观察的范围．例2：用一根52cm长的铁丝，正好可以焊成一个长为6cm，宽为4cm，高为（）cm的长方体框架．A、2

B、3

C、4

D、5分析：根据长方体的特征，12条棱分为互相平行的（相对的）3组，每组4条棱的长度相等．长方体的棱长总和=（长+宽+高）×4，已知棱长总和是52厘米，用棱长总和÷4求得长、宽、高的和，用长、宽、高的和减去长和宽就是它的高．由此列式解答．解：52÷4-（6+4），=13-10，=3（厘米）；答：高为3厘米的长方体的框架．故选：B．点评：此题主要考查长方体的特征及棱长总和的计算方法．根据棱长总和的计算方法解决问题．二．正方体的特征①8个顶点．②12条棱，每条棱长度相等．③相邻的两条棱互相垂直．【典例分析】例1：一个棱长是4分米的正方体，棱长总和是（）分米．A、16

B、24

C、32

D、48分析：一个正方体有12条棱，棱长总和为12条棱的长度和．解：4×12=48（分米）．故选：D．点评：此题考查计算正方体的棱长总和的方法，即用棱长乘12即可．例2：至少（）个完全一样的小正方体可以拼成一个稍大的正方体．A、4

B、8

C、9分析：假设小正方体的棱长是1厘米，体积是1立方厘米，拼成的稍大的正方体棱长至少是2厘米，体积为8立方厘米，进一步求出个数．解：假设小正方体的棱长是1厘米，体积：1×1×1=1（立方厘米）；稍大的正方体棱长至少是2厘米，体积：2×2×2=8（立方厘米）；需要小正方体的个数：8÷1=8（个）．故选：B．点评：此题考查运用正方体的特征与正方体的体积来解决问题．三．长方体的展开图长方体展开图形如下情况：【典例分析】例：把下面这个展开图折成一个长方体．①如果A面在底部，那么E面在上面．②如果F面在前面，从左面看是B面，A面在上面．③测量有关数据（取整厘米数），算出它的表面积和体积．分析：根据长方体的特征，6个面多少长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形），A与E相对，B与D相对，C与F相对；相对的面的面积相等．通过测量长3厘米，宽2厘米高1厘米；根据表面积公式，s=（ab+ah+bh）×2，体积公式，v=abh，把数据代入公式解答即可．解：（1）如果A面在底部，那么E面在上面；（2）如果F面在前面，从左面看是B面，A面在上面．（3）表面积：（3×2+3×1+2×1）×2，=（6+3+2）×2，=11×2，=22（平方厘米）；体积：3×2×1=6（立方厘米）；答：表面积是22平方厘米；体积是6立方厘米．故答案为：（1）E；（2）A．点评：此题主要考查长方体的特征，以及表面积、体积的计算，根据表面积公式、体积公式解答．四．正方体的展开图正方体展开图形如下情况：【典例分析】例1：将如图折成一个正方体后，“2”这个面与（）相对．A、4B、5C、6D、3分析：根据正方体的表面展开图共有11种情况，本题中涉及到的是“33”型，由此可进行折叠验证，得出结论．解：根据正方体的表面展开图的判断方法，此题是“33”型，折叠后2和5是相对的．故选：B．点评：此题考查了正方体的展开图．例2：下列图形都是由相同的小正方形组成，哪一个图形不能折成正方体？（）分析：根据正方体的表面展开图共有11种情况，本题中涉及到的是“141”型，即中间四个正方形围成正方体的侧面，上、下各一个为正方体的上、下底，由此可进行选择．解：根据正方体的表面展开图的判断方法，A、B、D都是“141”型，所以A、B、D是正方体的表面展开图．只有C答案中间有二个，上面有一个面，下面有三个面，折在一起会有重叠的情况；故选：C．点评：此题考查了正方体的展开图．五．长方体和正方体的表面积长方体表面积：六个面积之和．公式：S=2ab+2ah+2bh．（a表示底面的长，b表示底面的宽，h表示高）正方体表面积：六个正方形面积之和．公式：S=6a2．（a表示棱长）【典例分析】例1：如果一个正方体的棱长扩大到原来的2倍，那么它的表面积就扩大到原来的（）倍．A、2

