浙江省杭州市浙里特色联盟2024-2025学年高一上学期11月期中数学试题 含解析

2024学年第一学期浙里特色联盟期中联考高一数学学科试题考生须知：1．本试题卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号.3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效.4．考试结束后，只需上交答题卷.选择题部分一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分．）1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，利用交集的定义求解得答案.【详解】集合，，则.故选：B2.命题“”的否定是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用量词命题否定的规则：改量词，否结论即可得解.【详解】因为量词命题否定的规则为：改量词，否结论，所以命题“”的否定为.故选：D.3.函数的定义域为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用具体函数的定义域求法即可得解.【详解】对于，有，解得且，所以的定义域为.故选：D.4.下列函数在定义域上为减函数的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用函数解析式逐项判断函数的单调性即可.【详解】对于A，函数在定义域R上单调递增，A不是；对于B，函数的定义域为，在定义域上不单调，B不是；对于C，函数在定义域R上单调递减，C是；对于D，函数的定义域为，在定义域上不单调，D不是.故选：C5.下列四组函数中，表示同一函数的是（）A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】【分析】利用函数定义域和对应关系均相同则函数相同，对选项逐一判断即可得解.【详解】A选项，与，对应关系不同，不表示同一函数，故A错误；B选项，的定义域是，的定义域也是，则两函数的定义域相同，对应关系也相同，表示同一函数，故B正确；C选项，的定义域是，的定义域为，所以两函数的定义域不同，不表示同一函数，故C错误；D选项，由且，解得，则定义域为，由，解得或，则定义域为或，所以两函数定义域不同，不表示同一函数，故D错误.故选：B.6.不等式的解集为（）A. B.C.或 D.或【答案】A【解析】【分析】利用二次不等式的解法即可得解.【详解】因为，所以，解得，所以的解集为.故选：A.7.已知是定义在上的偶函数，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用充分必要条件的判定方法，结合偶函数的性质即可判断.【详解】当时，显然成立，即充分性成立；当时，因为函数是上的偶函数，取，则满足，但不成立，即必要性不成立；所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A.8.的定义域是，则下列命题中不正确的是（）A.若是偶函数，则也是偶函数B.若是奇函数，则也是奇函数C.若是单调递减函数，则也是单调递减函数D.若是单调递增函数，则也是单调递增函数【答案】C【解析】【分析】利用函数奇偶性与单调性的定义与判定方法，逐一分析各选项即可得解.【详解】对于A，因为偶函数，定义域为，则f−x=fx，的定义域也为故，则为偶函数，故A正确；对于B，因为是奇函数，定义域为，则f−x=−fx，的定义域也为故，则为奇函数，故B正确；对于C，取，则为单调递减函数，满足条件，但此时，为单调递增函数，结论不成立，故C错误；对于D，因为是单调递增函数，任取，且，则，所以，则也是单调递增函数，故D正确.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于，熟练掌握函数奇偶性与单调性的定义与判定方法，从而得解.二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．每小题列出的四个备选项中有多个是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，不选、错选得0分．）9.若集合，，且，则的值为（）A. B.0 C.1 D.3【答案】ABD【解析】【分析】利用集合的包含关系得到关于的方程，解之即可得解.【详解】因为，，且，所以或，解得或或，当时，，，满足题意；当时，，，满足题意；当时，，，满足题意；当时，，，不满足集合的互异性，舍去；综上，或，故ABD正确，C错误.故选：ABD.10.下列命题正确的是（）A.若，则的最小值为2B.若，则的最小值为1C.若，，且，则的最小值为D.若，，且，则的最大值为【答案】BC【解析】【分析】举反例排除A，利用配凑法，结合基本不等式可判断B，利用基本不等式“1”的妙用可判断C，利用基本不等式“一正二定三相等”可判断D，从而得解.【详解】对于A，因为，取，则，显然的最小值不可能为2，故A错误；对于B，因为，则，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为1，故B正确；对于C，因为，，且，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为，故C正确；对于D，因为，，所以当且仅当，即时取等号，显然等号无法取得，D错误.故选：BC.11.设，定义：，，下列式子正确的是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】理解函数新定义可直接判断A，举反例排除B，分类讨论的大小关系，利用绝对值的相关知识可判断C，分类讨论的大小关系可判断D，从而得解.【详解】因为，，则表示中较大的数，表示中较小的数，对于A，，所以，故A正确；对于B，当时，，所以，而，此时不成立，故B错误；对于C，当时，，得，当时，；当时，；则；当时，，得，当时，；当时，；则；综上，，故C正确；对于D，当时，，则；当时，，则；综上，，故D正确.故选：ACD.