第23讲拐点偏移问题

第23讲拐点偏移问题【典型例题】例1．（Ⅰ）证明：，，；（Ⅱ）若在，上恒成立，求的取值范围；（Ⅲ）已知函数，若正实数，满足，证明：当时，恒有．【解析】解：（1）令，当，时，，故在区间，上单调递增，从而，由于为偶函数，所以当，时，，故，，．（2）结合（1）可知，所以，易证，故为原不等式成立的必要条件，下面证明充分性，当时，，令，易知为偶函数．设，，则，令，则，故在，上单调递减，即，故在，上单调递减，，故当时，原不等式在，上恒成立，综上，的取值范围为，．（3）当时，，在（2）中令，，则有，下面证明即可，即证，解法一：，即，，，易知在处取得最小值1，则，又，所以．综上，当时，恒有．解法二：不妨令，在上，，则在上单调递增，又（1），所以要使，则需，要证，即证，即证，又，所以即证，设，，，则，故在，上单调递增，（1）（1），令，可得，所以，即，所以．综上，当时，恒有．例2．已知函数．（1）求曲线在点，（1）处的切线方程；（2）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值；（3）若正实数，满足，证明：．【解析】解：（1），（1），（1），切线方程是：，即；（2）令，，时，，，在递增，（1），关于的不等式不能恒成立，时，，令，得，时，，，时，，故函数在递增，在，递减，故函数的最大值是，令（a），则（a）在递减，（1），（2），时，（a），故整数的最小值是2；（3）证明：由，得，从而，令，则由，得，可知在区间递减，在递增，故（1），，又，故成立．例3．已知函数，且为定义域上的增函数，是函数的导数，且的最小值小于等于0．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）设函数，且，求证：．【解析】（Ⅰ）解：，由为增函数可得，恒成立，即，得，设，则，由，得，由，得．在上减，在上增，在1处取得极小值即最小值，（1），则，即，当时，易知，当时，则，这与矛盾，从而不能使得恒成立，；由可得，，即，由之前讨论可知，，当时，恒成立，当时，由，得，综上；（Ⅱ）证明：，，，，即，则，令，，则，在上增，在上减，（1），，整理得，解得或（舍，．例4．已知函数，其定义域为．（其中常数，是自然对数的底数）（1）求函数的递增区间；（2）若函数为定义域上的增函数，且，证明：．【解析】解：（1）易知，①若，由，解得：，故函数在递增，②若，令，解得：，或，令，解得：，故在递增，在，递减，在递增，③若，则，故函数在递增，④若，令，解得：或，令，解得：，故在递增，在递减，在，递增，综上，若，在递增，若，在，递增，若，在递增，若，在，，递增；（2）函数在递增，，即，注意到（1），故（1），即证，即证，令，，只需证明（1），故，下面证明，即证，由熟知的不等式可知，当时，即，故，易知当时，，故，故，故，即递增，即（1），从而．例5．已知函数．（1）若在上单调递增，求实数的取值范围；（2）当时，若实数，满足，求证．【解析】解：（1）已知函数．所以，由在上单调递增，故当时，恒成立，即恒成立，设，，因为，所以，，所以，即，故在上单调递增，所以，故；（2）当时，，，故在上单调递增，又因为且，故，要证，只需证，因为在上单调递增，故只需证，即只需证，即只需证，令，，，令，则，所以在上单调递增，所以，故在上单调递减，故，故原不等式成立．得证．例6．已知函数．（1）若在上单调递增，求实数的取值范围；（2）当时，若实数，满足，求证：．【解析】解：（1）由在上单调递增，故当时，恒成立即设，，，，，即在上单调递增，故，．（2）证明：当时，，在上单调递增，又且，故要证，只需证即证，只需证即证令，令，，在上单调递增，故在上单调递减，（1）．故原不等式成立．例7．设函数，．（Ⅰ）若对恒成立，求的取值范围；（Ⅱ）若，当时，求证：．【解析】（Ⅰ）解：，当时，，令得：，在区间上单调递增，在区间上单调递减．，由，得：，当时，，则对恒成立，在区间上单调递增，且，所以不符合．故：的取值范围为．（Ⅱ）证明：，，得：，若或，则结论显然成立．当时，证：证：，令：，，，所以为单调递增函数，则，证：证：，而，所以等价于证：，即证：，，令：，，得：在区间上递增，在区间上递减，，因为，所以，所以，故：得证．例8．设函数，．（Ⅰ）讨论的单调性；（Ⅱ）时，若，，求证：．【解析】解：（Ⅰ），令，，当时，，函数单调性递减，当时，，函数单调性递增，，当时，即时，，函数在上单调递增，当时，，易知当时，，当时，，由零点存在性定理知，存在，，不妨设，使得，当，，，，当，，，函数在，，上单调递增，在，上单调递减．（Ⅱ）证明：构造函数，，，，，当时取等号，在，上单调递增，则，在，上单调递增，，不妨设，要证，只需证，由（Ⅰ）知时，在上单调递增，则有，由，有，只需证，即证，由在，上单调递增，且时，有，故，问题得以证明．例9．已知函数为常数）在处的切线方程为．（1）求的值，并讨论的单调性；（2）若，求证：．【解析】解：（1），由题意可得，（1），解可得，此时，令，则，易得在上单调递减，在上单调递增，故（1）恒成立，故在上单调递增，（2）设，则，易得在上单调递增，在上单调递减，当时，取得最大值（1），故，即，令，则设，则，故单调递增，单调递增，且（1），故当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以（1），即，当时等号成立，所以，又，所以即，由在上单调递增，所以，即．例10．已知函数．（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）证明当时，关于的不等式恒成立；（Ⅲ）若正实数，满足，证明：．【解析】解：（Ⅰ），由，得，又，所以．所以的单调减区间为，函数的增区间是．（Ⅱ）令，所以．因为，所以．令，得．所以当，；当时，．因此函数在是增函数，在，是减函数．故函数的最大值为．令，因为，又因为（a）在是减函数．所以当时，（a），即对于任意正数总有．所以关于的不等式恒成立．（Ⅲ）由，即，从而．令，则由得，．可知，在区间上单调递减，在区间上单调递增．所以（1），所以，又，因此成立．【同步练习】1．已知函数，.(1)讨论f（x）的单调性；(2)若时，都有，求实数a的取值范围；(3)若有不相等的两个正实数，满足，证明：.【解析】（1）因为，定义域为，.①当时，令，解得即当时，，单调递增，当时，，单调递减；②当时，在单调递增；③当时令，解得，即当时，，单调递减，当时，，单调递增；综上：当时，在单调递增，在单调递减；当时，在单调递增；当时，在单调递减，在单调递增.（2）若时，都有，即，恒成立.令，则，，令，所以，当时，，单调递增，，所以，在单调递减，所以=，所以（3）原式可整理为，令，原式为，由（1）知，在单调递增，在单调递减，则为两根，其中，不妨令，要证，即证，，只需证，令，，，令，则，，单调递增，，，单调递减.又，故，所以恒成立，即成立，所以，原式得证.2．已知函数.(1)讨论的单调性；(2)设，为两个不相等的正数，且，证明：.【解析】(1)函数的定义域为，又，当时，，当时，，故的递增区间为，递减区间为(2)因为，故，即，故，设，则，不妨设，由（1）可知原命题等价于：已知，证明：.