B、4

C、6

D、8分析：正方体的表面积=棱长×棱长×6，设原来的棱长为a，则扩大后的棱长为2a，分别代入正方体的表面积公式，即可求得面积扩大了多少．解：设原来的棱长为a，则扩大后的棱长为2a，原正方体的表面积=a×a×6=6a2，新正方体的表面积=2a×2a×6=24a2，所以24a2÷6a2=4倍，故选：B．点评：此题主要考查正方体表面积的计算方法．例2：两个表面积都是24平方厘米的正方体，拼成一个长方体．这个长方体的表面积是（）平方厘米．A、48

B、44

C、40

D、16分析：两个表面积都是24平方厘米的正方体拼成一个长方体，长方体的表面积就比原来两个正方体减少了2个面，那么长方体的表面积等于正方体10个面的面积，所以先求出正方体一个面的面积，然后即可求出长方体的表面积．解：24÷6=4（平方厘米），4×10=40（平方厘米）；答：长方体的表面积是40平方厘米．故选：C．点评：此题解答关键是理解两个正方体拼成长方体后，表面积会减少2个面，由此即可解决问题．六．长方体和正方体的体积长方体体积公式：V=abh．（a表示底面的长，b表示底面的宽，h表示高）正方体体积公式：V=a3．（a表示棱长）【典例分析】例1：一个正方体的棱长扩大3倍，体积扩大（）倍．A、3

