2024-2025学年湖南省长沙市高二上学期10月月考数学阶段检测试卷（含解析）

2024-2025学年湖南省长沙市高二上学期10月月考数学阶段检测试卷一､单选题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，每个小题只有一个正确答案）1.命题“对，都有”的否定为（）A对，都有 B.对，都有C.，使得 D.，使得2.已知，，则（）A. B. C. D.3.设复数z满足，z在复平面内对应的点为，则（）A. B. C. D.4.若函数是奇函数，函数是偶函数，则（）A.函数奇函数B.函数是奇函数C.函数是奇函数D.函数是奇函数5.正四棱锥的侧棱长是底面边长的倍，则的取值范围是（）A. B. C. D.6.已知为圆上的动点，且动点满足：，记点的轨迹为，则（）A.为一条直线 B.为椭圆C.为与圆O相交的圆 D.为与圆O相切的圆7.集合，集合，从A，B中各任意取一个数相加为，则直线与直线平行的概率为（）A. B. C. D.8.已知，动圆经过原点，且圆心在直线上．当直线的斜率取最大值时，（）A. B. C. D.二，多选题（本题共3个小题，每小题6分，共18分，每小题有多项符合题目要求，全部选对得6分．选错得0分，部分选对得部分分）9.下列说法正确的是（）A.直线的倾斜角为B.方程与方程可表示同一直线C.经过点，且在，轴上截距互为相反数的直线方程为D.过两点的直线都可用方程表示10.已知函数下列命题正确的是（）A.的值域为B.若，则为奇函数C.若只有一个零点，则的取值范围为D.若在上单调递减，则的取值范围为11.如图，正方体的棱长为1，E为棱的中点，P为底面正方形ABCD内（含边界）的动点，则（）A.三棱锥的体积为定值 B.直线平面C.当时， D.直线与平面所成角的正弦值为三､填空题（本题共3个小题，每题5分，共15分）12.函数定义域为______.13.已知梯形ABCD中，，，，，点在线段上，则的最小值为______.14.已知点，，，直线将分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是______.四､解答题（本题共5个小题，共77分，解答应写出必要的文字说明证明过程或演算步骤.）15.在中，，边上的高所在直线的方程为，的平分线所在直线的方程为，点的坐标为.（1）求直线的方程；（2）求直线的方程及点的坐标.16.在三角形中，内角所对边分别为，已知.（1）求角的大小；（2）若，三角形的面积为，求三角形的周长.17.在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手（1到5号）登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中选3名歌手．（1）求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；（2）表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求“”的事件概率．18.如图，已知圆，动点，过点P引圆的两条切线，切点分别为．（1）求证：直线过定点；（2）若两条切线与轴分别交于两点，求面积的最小值．19.在空间直角坐标系中，已知向量，点.若直线以为方向向量且经过点，则直线的标准式方程可表示为；若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程表示为.（1）已知直线标准式方程为，平面的点法式方程可表示为，求直线与平面所成角的余弦值；（2）已知平面的点法式方程可表示为，平面外一点，求点到平面的距离；（3）（i）若集合，记集合中所有点构成的几何体为，求几何体的体积：（ii）若集合.记集合中所有点构成的几何体为，求几何体相邻两个面（有公共棱）所成二面角的大小2024-2025学年湖南省长沙市高二上学期10月月考数学阶段检测试卷一､单选题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，每个小题只有一个正确答案）1.命题“对，都有”的否定为（）A.对，都有 B.对，都有C.，使得 D.，使得【正确答案】C【分析】利用全称量词命题的否定是存在量词命题，再直接写出否定即可.【详解】命题“对，都有”是全称量词命题，其否定是存在量词命题，所以所求否定是：，使得.故选：C.2.已知，，则（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】根据诱导公式和同角三角函数关系式平方关系计算得到答案；【详解】由诱导公式得，又由，可得．故选：A.3.设复数z满足，z在复平面内对应的点为，则（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】，根据模长公式得到，两边平方得到答案.【详解】，则，即，故.故选：C4.若函数是奇函数，函数是偶函数，则（）A.函数是奇函数B.函数是奇函数C.函数是奇函数D.函数是奇函数【正确答案】C【分析】根据函数的奇偶性对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】依题意，函数是奇函数，函数是偶函数，A选项，，所以是偶函数，A选项错误.B选项，，所以函数是偶函数，B选项错误.C选项，，所以函数是奇函数，C选项正确.D选项，，所以函数是非奇非偶函数，D选项错误.