2024-2025学年黑龙江省哈尔滨市阿城区九年级（上）月考数学试卷（9月份）（五四学制）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年黑龙江省哈尔滨市阿城区九年级（上）月考数学试卷（9月份）一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列方程是一元二次方程的是(

)A.x+3y=−1 B.x2+5x−6=0 C.x22.抛物线y=2(x−3)2+5的顶点坐标是A.(−3,5) B.(3,5) C.(−3,−5) D.(3,−5)3.将抛物线y=x2向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是(

)A.y=(x−3)2+4 B.y=(x+3)2+44.红树林是一种宝贵的湿地资源.全国红树林的面积在2023年达到2.9万公顷，预计到2025年全国红树林面积将达到3.6万公顷，设平均每年的增长率为x，可列方程得(

)A.2.9(1+x)2=3.6 B.3.6(1+x)2=2.95.若关于x的一元二次方程kx2−2x−1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是A.k>−1 B.k>−1且k≠0 C.k<1 D.k<1且k≠06.学校要组织一场篮球联赛，赛制为单循环形式，即每两队之间比赛一场，计划安排15场比赛，应邀请多少个队参加比赛？设应邀请x个球队参加比赛，下列算式正确的是(

)A.x(x+1)=15 B.x(x−1)=15 C.12x(x+1)=15 7.对于抛物线y=−13(x−5)A.开口向下，顶点坐标(5,3) B.开口向上，顶点坐标(5,3)

C.开口向下，顶点坐标(−5,3) D.开口向上，顶点坐标(−5,3)8.一个三角形的两边长为3和6，第三边的边长是方程(x−3)(x−4)=0的根，则这个三角形的周长(

)A.13 B.11或13 C.11 D.11和129.如图，在△ABC中，∠B=90°，BC=8cm，AB=6cm，动点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，若P、Q两点分别从A、B两点同时出发，在运动过程中，△PBQ的最大面积是(

)A.18cm2 B.12cm2 C.10.如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点(4,0)，其对称轴为直线x=1，结合图象给出下列结论：①abc<0；②b2−4ac>0；③2a+b=0；A.1个

B.2个

C.3个

D.4个二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。11.已知二次函数y=3x2，则其图象的开口向______.(填“上”或“下”)12.方程x2=x的解是______．13.若x=−1是关于x的一元二次方程x2−2x+m=0的一个根，则m的值为______．14.直角三角形两条直角边长分别为x+1，x+3，斜边长为2x，那么x=______．15.方程x2−2x+m=0有两个相等的实数根，则m的值为

．16.对于实数a，b定义运算“⊗”为a⊗b=b2−ab，例如：3⊗2=则关于x的方程(k−3)⊗x=k−1的根的情况是______．17.如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m.若水面再上升1.5m，则水面的宽度为______m.18.某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y=−x2+4x19.如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度ℎ(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有函数关系：ℎ=−5t2+20t，则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间t=______s.

20.如图，坐标平面上，二次函数y=−x2+4x−k的图形与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，其顶点为D，且k>0，若△ABC与△ABD的面积比为1：4，则k三、解答题：本题共7小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。21.(本小题7分)

定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”.例如：x2=9和(x−2)(x+3)=0有且只有一个相同的实数根x=−3，所以这两个方程为“同伴方程”.根据所学定义，判断下列两个一元二次方程是否属于“同伴方程”.(写出过程)

(1)(x−1)2=16；22.(本小题7分)

如图，一名男生推铅球(铅球行进路线呈抛物线形状)，测得铅球出手点P距地面53m，铅球行进路线距出手点P水平距离4m处达到最高，最高点距地面3m；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为y=a(x−ℎ)2+k，其中x(m)是铅球行进路线的水平距离，y(m)是铅球行进路线距地面的高度．

(1)23.(本小题8分)

阅读材料：

材料1：关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根x1，x2和系数a，b，c，有如下关系：x1+x2=−ba，x1⋅x2=ca．

材料2：已知一元二次方程x2−x−1=0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值．

解：∵m，n是一元二次方程x2−x−1=0的两个实数根，

∴m+n=1，mn=−1，

则m2n+mn224.(本小题8分)

二次函数的解析式为y=−x2+(m−1)x+m．

(1)求证：无论m取何值，抛物线总与x轴有交点；

(2)当m=3时，

①求抛物线与x轴的两个交点的坐标；

②当函数值大于0时，请直接写出25.(本小题10分)