B、9

C、27分析：正方体的体积等于棱长的立方，它的棱长扩大几倍，则它的体积扩大棱长扩大倍数的立方倍，据此规律可得．解：正方体的棱长扩大3倍，它的体积则扩大33=27倍．故选：C．点评：此题考查正方体的体积及其棱长变化引起体积的变化．例2：一只长方体的玻璃缸，长8分米，宽6分米，高4分米，水深2.8分米．如果投入一块棱长为4分米的正方体铁块，缸里的水溢出多少升？分析：根据题意知用水的体积加铁块的体积，再减去玻璃缸的容积，就是溢出水的体积．据此解答．解：8×6×2.8+4×4×4-8×6×4，=134.4+64-192，=6.4（立方分米），=6.4（升）．答：向缸里的水溢出6.4升．点评：本题的关键是让学生理解：溢出水的体积=水的体积+铁块的体积-玻璃缸的容积，这一数量关系．同步测试一．选择题（共10小题）1．如图是用边长1cm的小正方体拼成的长方体．下列图形（）是这个长方体中的一个面．A． B． C．2．用一根72厘米的铁丝正好可以焊成一个长8厘米、宽（）厘米、高4厘米的长方体框架．A．4 B．5 C．63．下面图形中，不能拼成长方体的是（）A． B． C． D．4．如图，一个由8个小正方体拼成的大正方体，如果去掉一个小正方体，得到图形的表面积与原来正方体的表面积相比，（）A．无法比较 B．表面积没有变化 C．表面积变小了 D．表面积变大了5．将图1展开变成图2，与3号面相对的面是第（）号面．A．4 B．5 C．66．下面四幅图中，（）不是正方体的展开图．A． B． C． D．7．一根长4米的长方体木材，锯成相等的三段后表面积增加了24cm2，原来体积是（）A．96cm3 B．1600cm3 C．24cm3 D．2400cm38．一个横截面面积是0.8m2的长方体，截成4段，表面积增加（）A．2.4m2 B．3.2m2 C．4.8m29．現有一个长方体货物仓库，长50m，宽20m，高5m，这个货物仓库可容纳棱长为2m的正方体货箱（）个．A．500 B．625 C．2000 D．250010．一个立方体的六个面上分别标上了数1点、2点、3点、4点、5点、6点，下图是从三个不同角度观察到的情况．“3点”这一面相对的面是（）A．2点 B．4点 C．6点或4点二．填空题（共8小题）11．一个正方体水池，棱长是5m，这个水池的占地面积是m2，最多能装L水．12．正方体的个面的形状完全相同，条棱的长度相等．13．一个长方体的棱长总和是104厘米，那么这个长方体相交于一个顶点的三条棱的长度之和是厘米．14．一个长方体的长是10cm，宽是8cm，高是4cm，表面积是cm2，体积是cm3．15．如图是正方体的展开图，在顶点处标有1～12个自然数．当折叠正方体时，与数字2重合的数字为．16．做一个长是20分米，宽是10分米，高是5分米的长方体框架，至少要分米长的铁丝．17．两个完全相同的长方体，长9cm，宽7cm，高5cm，拼成一个表面积最大的长方体后，表面积比原来减少了18．如图，把这个展开图折成一个长方体，（1）如果A面在底部，那么面在上面．（2）如果F面在前面，从左面看是B面，那么面在上面．三．判断题（共6小题）19．如图中，C不是正方体的展开图．（判断对错）20．体积是6m3的正方体木箱，它的容积也是6m3．（判断对错）21．把左面A、B、C三个盒子展开后分别是右面的D、E、F．（判断对错）22．一个长、宽、高分别为10cm、8cm、7cm的长方体，可以从边长是8cm的正方形洞中漏下去．（判断对错）23．长方体的面中可能有正方形，正方体的面中不可能有长方形．．（判断对错）24．底面周长是8分米的正方体，它的表面积是24平方分米．．（判断对错）四．计算题（共1小题）25．求下列图形的表面积和体积．五．应用题（共7小题）26．一个房间长8米，宽6米，高4米．除去门窗22平方米，房间的墙壁和房顶都贴上墙纸，这个房间至少需要多大面积的墙纸？27．如图，现有空的长方体容器A和水深24厘米的长方体容器B，现将B中的水全部倒给A，这时容器A里的水的高度是多少厘米？28．新建篮球馆要铺设3cm厚的木质地板，已知该馆的长35m，宽20m，铺设它至少要用多少方的木材？29．一个无盖的长方体铁皮水桶底面是边长为4分米的正方形，桶高6分米，问：做20个这样的水桶至少需要多少平方分米的铁皮？每个桶的容积是多少升？30．一个无盖的长方体鱼缸，长8分米，宽7分米，高4分米．制造这个鱼缸至少用玻璃多少平方分米？31．王叔叔想把一块长18分米，宽15分米，高12分米的长方体石材打磨成一个最大的正方体，这个正方体的体积是多少立方分米？32．希望小学修一个跳远的沙坑，沙坑的长为7m，宽为4m．在沙坑里铺一层50厘米厚的沙土，需要多少立方米的沙土？

