《1利用导数研究函数的单调性》知识清单

《1利用导数研究函数的单调性》知识清单一、导数与函数单调性的基本概念1、导数是什么导数就像是函数的一个小跟班，它能告诉我们函数在某个点上的变化速度。比如说，你可以把函数想象成一辆汽车的行驶路程关于时间的函数，那导数就是汽车在每个瞬间的速度。如果导数大，就好像汽车开得快；导数小，就像汽车开得慢。从数学定义上来说，函数\（y＝f(x)＼）在点\（x_0\）处的导数\（f^＼prime(x_0)＼）就是当\（＼Deltax\）趋近于\（0\）时，＼（＼frac{＼Deltay}｛＼Deltax}＝＼frac{f(x_0+＼Deltax)f(x_0)｝｛＼Deltax}＼）的极限。用大白话讲，就是我们看函数\（y＝f(x)＼）在\（x_0\）附近的变化情况，这个变化情况就是导数。举例：就像我们观察一个人爬山，山的高度\（h\）是关于这个人水平移动距离\（x\）的函数\（h＝f(x)＼）。那在某个位置\（x_0\）的导数\（f^＼prime(x_0)＼）就是这个人在这个位置的爬坡速度。如果导数是正的，说明他在往上爬；如果是负的，说明他在往下走；如果是\（0\），那他可能是在一个平台上休息呢。2、函数的单调性函数的单调性就是函数是在上升（单调递增）还是在下降（单调递减）。如果对于区间\（I\）内的任意两个自变量\（x_1\）和\（x_2\），当\（x_1<x_2\）时，都有\（f(x_1)＜f(x_2)＼），那么函数\（y＝f(x)＼）在区间\（I\）上就是单调递增的；反之，如果当\（x_1<x_2\）时，都有\（f(x_1)＞f(x_2)＼），那么函数在区间\（I\）上就是单调递减的。举例：想象你在看股票价格的走势图，这个走势图就是一个函数图像。如果股票价格随着时间一直在上涨，那这个函数（股票价格关于时间的函数）在这个时间段就是单调递增的；如果一直在下跌，那就是单调递减的。二、导数与函数单调性的关系1、导数的正负决定函数的单调性如果函数\（y＝f(x)＼）在区间\（I\）上可导，且\（f^＼prime(x)＞0\）对\（x\inI\）恒成立，那么函数\（y＝f(x)＼）在区间\（I\）上单调递增。这就好比你在跑步，你的速度（导数）一直是正的，那你跑的路程（函数值）肯定是越来越多的，也就是函数在单调递增。如果\（f^＼prime(x)＜0\）对\（x\inI\）恒成立，那么函数\（y＝f(x)＼）在区间\（I\）上单调递减。就像你在倒车，速度（导数）是负的，那你离原来的位置（函数值相对于某个方向）就越来越远，也就是函数在单调递减。如果\（f^＼prime(x)＝0\）对\（x\inI\）恒成立，那么函数\（y＝f(x)＼）在区间\（I\）上是常函数。这就像你站着不动，速度（导数）为\（0\），你的位置（函数值）就不变了。举例：我们来看一个简单的函数\（y＝x^｛2}＼），它的导数\（y^＼prime＝2x\）。当\（x>0\）时，＼（y^＼prime=2x＞0\），所以函数在\（（0,＋＼infty)＼）上单调递增；当\（x<0\）时，＼（y^＼prime＝2x<0\），所以函数在\（（＼infty,0)＼）上单调递减。2、求函数单调区间的步骤第一步，求出函数\（y＝f(x)＼）的导数\（f^＼prime(x)＼）。这就像我们要知道汽车的速度函数一样，先得根据路程函数求出速度函数。第二步，令\（f^＼prime(x)＝0\），求出这个方程的根。这些根就像是速度为\（0\）的点，可能是函数单调性发生变化的点，我们把这些点叫做驻点。第三步，用驻点把函数的定义域分成若干个区间，然后在每个区间内判断\（f^＼prime(x)＼）的正负性。就像把一段路分成几段，然后看看在每段路上汽车是在加速还是减速。第四步，根据\（f^＼prime(x)＼）的正负性确定函数的单调区间。如果\（f^＼prime(x)＞0\），就是单调递增区间；如果\（f^＼prime(x)＜0\），就是单调递减区间。