故选：C5.正四棱锥的侧棱长是底面边长的倍，则的取值范围是（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】由题意设出底面边长，列出关于的不等式求解即可.【详解】设正四棱锥的底面边长为，正四棱锥的高为，侧棱长度为，则，解得，所以的取值范围是.故选：D.6.已知为圆上的动点，且动点满足：，记点的轨迹为，则（）A.为一条直线 B.为椭圆C.为与圆O相交的圆 D.为与圆O相切的圆【正确答案】D【分析】设点坐标为，设Px0,y0，由，可得，代入圆方程，可得到点的轨迹的方程，即可判断轨迹是圆，圆为与圆O相切.【详解】设点坐标为，设Px0,y0，由，可得则，所以，即，把代入圆，则点的轨迹的方程为：，即是圆心为，半径为1的圆，则，由于两圆的圆心距和两圆的半径和相等，因此两圆外切，即为与圆O相切的圆.故选：D.7.集合，集合，从A，B中各任意取一个数相加为，则直线与直线平行的概率为（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】首先根据直线平行，求的值，再利用古典概型概率公式，即可求解.【详解】从A，B中各任意取一个数相加，有种情况，当直线，则，则，当时，从中取一个数相加为的有，2种情况，当时，从中取一个数相加为的有，2种情况，所以满足条件的有4种情况，所以满足条件的概率.故选：B8.已知，动圆经过原点，且圆心在直线上．当直线的斜率取最大值时，（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】运用两点间斜率公式，结合基本不等式可解.【详解】由题意可得，，直线的斜率为．因为，当且仅当，即时，等号成立，所以，即当直线的斜率取最大值时，，所以，故．故选：B．二，多选题（本题共3个小题，每小题6分，共18分，每小题有多项符合题目要求，全部选对得6分．选错得0分，部分选对得部分分）9.下列说法正确的是（）A.直线的倾斜角为B.方程与方程可表示同一直线C.经过点，且在，轴上截距互为相反数的直线方程为D.过两点的直线都可用方程表示【正确答案】AD【分析】对于A：先求斜率，进而可得倾斜角；对于B，注意区分方程与方程的不同之处，对于C：设直线l：，进而可得截距，根据题意进行求解即可，对于D：根据两点式方程的变形进行判断即可.【详解】对于选项A：直线的斜率，倾斜角为，故A正确；对于B，表示过点斜率为k的直线，但不含点，而表示过点斜率为k的直线，且含点，故B错误；对于C：经过点，斜率存在，设直线为，若在，轴上截距互为相反数，则，解得或，所以直线方程为或，故C错误；对于D，方程为直线两点式方程的变形，可以表示经过任意两点Px1,y1、故选：AD.10.已知函数下列命题正确的是（）A.的值域为B.若，则为奇函数C.若只有一个零点，则的取值范围为D.若在上单调递减，则的取值范围为【正确答案】BCD【分析】结合分段函数的单调性，依次判断即可.【详解】当时，时，，时，，所以的值域不为R，A错误.若时，图象如图，由图可知为奇函数，B正确.当时，时，，时，，有两个零点，当时，时，，只有一个零点，当时，时，，时，，时，，只有一个零点，所以，若只有一个零点，则的取值范围为，C正确.若在R上单调递减，则时，在上单调递减，则有，即的取值范围为，D正确.故选：BCD11.如图，正方体的棱长为1，E为棱的中点，P为底面正方形ABCD内（含边界）的动点，则（）A.三棱锥的体积为定值 B.直线平面C.当时， D.直线与平面所成角的正弦值为【正确答案】AD【分析】对于A，将三棱锥转换成后易得其体积为定值；对于B，建系后，证明与平面的法向量不垂直即可排除B项；对于C，设出，利用证得，再计算，结果不为0，排除C项；对于D，利用空间向量的夹角公式计算即得.【详解】对于A，如图1，因,故A正确；对于B，如图2建立空间直角坐标系，则,于是，，设平面的法向量为，则，故可取，由知与不垂直，故直线与平面不平行，即B错误；对于C，由上图建系，则,,因P为底面正方形ABCD内（含边界）动点,不妨设，则，，由题意，，即，于是，此时，故与不垂直，即C错误；对于D，由图知平面的法向量可取为，因，设直线与平面所成角为，则，故D正确.故选：AD.三､填空题（本题共3个小题，每题5分，共15分）12.函数的定义域为______.【正确答案】【分析】求使式子有意义的实数的集合即可.【详解】要使函数解析式有意义，则有，即，解得，故函数的定义域为.故答案为.13.已知梯形ABCD中，，，，，点在线段上，则的最小值为______.【正确答案】【分析】建立平面直角坐标系，先求直线方程，设点后利用坐标运算可得.【详解】如图，由题意以，为，轴建立平面直角坐标系，则，，，，设构成的一次函数为，代入，，得，得，即，因点P在线段BC上，可设，其中，则，，，因，故当时取最小值为.故14.已知点，，，直线将分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是______.【正确答案】【分析】先求得直线（）与x轴的交点为，由可得点M在射线OA上.求出直线和BC的交点N的坐标，①若点M和点A重合，求得；②若点M在点O和点A之间，求得；③若点M在点A的左侧，求得.再把以上得到的三个b的范围取并集，可得结果.