参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．【分析】如图是用边长1cm的小正方体拼成的长方体，它的长是4cm，宽是3cm，高是2cm；据此解答．【解答】解：因为拼成的长方体的长是4cm，宽是3cm，高是2cm；所以只有选项C是这个长方体中的一个面．故选：C．【点评】此题考查了长方体面的认识，确定出长宽高是关键．2．【分析】用一根72厘米长的铁丝正好可以焊成长方体，这个长方体的棱长总和就是72厘米，长方体的棱长总和＝（长+宽+高）×4，用棱长总和除以4减去长和高，即可求出宽．据此解答．【解答】解：72÷4﹣（8+4）＝18﹣12＝6（厘米）答：宽6厘米．故选：C．【点评】此题主要考查长方体的棱长总和公式的灵活运用．3．【分析】根据长方体的特征，长方体的6个面都是长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形），相对面的面积相等．再根据长方体展开图的特征，长方体的展开图一般是一、四、一的形状，由此可知：A、C、D可以拼成长方体，而B不能拼成长方体．据此解答．【解答】解：由分析得：图A、图C、图D、能拼成长方体，图B不能拼成长方体．故选：B．【点评】此题考查的目的是理解掌握长方体展开图的特征及应用．4．【分析】八个小正方体拼成一个大正方体，若去掉一个小正方体，减少了三个小正方形的面积，同时又增加了三个小正方形的面积，所以得到的表面积与大正方体的表面积相等；由此解答即可．【解答】解：由分析可知：八个小正方体拼成一个大正方体，若去掉一个小正方体，减少了三个小正方形的面，同时又增加了三个小正方形的面积，所以得到图形的表面积与原来正方体的表面积相等．故选：B．【点评】解答此题应明确：八个小正方体拼成一个大正方体，若去掉一个小正方体，减少了3个面，同时又增加了3个面，表面积不变．5．【分析】根据正方体展开图的11种特征，图2属于正方体展开图的“1﹣3﹣2”结构，折成正方体后，1号面与5号面相对；2号面与3号面相对；4号面与6号面相对．【解答】解：如图将图1展开变成图2，与3号面相对的面是第6号面．故选：C．【点评】正方体展开图分四种类型，11种情况，每种情况折成正方体后哪些面相对是有规律的，可自己动手操作一下并记住，能快速解答此类题．6．【分析】根据正方体展开图的11种特征，图A、C、D均为正方体展开图的“1﹣4﹣1”结构，都是正方体展开图；图B不属于正方体展开图．【解答】解：、、都是正方体展开图；不是正方体展开图．故选：B．【点评】正方体展开图有11种特征，分四种类型，即：第一种：“1﹣4﹣1”结构，即第一行放1个，第二行放4个，第三行放1个；第二种：“2﹣2﹣2”结构，即每一行放2个正方形，此种结构只有一种展开图；第三种：“3﹣3”结构，即每一行放3个正方形，只有一种展开图；第四种：“1﹣3﹣2”结构，即第一行放1个正方形，第二行放3个正方形，第三行放2个正方形．7．【分析】我们把单位进行统一把米化成厘米，运用横截面积乘以长就是这块长方体木块原来的体积．【解答】解：4米＝400厘米，24÷[（3﹣1）×2]×400＝6×400＝2400（立方厘米）答：原来的体积2400立方厘米．故选：D．【点评】本题考查了长方体的体积公式的运用，即横截面积（底面积）×长（高）＝长方体的体积．8．【分析】根据锯木问题可知，把这个长方体横截成4段需要截3次，每截一次增加2个截面，把这个长方体截成4段增加6个截面的面积，据此解答即可．【解答】解：0.8×6＝4.8（平方米）答：表面积增加4.8平方米．故选：C．【点评】此题考查的目的是理解长方体表面积的意义，明确：把这个长方体截成4段增加6个截面的面积．9．【分析】由题意可知：长方体仓库的高是5米，而正方体箱子的棱长是2米，因为5不是2的倍数，所以不能用车厢的容积除以正方体的体积，应先求出沿长方体仓库的长、宽、高各能放几个正方体货箱，然后．根据长方体的体积（容积）公式：V＝abh，把数据代入公式解答．【解答】解：50÷2＝25（个），20÷2＝10（个），5÷2＝2（个）…1（米），25×10×2＝500（个），答：这个货物仓库可容纳棱长为2m的正方体货箱500个．