证明如下：若，恒成立；若，即时，要证：，即证，而，即证，即证：，其中设，，则，因为，故，故，所以，故在为增函数，所以，故，即成立，所以成立，综上，成立.3．已知函数.(1)求的单调区间；(2)已知，且，若，求证：.【解析】(1)，令，则，∴在单调递增，注意到∴当时，，此时，单调递减，当时，，此时，单调递增∴在单调递减，在单调递增(2)等价于，等式两边同除以得：，即由（1）知：在单调递减，在单调递增∴，一正一负，不妨设构造新函数，则∴令，则当时，显然恒成立，所以又对恒成立，所以在时，，即单调递减∵∴，即∵∴其中，，且在单调递减∴，即4．已知函数.（1）讨论的单调性；（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：.【解析】(1)的定义域为．由得，，当时，；当时；当时，．故在区间内为增函数，在区间内为减函数，(2)[方法一]：等价转化由得，即．由，得．由（1）不妨设，则，从而，得，①令，则，当时，，在区间内为减函数，，从而，所以，由（1）得即．①令，则，当时，，在区间内为增函数，，从而，所以．又由，可得，所以．②由①②得．[方法二]【最优解】：变形为，所以．令．则上式变为，于是命题转换为证明：．令，则有，不妨设．由（1）知，先证．要证：．令，则，在区间内单调递增，所以，即．再证．因为，所以需证．令，所以，故在区间内单调递增．所以．故，即．综合可知．[方法三]：比值代换证明同证法2．以下证明．不妨设，则，由得，，要证，只需证，两边取对数得，即，即证．记，则.记，则，所以，在区间内单调递减．，则，所以在区间内单调递减．由得，所以，即．[方法四]：构造函数法由已知得，令，不妨设，所以．由（Ⅰ）知，，只需证．证明同证法2．再证明．令．令，则．所以，在区间内单调递增．因为，所以，即又因为，所以，即．因为，所以，即．综上，有结论得证．【整体点评】(2)方法一：等价转化是处理导数问题的常见方法，其中利用的对称差函数，构造函数的思想，这些都是导数问题必备的知识和技能.方法二：等价转化是常见的数学思想，构造对称差函数是最基本的极值点偏移问题的处理策略.方法三：比值代换是一种将双变量问题化为单变量问题的有效途径，然后构造函数利用函数的单调性证明题中的不等式即可.方法四：构造函数之后想办法出现关于的式子，这是本方法证明不等式的关键思想所在.5．已知函数(1)讨论f(x)的单调性；(2)若，且，证明:.【解析】（1）