把边长为44cm的正方形硬纸板(如图1)，在四个顶点处分别剪掉一个小正方形，折成一个长方体形的无盖盒子(如图2)，折纸厚度忽略不计．

(1)要使折成的盒子的底面积为576cm2，剪掉的正方形边长应是多少厘米？

(2)折成的长方体盒子侧面积(四个侧面的面积之和)有没有最大值？如果没有，说明理由：如果有，求出这个最大值，并求出此时剪掉的正方形边长．

26.(本小题10分)

如图，抛物线y=−14x2+4与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，点P是射线BA上的一个动点，过点P作PB′⊥x轴交射线BC于点B′，设点P的横坐标为x，△BPB′与△ABC重叠部分的面积为S．

(1)判断△ABC的形状，并证明；

(2)求S关于x的函数解析式，并直接写出自变量x27.(本小题10分)

如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A(−1,0)、B(4,0)、C三点，且OB=OC，点P是抛物线上的一个动点．

(1)求这个二次函数的解析式；

(2)若点P在直线BC下方，P运动到什么位置时，四边形PBOC面积最大？求出此时点P的坐标和四边形PBOC的最大面积；

(3)直线BC上是否存在一点Q，使得以点A、B、P、Q组成的四边形是平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案1.B

2.B

3.A

4.A

5.B

6.D

7.A

8.A

9.C

10.C

11.上

12.x1=0，13.−3

14.5

15.1

16.有两个不相等的实数根

17.2

18.4

19.2

20.4521.解：(1)(x−1)2=16，

x−1=±4，

x1=5，x2=−3；

(2)(x−5)(x+1)=0，

x1=5，x222.解：(1)由题意，P(0,53)，顶点坐标为(4,3)，代入y=a(x−ℎ)2+k，

∴ℎ=4，k=3，16a+3=53．

∴a=−112．

∴抛物线的表达式为y=−112(x−4)2+3．

(2)23.−32

24.(1)证明：令y=0，得到−x2+(m−1)x+m=0，

∵a=−1，b=m−1，c=m，

∴b2−4ac=(m−1)2+4m=(m+1)2，

又(m+1)2≥0，即b2−4ac≥0，

∴方程y=−x2+(m−1)x+m有实数根，

x−2−101234y−503430−5描点；

画图如下：

．

由函数图象知，抛物线与x轴的两个交点的坐标为：(−1,0)，(3,0)；

②由图象可得：当y>0时，x的取值范围为−1<x<3．

25.解：(1)设剪掉的正方形的边长为x cm．

则(44−2x)2=576，

即22−x=±12，

解得x1=34(不合题意，舍去)，x2=10，

∴剪掉的正方形的边长为10cm；

(2)侧面积有最大值．

设剪掉的小正方形的边长为a cm，盒子的侧面积为ycm2，

则y与a的函数关系为：y=4(44−2a)a，

即y=−8a2+176a，

即y=−8(a−11)26.解：(1)△ABC为等腰直角三角形；

理由如下：

当y=0时，−14x2+4=0，解得x1=−4，x2=4，

∴A(−4,0)，B(4,0)，

当x=0时，y=−14x2+4=4，则C(0,4)，

∴OA=OB=OC，

∴△AOC和△BOC都为等腰直角三角形，

∴∠CAO=∠CBO=45°，

∴△ABC为等腰直角三角形；

(2)设直线BC的解析式为y=kx+b，

把C(0,4)，B(4,0)分别代入得b=44k+b=0，

解得k=−1b=4，

∴直线BC的解析式为y=−x+4，

同理可得AC的解析式为y=x+4，

设P(x,0)，

当0≤x≤4时，如图1，

OP=x，PB=4−x，

∵PB′⊥x轴，

∴△PBB′为等腰直角三角形，

S=S△BPB′=12⋅27.解：(1)∵B(4,0)，且OB=OC，

∴C(0,−4)，

设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，把A(−1,0)、B(4,0)、C(0,−4)代入得：

a−b+c=016a+4b+c=0c=−4，

解得a=1b=−3c=−4，

∴二次函数的解析式为y=x2−3x−4；

(2)∵点P在抛物线上，

∴可设P(t,t2−3t−4)，

过P作PE⊥x轴于点E，交直线BC于点F，如图：

∵B(4,0)，C(0,−4)，

∴直线BC解析式为y=x−4，S△BOC=12OB⋅OC=12×4×4=8，

∴F(t,t−4)，当S△PBC最大时，四边形PBOC的面积最大，

∴PF=(t−4)−(t2−3t−4)=−t2+4t，

∴S△PBC=S△PFC+S