【点睛】方法点睛：解新定义题型的步骤：（1）理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.（2）重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.（3）类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题.非选择题部分三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．）12.已知集合，，则的值为________.【答案】##【解析】【分析】利用元素与集合的关系得到关于的方程，解之即可得解.【详解】因为，，所以是的一个解，即，解得，经检验，满足题意.故答案为：13.已知幂函数的图象过点（2，），则___________【答案】【解析】【分析】由幂函数所过的点求的解析式，进而求即可.【详解】由题设，若，则，可得，∴，故.故答案为：14.对于函数，若对于任意的，，，为某一三角形的三边长，则称为“可构成三角形的函数”，已知函数是“可构成三角形的函数”，则实数的取值范围________.【答案】【解析】【分析】利用可构成三角形的函数的定义，得到，进而分类讨论与两种情况，分析的最值情况，从而得到关于的不等式，解之即可得解.【详解】由题意知对任意的，恒成立，则，因为，当时，，显然满足；当时，，，则，所以，，所以，即，此时没有最小值，所以，解得，故；综上，.故答案为：.【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有：（1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思；（2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言；（3）将已知条件代入新定义的要素中；（4）结合数学知识进行解答.四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15.已知集合，.（1）当时，求，；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）或，（2）【解析】【分析】（1）解二次不等式化简集合，再根据题意化简集合，从而利用集合的补集与交集运算即可得解；（2）由题意可得，分类讨论与两种情况，从而得到关于的不等式（组），解之即可得解.【小问1详解】解，得，故，当时，，所以或，.【小问2详解】因为，所以，由（1）可知，又，当时，，解得，满足题意；当时，且，解得；综上，或，即实数a取值范围为.16.已知定义域是的奇函数，当时，.（1）若，求的值；（2）若函数在区间上单调递增，求的取值范围；（3）若，不等式在区间上恒成立，求的取值范围.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）代入后求得，再利用奇函数的性质即可得解；（2）根据题意，考虑在上的单调性，利用二次函数的单调性即可得解；（3）利用函数的奇偶性求得当时，的解析式，再利用参变分离法与二次函数的最值性质即可得解.【小问1详解】当，时，，则，又y=fx定义域是的奇函数，所以.【小问2详解】因为函数在区间上单调递增，所以此时只需考虑在上的单调性即可，因为当时，，其图象开口向下，对称轴为，所以，解得，即的取值范围为.【小问3详解】因为不等式在区间上恒成立，所以此时只需考虑在0,+∞上的解析式即可，当，时，，当时，，则，又y=fx定义域是的奇函数，所以，因为不等式在区间上恒成立，所以，即在上恒成立，令，则，而，当且仅当时，等号成立，则，所以，即.17.某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本（万元）与年产量（吨）之间的函数关系式可以近似地表示为，已知此生产线年产量最大为吨.（1）求年产量多少吨时，总成本最低，并求最低成本（2）若每吨产品平均出厂价为万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润最大利润是多少【答案】（1）当年产量为吨时，其生产的总成本最低，最低成本为万元（2）当年产量为吨时，可获得最大利润万元【解析】【分析】（1）根据已知条件求得总成本的表达式，利用二次函数的性质求得总成本的最小值并求得此时对应的年产量.（2）利用求得总利润的表达式，再根据二次函数的性质求得最大利润以及此时对应的年产量.【小问1详解】因为，所以当年产量为吨时，其生产的总成本最低，最低成本为万元.【小问2详解】设该工厂年获得总利润为万元，则.因为在上是增函数，所以当时，有最大值为.故当年产量为吨时，可获得最大利润万元.18.已知，，函数．（1）若，求的最小值；（2）若，求不等式的解集（用表示）．【答案】（1）；（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）由得，再利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.（2）由得到，即代入不等式中分类讨论解不等式即可.【小问1详解】由，得，即，而，因此，当且仅当时取等号，所以当时，取得最小值.【小问2详解】由，得，即，不等式，当时，解得或；当时，；当时，解得或，所以当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为R；当时，原不等式的解集为.19.已知实数集，定义（1）若，求；（2）若，求集合；（3）若中的元素个数为9，求的元素个数的最小值．【答案】（1）；（2）或；（3）13.【解析】【分析】（1）根据集合的新定义直接求解即可.（2）根据给定定义可得，再按中4个非零元素，符号为一负三正或者一正三负分类讨论列式计算.（3）按中没有负数和中至少有一个负数两种情况分类讨论求解.【小问1详解】依题意，.【小问2详解】依题意，，且中有4个非零元素，符号为一负三正或者一正三负，记，不妨设或者，①当时，且，相乘得，解得，因此，；②当时，同理得到，，所以或.【小问3详解】先证明中元素个数不小于13，若将中的所有元素均变为原来的相反数时，集合不变，