当时，，，所以单调递增；，，所以单调递减；当时，，所以单调递减；，所以单调递增；（2）证明：，∴，即当时，由（1）可知，此时是的极大值点，因此不妨令要证，即证：①当时，成立；②当时先证此时

要证，即证：，即，即即：①令，∴∴在区间上单调递增∴，∴①式得证.∴∵，∴

∴

∴6．已知函数.(1)求的极大值；(2)设、是两个不相等的正数，且，证明：.【解析】(1)因为的定义域为，，当时，，此时函数单调递增，当时，，此时函数单调递减，所以，函数的极大值为.(2)证明：因为，则，即，由（1）知，函数在上单调递增，在上单调递减，因为、是两个不相等的正数，且满足，不妨设，构造函数，则，令，则.当时，，则，此时函数单调递减，当时，，则，此时函数单调递减，又因为函数在上连续，故函数在上单调递减，当时，，即，故函数在上为增函数，故，所以，，且，函数在上为减函数，故，则.7．已知函数.(1)讨论的单调性和最值；(2)若关于的方程有两个不等的实数根，求证：.【解析】（1），其中若，则在上恒成立，故在上为减函数，故无最值.若，当时，；当时，；故在上为增函数，在上为减函数，故，无最小值.（2）方程即为，故，因为为上的增函数，所以所以关于的方程有两个不等的实数根即为：有两个不同的实数根.所以，所以，不妨设，，故，要证：即证，即证，即证，即证，设，则，故，所以在上为增函数，故，所以在上为增函数，所以，故成立.8．已知．(1)当、时，求在上的最大值；(2)若对任意，均有两个极值点、．①求实数的取值范围；②当e时，证明：e．（注：e为自然对数的底数）【解析】（1）当、时，e,其定义域为，e，令g(x)=e，，则e则在上单调递增，∴e，即，即在上单调递减，∴当时，取最大值为e；（2）∵e的定义域为，e，①对任意，e有两个不同零点，令e，∴e，令，解得，当时，，则在内单调递增，当时，，则在内单调递减，∴当时，取极小值也是最小值为，又当时，当时，∴只需，即，构造新函数，其定义域为，，令，解得，当时，，则在内单调递增，当时，，则在内单调递增，∴当时，取极大值也是最大值为，∴；②当e时，eexb，由①得，令，∴∴，∴，∴、，∵由①得在上单调递增，、，∴，∴，∵由①得在上单调递减，∴，令，∴，令，则，∴，∵，∴，即．9．已知函数，，当时，恒成立．(1)求实数的取值范围；(2)若正实数、满足，证明：．【解析】（1）根据题意，可知的定义域为，而，当时，，，为单调递增函数，当时，成立；当时，存在大于1的实数，使得，当时，成立，在区间上单调递减，当时，；不可能成立，所以，即的取值范围为.（2）证明：不妨设，正实数、满足，有（1）可知，，又为单调递增函数，所以，又，所以只要证明：，设，则，可得，当时，成立，在区间上单调增函数，又，当时，成立，即，所以不等式成立，所以.10．有同学在研究指数函数和幂函数的图像时，发现它们在第一象限有两个交点和．通过进一步研究，该同学提出了如下两个猜想：请你证明或反驳该同学的猜想．(1)函数与函数的图像在第一象限有且只有一个公共点；(2)设，，且，若，则．其中为自然对数的底，【解析】（1）设(x>0)，求导得：，则当时，，当时，，即在上递增，在上递减，因此，当时，，当且仅当x=e时取“=”，于是得方程有唯一的零点，即方程有唯一的零点，所以，函数与函数的图像在第一象限有且只有一个公共点，猜想（1）正确.（2），由（1）知