2024-2025学年福建省高三（上）数学适应性试卷（二）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年福建省高三（上）数学适应性试卷（二）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设集合A={x|x>5}，B={x|x2−(a+1)x+a<0}，若A∩B=⌀，则a的取值范围为A.(−∞,5] B.[5,+∞) C.(−∞,5) D.(5,+∞)2.若(1−2i)(z−i)=5，则|z|=(

)A.2 B.22 C.3.在△ABC中，点D是边BC上一点，若AD=xAB+yAC，则2x+5yA.7−210 B.7+210 C.4.将函数f(x)=8sinx图象向右平移π8后，再将所得图象上各点横坐标扩大为原来的4倍，得到g(x)的图象，若方程g(x)=4在[0,8π]内有两不等实根α，β，则cos(α+β+πA.−32 B.32 5.已知正四棱台下底面边长为42，若内切球的体积为323πA.49π B.56π C.65π D.130π6.设数列{an}的前n面和为Sn，若an+1=2A.a5<5 B.a5>10 C.7.设曲线D的方程为ax3+by3=xy(a,bA.曲线D一定经过第一象限B.当a=0，曲线D可能为抛物线

C.曲线D一定经过第三象限D.当a=b，曲线D一定关于直线y=x对称8.已知函数f(x)的定义域为R，且f(x+3)为奇函数，f(2−x)为偶函数，记f(x)的导函数为f′(x)，则下列函数为奇函数的是(

)A.f(x−1) B.f′(−x+3) C.f(x+2) D.f(x)二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.设A，B是非空的实数集，若f：A→B，则(

)A.函数f(x)的定义域为A B.函数f(x)的值域为B

C.函数f(x)=ax3+bx值域为R D.10.已知一组数据的平均数、中位数、众数依次成等差数列，现在丢失了其中一个数据，另外六个数据分别是7，9，10，7，15，7.将丢失数据的所有可能值从小到大排列成数列{an}，记X={aA.E(X)=8 B.D(X)=130 C.{an}是等差数列 11.若平面点集M满足：任意点(x,y)∈M，存在t∈(0,+∞)，都有(tx,ty)∈M，则称该点集M是t阶聚合点集.下列命题为真命题的是(

)A.若M={(x,y)|x≥y}，则M是3阶聚合点集

B.存在M对任意正数t，使M不是t阶聚合点集

C.若M={(x,y)|x24+y2=1}，则M不是13阶聚合点集

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.正八面体中，以其顶点为顶点的三棱锥的个数为______(用数字作答)．13.将一装有适量水的圆柱容器斜靠在墙面，已知墙面与水平地面垂直，若圆柱轴线与水平地面所成角为60°，则液面所呈椭圆的离心率为______．14.已知函数f(x)=ln|1x−四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)

在△ABC，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2sinA+3cosBcosC=4．

(1)证明：b=c；

(2)是否存在△ABC内一点D使得DA+DB+DC=0且16.(本小题12分)

如图，在圆锥SO中，高SO=3，底面圆O的直径AB=5，C是OA的中点，点D在圆O上，平面SAB⊥平面SCD．

(1)证明：CD⊥AB；

(2)若点P是圆O上动点，求平面SCD与平面SOP夹角余弦值的取值范围．17.(本小题12分)

已知函数f(x)=xlnx−a(x2−1)．

(1)讨论函数f(x)的零点个数；

(2)若f(x)有三个零点x1，x1，18.(本小题12分)

为庆祝祖国75周年华诞，某商场决定在国庆期间举行抽奖活动.盒中装有5个除颜色外均相同的小球，其中2个是红球，3个是黄球.每位顾客均有一次抽奖机会，抽奖时从盒中随机取出1球，若取出的是红球，则可领取“特等奖”，该小球不再放回；若取出的是黄球，则可领取“参与奖”，并将该球放回盒中．

(1)在第2位顾客中“参与奖”的条件下，第1位顾客中“特等奖”的概率；

(2)记Pn−1为第n个顾客参与后后来参与的顾客不再有机会中“特等奖”的概率，求数列{Pn}的通项公式；

(3)设事件X为第k个顾客参与时获得最后一个“特等奖”，要使X发生概率最大，求19.(本小题12分)

贝塞尔曲线是由法国数学家PierreBézier发明的，它为计算机矢量图形学奠定了基础.贝塞尔曲线的有趣之处在于它的“皮筋效应”，即随着控制点有规律地移动，曲线会像皮筋一样伸缩，产生视觉上的冲击．