故选：A．【点评】此题用考查长方体的体积（容积）公式的灵活运用，重点是求出沿长方体仓库的长、宽、高各能放几个正方体货箱．10．【分析】4点和5点、6点相邻，根据图二，4点在正面，5点在右面，6点必须在上面，如果3点对面是6点，那么图一，当4点翻转到正面，5点在右面，在上面的是3点而不是6点，因而，即可得出3点相对的面的点；由此解答即可．【解答】解：点、5点、6点相邻，根据图二，4点在正面，5点在右面，6点必须在上面，如果3点对面是6点，那么图一，当4点翻转到正面，5点在右面，在上面的是3点而不是6点，因而，3点相对的面一定是4点；故选：B．【点评】本题考查灵活运用正方体的相对面解答问题，立意新颖，是一道不错的题．二．填空题（共8小题）11．【分析】水池的占地面积等于这个正方体的底面积，根据正方形的面积公式：S＝a2，把数据代入公式即可求出占地面积，再根据正方体的容积公式：V＝a3，把数据代入公式解答．【解答】解：5×5＝25（平方米）5×5×5＝125（立方米）125立方米＝125000升答：这个水池的占地面积是25平方米，最多能装水125000升．故答案为：25、125000．【点评】此题主要考查正方形的面积公式、正方体的容积公式的灵活运用，关键是熟记公式，注意：体积单位与容积单位之间的换算．12．【分析】根据正方体的特征，正方体的6个面是完全相同的正方形，12条棱的长度都相等．据此解答．【解答】解：正方体的6个面的形状完全相同，12条棱的长度相等．故答案为：6、12．【点评】此题考查的目的是理解掌握正方体的特征及应用．13．【分析】根据长方体的特征，长方体的12条棱分为互相平行的3组，每组4条棱的长度相等，相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高，用棱长总和除以4求出长、宽、高的和即可．【解答】解：104÷4＝26（厘米），答：这个长方体相交于一个顶点的三条棱的长度之和是26厘米．故答案为：26．【点评】此题考查的目的是理解掌握长方体的特征，以及长方体棱长总和公式的灵活运用．14．【分析】根据长方体的表面积公式：S＝（ab+ah+bh）×2，体积公式：V＝abh，把数据分别代入公式解答．【解答】解：（10×8+10×4+8×4）×2＝（80+40+32）×2＝152×2＝304（平方厘米）；10×8×4＝320（立方厘米）；答：它的表面积是304平方厘米，体积是320立方厘米．故答案为：304、320．【点评】此题主要考查长方体的表面积公式、体积公式的灵活运用，关键是熟记公式．15．【分析】此图为正方体展开图的“1﹣4﹣1”结构，折成正方体后，“4”中的4个正方形围成侧面，2与7重合；两个“1”面相对，7与5重合，因此，与2重合的点是5、7．【解答】解：如图当折叠正方体时，与数字2重合的数字为5和7．故答案为：5和7．【点评】正方体展开图分四种类型，11种情况，每种情况折成正方体后哪些面相对是有规律的，可自己动手操作一下并记住，能快速解答此类题．16．【分析】根据长方体的特征知：长方体的四条长相等，四条高相等，四条宽相等，所以求出长、宽、高的和再乘4就是需要铁丝的长度，据此解答．【解答】解：（20+10+5）×4＝35×4＝140（分米）答：至少要140分米长的铁丝．故答案为：140．【点评】本题主要考查了学生根据长方体的特征来解决问题的能力．17．【分析】要使拼成的长方体的表面积最大，那就要把最小面拼在一起，即把长方体最小的两个面对着合起来，则拼组后的长方体的表面积比原来两个长方体的表面积之和，减少了2个7×4面的面积；由此利用长方体表面积公式即可求得其表面积；【解答】解：比原来减少：7×5×2＝70（平方厘米）答：拼成一个表面积最大的长方体后，比原来减少了70平方厘米．故答案为：70平方厘米．【点评】此题主要考查长方体的表面积的计算，明确把2个完全相同的长方体拼成一个大长方体，最小的面重合时，拼成的表面积最大，最大的面重合时拼成的表面积最小．18．【分析】利用正方体及其表面展开图的特点解题．这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中面“A”与面“F”相对，面“B”与面“D”相对，“C”与面“E”相对，再根据AF折的方向判断E或C哪个面在上面．