2024-2025学年内蒙古赤峰市敖汉旗箭桥中学高三（上）开学数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年内蒙古赤峰市敖汉旗箭桥中学高三（上）开学数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.抛物线y=4x2的焦点坐标是(

)A.(0,1) B.(1,0) C.(0,116)2.已知点O(0,0,0)，A(1,0,1)，B(−1,1,2)，C(−1,0,−1)，则异面直线OC与AB所成角的正弦值为(

)A.36 B.33 C.3.已知圆心为(1,1)的圆与x轴交于A、B两点，|AB|=2，则该圆的方程是(

)A.x2+y2+2x+2y=0 B.x24.已知(x−2y)n的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等，则展开式中的x5yA.−4 B.84 C.−280 D.5605.已知等差数列{an}的公差d≠0，且a1，a3，aA.1316 B.1013 C.11136.若点P是曲线y=x2−lnx上任意一点，则点P到直线y=x−4的最小距离为A.1 B.2 C.227.已知F1，F2分别是双曲线E：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，直线l：y=x与A.2 B.22 C.2+8.若斜率为1的直线l与曲线y=ln(x+a)和圆x2+y2A.−1 B.0 C.2 D.0或2二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.如图，设E，F分别是正方体ABCD−A1B1C1D1的棱DC上两点，且A.三棱锥D1−B1EF的体积为定值

B.异面直线D1B1与EF所成的角为60°

C.D1B

10.身高各不相同的六位同学A，B，C，D，E，F站成一排照相，则说法正确的是(

)A.B与C同学不相邻，共有A44⋅A52种站法

B.B，C，D，E四位同学从左到右按照由高到矮的顺序站，共有30种站法

C.E不在排头，F不在排尾，共有504种站法

D.A、C、D三位同学必须站在一起，且A只能在11.已知f(x)=ex，g(x)=lnx，则下列说法正确的是(

)A.(f(x)−g(x))′=xex−1x

B.g(x)在x=1处的切线方程为y=x−1

C.y=xf(x)在(−1,+∞)上单调递增12.已知数列{an}满足a1=1，A.数列{an+1}是等比数列

B.an=2n−1

C.数列{an}的前三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知P(A)=13,P(B|A)=12,P(14.某小吃店的日盈利y(单位：百元)与当天平均气温(单位：℃)之间有如下数据：x/℃−2−1012y/百元54221由表中数据可得回归方程y=ax+b中a=−1.试预测当天平均气温为−3.2℃15.若(1−2x)2022=a016.若点P(x,y)是圆x2+y2−2x+4y+1=0四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题10分)

“五一”假期期间是旅游的旺季，某旅游景区为了解不同年龄游客对景区的总体满意度，随机抽取了“五一”当天进入景区的青、老年游客各120名进行调查，得到下表：满意不满意青年8040老年10020(1)依据小概率值α=0.005的独立性检验，能否认为“是否满意”与“游客年龄”有关联；

(2)若用频率估计概率，从“五一”当天进入景区的所有游客中任取3人，记其中对景区不满意的人数为X，求X的分布列与数学期望．

附：χ2=n(ad−bc)P(0.100.050.0100.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.82818.(本小题12分)

如图，在四棱台ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，DD1⊥平面ABCD，AB=2A1B1，DD1=1，P19.(本小题12分)

已知椭圆的焦点分别是F1(3,0)，F2(−3,0)，点M在椭圆上，且|MF1|+|MF2|=4．

(1)求椭圆的标准方程；

20.(本小题12分)

某小区开展了两会知识问答活动，现将该小区参与该活动的240位居民的得分进行了统计，得到如下的频率分布直方图．

(1)若此次知识问答的得分X服从N(μ,82)，其中μ近似为参与本次活动的240位居民的平均得分(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)，求P(66<X≤90)的值；

(2)本次活动，制定了如下奖励方案：参与本次活动得分低于μ的居民获得一次抽奖机会，参与本次活动得分不低于μ的居民获得两次抽奖机会，每位居民每次有23的机会抽中一张10元的话费充值卡，有13的机会抽中一张20元的话费充值卡，假设每次抽奖相互独立，假设该小区居民王先生参与本次活动，求王先生获得的话费充值卡的总金额Y的概率分布列，并估计本次活动需要准备的话费充值卡的总金额．

参考数据：P(μ−σ<X≤μ+σ)≈0.6827，21.(本小题12分)

已知数列{an}满足a1+a22+a33+⋯+ann=2n(n∈N∗)．22.(本小题12分)

已知函数f(x)=aex−3x．

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)若f(x)恰有两个零点，求a的取值范围．参考答案1.C

2.D

3.C

4.B

5.A

6.C

7.D

8.D

9.AD

10.ABC

11.BC

12.ABD

13.51814.6

15.−1

16.9+417.(1)解：零假设H0：“是否满意”与“游客年龄”无关联，

根据题意，由2×2列联表中的数据，可得χ2=240×(80×20−100×40)2120×120×180×60≈8.889>7.879，

所以在α=0.005的独立性检验中，可以推断H0不成立，即认为“是否满意”与“游客年龄”有关联．

(2)由题意，任抽取1人对景区不满意的概率为40+20240=14，

所以随机变量X～B(3,14)，

所以P(X=k)=C3k(1−14)3−k(14

X

0

1

2

3

P

27

27

9

1所以E(X)=0×276418.解：(1)证明：底面ABCD是边长为2的正方形，DD1⊥平面ABCD，

故DD ​1，DA，DC两两垂直．

以D为原点，DA，DC，DD1分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系，

在四棱台ABCD−A1B1C1D1中，AB=2A1B1=2，DD1=1，P为AB的中点，

故D 1(0,0,1)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，B1(1,1,1)，C(0,2,0)，C1(0,1,1)，P(2,1,0)，

则D1P=(2,1,−1),BC1=(−2,−1,1)，

所以D1P=−BC1，即D1P//BC1，

且D1P⊄平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1，

故D 1P//平面BC19.解：(1)设椭圆的标准方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，

由题意可知

c=32a=4a2=b2+c2，解得c=3a=2b=1，

所以椭圆的标准方程为

x24+y2=1，

(2)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，

联立y=kx+2x24+y2=1，消去y，可得(1+4k2)x2+82kx+4=0，

Δ=128k2−16(4k2+1)=64k2−16>0，则k>14或k<−14，

由韦达定理可得：x1+20.解：(1)根据题意可得μ=55×0.1+65×0.3+75×0.3+85×0.2+95×0.1=74，

所以X～N(74,82)，

故P(66<X≤90)=P(μ−σ<X≤μ+2σ)

=P(μ−σ<X≤μ+σ)+P(μ−2σ<X≤μ+2σ)2=0.6827+0.95452=1.63722=0.8186；

(2)参与活动的每位居民得分低于74分的概率为0.1+0.3+410×0.3=1325，

得分不低于74分的概率为1225．

Y的所有可能取值分别为10，20，30Y10203040P2629164所以E(Y)=10×2675+20×87225+30×21.解：(1)因为a1+a22+a33+⋯+ann=2n(n∈N∗)，①

当n=1时，a1=2，

当n≥2时，a1+12a2+13a3+⋯+1n−1an−1=2(n−1)，②

22.解：(1)由题意知：f(x)定义域为R，f′(x)=aex−3，

当a≤0时，f′(x)<0，∴f(x)为R上的减函数，

当a>0时，由f′(x)=0，解得：x=ln3a，

∴当x∈(−∞,ln3a)时，f′(x)<0；当x∈(ln3a,+∞)时，f′(x)