(1)在平面直角坐标系中，已知点T1在线段AB上.若A(x1,y1)，B(x2,y2)，|AT1|=a|AB|，求动点T1坐标；

(2)在平面直角坐标系中，已知A(2,−4)，B(−2,0)，C(2,4)，点M，N在线段AB，BC上，若动点T2在线段MN上，且满足|AM||AB|=|BN||BC|=|MT2||MN|=a，求动点T2的轨迹方程；

(3)如图，已知A(−63参考答案1.A

2.D

3.B

4.A

5.C

6.C

7.D

8.A

9.AD

10.AC

11.ACD

12.12

13.1214.(115.(1)证明：由题意知，2sinA+32[cos(B+C)+cos(B−C)]=4，

所以4sinA+3cos(B+C)+3cos(B−C)=8，

所以4sinA−3cosA+3cos(B−C)=8，

所以5sin(A−φ)+3cos(B−C)=8，其中tanφ=34,sinφ=35,cosφ=45，

而sin(A−φ)和cos(B−C)的最大值为1，

所以上式只有当A−φ=π2,B=C时，等号成立，此时sinB=sinC，

由正弦定理得，bsinB=csinC，

所以b=c．

(2)解：因为DA+DB+DC=0，所以D为△ABC的重心，即D为各边中线的交点，

由(1)知b=c，

所以AD⊥BC，

因为点D在16.(1)证明：以O为原点，OA，OS所在直线分别为x，z轴，过点O作Oy⊥AB，建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(52,0,0),C(54,0,0),B(−52,0,0),S(0,0,3)，

所以SC=(54,0,−3)，

设CD=(a,b,0)，平面SCD的法向量为n1=(x1,y1,z1)，则n1⋅CD=ax1+by1=0n1⋅SC=54x1−3z1=0，

令x1=12b，则y1=−12a，z1=5b，所以n1=(12b,−12a,5b)，

而平面SAB的法向量为m=(0,1,0)，

因为平面SAB⊥平面SCD，所以m⋅n1=−12a=0，解得a=0，

所以CD=(0,b,0)，

而AB=(−5,0,0)，所以CD⋅AB=017.解：(1)f(x)=xlnx−a(x2−1)，定义域为(0,+∞)，则f′(x)=lnx+1−2ax，

令g(x)=lnx+1−2ax，则g′(x)=1x−2a，

(i)当2a≤0，即a≤0时，g′(x)>0，函数g(x)单调递增，

函数y=lnx在(0,1)上的取值集合为(−∞,0)，而y=1−2ax在(0,1)上的取值集合为(1,1−2a)，

则存在x0∈(0,1)，使得f′(x0)=0，当0<x<x0时，f′(x)<0，当x>x0时，f′(x)>0，

则函数f(x)在(0,x0)上单调递减，在(x0,+∞)上单调递增，f(x0)<f(1)=0，

而当x趋近于0时，f(x)趋近于a≤0，因此f(x)只有一个零点x=1；

(ii)当0<2a<1，即0<a<12时，由g′(x)>0，得0<x<12a，由g′(x)<0，得x>12a，

函数g(x)，即f′(x)在(0,12a)上单调递增，在(12a,+∞)上单调递减，f′(12a)=ln12a>0，

由(i)知，存在x0∈(0,1)，使得f′(x0)=0，

而f′(8a2)=ln8a2+1−16a=1+ln8+2ln1a−16a，令t=1a>2，1+ln8+2lnt−16t<1+ln8+2(1+t)−16t=3+ln8−14t<3ln2−4<0，

又8a2−12a=16−a2a2>0，则存在x1>12a，使得f′(x1)=0，

即当0<x<x0或x>x1时，f′(x)<0，当x0<x<x1时，f′(x)>0，

函数f(x)在(0,x0)，(x1,+∞)上单调递减，在(x0,x1)上单调递增，显然x0<1<x1，

因此f(x0)<0<f(x1)，又当x趋近于0时，f(x)趋近于a>0，因此f(x)在(0,x0)上有一个零点，

而1a2−12a=2−a2a2>0，f(1a2)=1a2ln1a2+a−1a18.解：(1)设第1位顾客中“特等奖”为事件A，第2位顾客中“参与奖”为事件B，

则P(AB)=25×34=310，P(B)=25×34+35×35=3350，

故P(A|B)=P(AB)P(B)=3103350=511；

(2)由题意得n≠0，n个顾客参与后后来的顾客不再有机会中“特等奖”表示最后一位顾客中“特等奖”，前n−1位顾客中有一位中“特等奖”，

所以Pn−1=25×(34)n−2×14+35×25×(34)19.解：(1)由题意可知A(x1,y1)，B(x2,y2)，设T1(x0,y0)，

则AB=(x2−x1,y2−y1)，AT1=(