【解答】解：由图可知，“C”与面“E”相对．则（1）因为面“A”与面“F”相对，所以A面是长方体的底部时，F面在上面；（2）由图可知，如果F面在前面，B面在左面，那么“C”面在下面，因为面“E”与面“C”相对，当AF向上折，E会在上面，当AF向下折，C面会在上面；故答案为：F，E或C．【点评】注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．三．判断题（共6小题）19．【分析】C属于正方体展开图的1﹣4﹣1型，能够折成一个正方体；B图属于正方体展开图的1﹣2﹣3型，也能够折成一个正方体；只有A不能，因为同侧的两个正方形在折的过程中会重叠，所以不是正方体展开图．【解答】解：如图中，A不是正方体的展开图；所以原题的说法错误；故答案为：×．【点评】本题重在培养学生的空间想象能力，在解答时要掌握正方体展开图的几个基本的类型，然后据此调整即可判断．20．【分析】根据体积、容积的意义，物体所占空间的大小叫做物体的体积，某容器所能容纳别的物体的体积叫做这个容器的容积．同一个容器的体积一定大于容积．据此判断．【解答】解：因为容器壁有厚度，所以同一个容器的体积一定大于容积．因此，体积是6立方米的正方体木箱，它的容积也是6立方米．这种说法是错误的．故答案为：×．【点评】此题考查的目的是理解掌握体积、容积的意义及应用．21．【分析】利用正方体和正方体及其表面展开图的特点解答即可．【解答】解：A、B、C三个盒子展开后分别是右面的D、E、F．故答案为：√．【点评】考查空间想象能力．注意利用长方体、正方体的特点，分析及解答问题．22．【分析】要看能不能通过，就看最小的一个面能不能通过，如果最小的面可以通过就行了，这是典型的“扁担过门”问题．【解答】解：这个长方体的最小一个面是：8×7＝56（平方厘米）；正方形洞的面积是：8×8＝64（平方厘米）；因为56平方厘米＜64平方厘米；所以可以漏下去；故答案为：√．【点评】此题考查了长方体的各个侧面的面积问题．23．【分析】长方体的面中可能有正方形，正方体的每个面都是正方形，所以正方体的面中不可能有长方形，据此解答即可．【解答】解：长方体的面中可能有正方形，正方体的每个面都是正方形，所以正方体的面中不可能有长方形，所以本题说法正确．故答案为：√．【点评】本题考查的是长方体和正方体特征的运用．24．【分析】根据正方体的特征，正方体的6个面是完全相同的正方形，已知它的底面周长是8分米，首先用底面周长除以4求出底面边长，再根据正方体的表面积公式：s＝6a2，把数据代入公式求出它的表面积，然后与24平方分米进行比较即可．【解答】解：8÷4＝2（分米），2×2×6＝4×6＝24（平方分米），答：它的表面积是24平方分米．故答案为：√．【点评】此题主要考查正方形的周长公式、正方体的表面积公式的灵活运用，关键是熟记公式．四．计算题（共1小题）25．【分析】（1）根据长方体的表面积公式：S＝（ab+ah+bh）×2，体积公式：V＝abh，把数据分别代入公式解答．（2）根据正方体的表面积公式：S＝6a2，体积公式：V＝a3，把数据分别代入公式解答．【解答】解：（1）（4×3+4×2+3×2）×2＝（12+8+6）×2＝26×2＝52（平方分米）；4×3×2＝24（立方分米）；答：这个长方体的表面积是52平方分米，体积是24立方分米．（2）5×5×6＝150（平方分米）；5×5×5＝125（立方分米）；答：这个正方体的表面积是150平方分米，体积是125立方分米．【点评】此题主要考查长方体、正方体的表面积公式、体积公式的灵活运用，关键是熟记公式．五．应用题（共7小题）26．【分析】长方体有6个面，在房间的墙壁和房顶都贴上墙纸，贴墙纸的面是上面，前后面和左右面，就是求这5个面的面积和是多少，然后再减去门窗的面积就是这个房间至少需要多大面积的墙纸．长方体的长、宽、高已知，用长×宽＝上面的面积，用长×高×2＝前、后面的面积，用宽×高×2＝左、右面的面积，然后相加再减去门窗的面积即可解答．【解答】解：8×6+8×4×2+6×4×2﹣22＝48+64+48﹣22