【详解】由题意可得，三角形ABC的面积为，由于直线与x轴的交点为，由直线将分割为面积相等的两部分，可得，故，故点M在射线OA上，设直线和BC的交点为N，则由可得点N的坐标为，①若点M和点A重合，如图：则点N为线段BC的中点，故，把A、N两点的坐标代入直线，求得.②若点M在点O和点A之间，如图：此时，点N在点B和点C之间，由题意可得三角形NMB的面积等于，即，即，可得，求得，故有.③若点M在点A的左侧，则，由点M的横坐标，求得.设直线和AC的交点为P，则由求得点P的坐标为，此时，由题意可得，三角形CPN的面积等于，即，即，化简可得，由于此时，所以，两边开方可得，所以，故有.综上可得b的取值范围应是.故答案为.关键点点睛：根据直线与三角形的交点位置分类讨论，利用三角形的面积求得等式，根据不等式性质求解即可，要注意讨论的完整性.四､解答题（本题共5个小题，共77分，解答应写出必要的文字说明证明过程或演算步骤.）15.在中，，边上的高所在直线的方程为，的平分线所在直线的方程为，点的坐标为.（1）求直线的方程；（2）求直线的方程及点的坐标.【正确答案】（1）（2）直线的方程为：，【分析】（1）根据垂直的位置关系，算出直线的斜率为，利用直线方程的点斜式列式，化简整理即可得到直线的方程；（2）由边的高所在直线方程和，解出，从而得出直线的方程．由直线、关于直线对称，算出方程，最后将方程与方程联解，即可得出点的坐标．【小问1详解】由于所在直线的方程为，故的斜率为，与互相垂直，直线的斜率为，结合，可得的点斜式方程：，化简整理，得，即为所求的直线方程．【小问2详解】由和联解，得由此可得直线方程为：，即，，关于角平分线轴对称，直线的方程为：，直线方程为，将、方程联解，得，，因此，可得点的坐标为．16.在三角形中，内角所对边分别为，已知.（1）求角的大小；（2）若，三角形的面积为，求三角形的周长.【正确答案】（1）（2）【分析】(1)由正弦定理进行边角互化可得，结合两角差的余弦公式及同角三角函数的基本关系可求出，即可求出.(2)由三角形的面积公式可得，结合及余弦定理即可求出，即可得出结果.【小问1详解】由正弦定理得，所以所以，整理得，因为，所以，因此，所以，所以.【小问2详解】由面积为，得，解得，又,则，.由余弦定理得，解得，，所以的周长为.17.在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手（1到5号）登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中选3名歌手．（1）求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手概率；（2）表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求“”的事件概率．【正确答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据古典概型分别求出甲、乙选中号歌手的概率；利用求得结果；（2）根据，分别求解出两人选择号歌手和三人选择号歌手的概率，加和得到结果.【详解】（1）设表示事件“观众甲选中号歌手”，表示事件“观众乙选中号歌手”则，事件与相互独立，与相互独立则表示事件“甲选中号歌手，且乙没选中号歌手”即观众甲选中号歌手且观众乙未选中号歌手的概率是（2）设表示事件“观众丙选中号歌手”，则依题意，，，相互独立，，，相互独立，且，，，彼此互斥故“”的事件的概率为本题考查独立事件概率的求解问题，关键是能够利用古典概型分别求解出符合题意情况的概率，属于基础题.18.如图，已知圆，动点，过点P引圆的两条切线，切点分别为．（1）求证：直线过定点；（2）若两条切线与轴分别交于两点，求的面积的最小值．【正确答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）先求出A，B在以PC为直径的圆上，再求出以PC为直径的圆M的方程，最后由两个圆求出公共弦即可；（2）先考虑一条切线斜率不存在的情况，求出面积，再考虑斜率都存在的情况下求出面积，最后得到面积的最小值即可.【小问1详解】由题知，圆的标准方程为，所以圆心，半径，因为是圆的两条切线，所以，，所以A，B在以PC为直径的圆上，又因为，且PC的中点为，所以以PC为直径的圆M的方程为，化简可得，所以AB为圆C与圆M的公共弦，所以直线AB的方程为，令，解得，所以直线过定点；【小问2详解】当PA，PB有一条斜率不存在，即时，不妨设PA斜率不存在，则直线PA的方程为，此时，，设直线PB的方程为，由圆心到PB的距离，解得，所以直线PB的方程为，所以，此时，；同理斜率不存在时；当PA，PB斜率均存在，即时，设过点的切线方程为，即，因为PA，PB与圆C相切，所以圆心C到直线的距离，即，，设PA，PB的斜率分别为，，则，，又点在直线上，点在直线上，，，所以而，所以．又因为且，所以当时，，此时．综上，面积的最小值为．关键点睛：本题的解题关键在于将面积问题转化为最小的问题，进而转化为斜率的问题，进而应用韦达定理解决.19.在空间直角坐标系中，已知向量，点.若直线以为方向向量且经过点，则直线的标准式方程可表示为；若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程表示为.（1）已知直线的标准式方程为，平面的点法式方程可表示为，求直线与平面所成角的余弦值；（2）已知平面