举例：对于函数\（y=＼sinxx\），首先求导得到\（y^＼prime=＼cosx1\）。令\（y^＼prime＝0\），即\（＼cosx-1＝0\），解得\（x＝2k\pi\），＼（k\inZ\）。当\（x\in(2k\pi,2(k＋1)＼pi)＼）时，＼（＼cosx-1\leqslant0\），所以函数\（y=＼sinxx\）在\（（2k\pi,2(k＋1)＼pi)＼），＼（k\inZ\）上单调递减。三、函数单调性的应用1、比较函数值的大小如果函数\（y＝f(x)＼）在区间\（I\）上单调递增，且\（x_1,x_2\inI\），＼（x_1<x_2\），那么\（f(x_1)＜f(x_2)＼）。反过来，如果函数在区间\（I\）上单调递减，且\（x_1,x_2\inI\），＼（x_1<x_2\），那么\（f(x_1)＞f(x_2)＼）。举例：已知函数\（y＝e^｛x}＼）在\（R\）上单调递增。如果\（x_1＝1\），＼（x_2＝2\），那么\（e^｛1}＜e^｛2}＼）。就像两个人在同一条路上跑步，一个人在前面出发一会儿，另一个人在后面出发，如果他们的速度一直在增加（函数单调递增），那后面出发的人肯定比前面出发的人跑得慢（函数值小）。2、解不等式例如，已知函数\（y＝f(x)＼）的导数\（f^＼prime(x)＼），要解不等式\（f(x)＞g(x)＼），可以先构造函数\（h(x)＝f(x)g(x)＼），然后求\（h(x)＼）的导数\（h^＼prime(x)＼），根据\（h^＼prime(x)＼）确定\（h(x)＼）的单调性，再结合\（h(x)＼）的特殊值来解不等式。举例：解不等式\（x^｛2}＞2x1\）。我们构造函数\（h(x)＝x^｛2}－2x＋1\），求导得\（h^＼prime(x)＝2x2\）。令\（h^＼prime(x)＝0\），解得\（x＝1\）。当\（x<1\）时，＼（h^＼prime(x)＜0\），＼（h(x)＼）单调递减；当\（x>1\）时，＼（h^＼prime(x)＞0\），＼（h(x)＼）单调递增。又因为\（h(1)＝0\），所以不等式\（x^｛2}＞2x1\）的解为\（x\neq1\）。3、证明不等式利用函数的单调性来证明不等式是一种很巧妙的方法。通常我们会把不等式两边的式子构造成一个函数，然后通过研究这个函数的单调性来证明不等式。举例：证明当\（x>0\）时，＼（x\frac{x^｛2}｝｛2}＜＼ln(1＋x)＼）。我们构造函数\（f(x)＝＼ln(1＋x)x+＼frac{x^｛2}｝｛2}＼），求导得\（f^＼prime(x)＝＼frac{1}｛1＋x}－1＋x=＼frac{x^｛2}｝｛1＋x}＼）。当\（x>0\）时，＼（f^＼prime(x)＞0\），所以\（f(x)＼）在\（（0,＋＼infty)＼）上单调递增。又因为\（f(0)＝0\），所以当\（x>0\）时，＼（f(x)＞0\），即\（x\frac{x^｛2}｝｛2}＜＼ln(1＋x)＼）。四、二阶导数与函数的凹凸性（拓展知识）1、二阶导数的概念二阶导数就是导数的导数。如果函数\（y＝f(x)＼）的导数\（y^＼prime=f^＼prime(x)＼）仍然可导，那么\（（f^＼prime(x)）＾＼prime=f^｛＼prime\prime}（x)＼）就是函数\（y＝f(x)＼）的二阶导数。可以把二阶导数想象成是对函数变化速度的变化速度的描述。举例：还是拿汽车行驶来说，一阶导数是汽车的速度，那二阶导数就是汽车速度的变化率，也就是加速度。如果加速度是正的，说明汽车在加速；如果是负的，说明汽车在减速。2、二阶导数与函数凹凸性的关系如果函数\（y＝f(x)＼）在区间\（I\）上二阶可导，且\（f^｛＼prime\prime}（x)＞0\）对\（x\inI\）恒成立，那么函数\（y＝f(x)＼）在区间\（I\）上是下凸函数（也叫凹函数）。就像一个碗的形状，底部是凹下去的。如果\（f^｛＼prime\prime}（x)＜0\）对\（x\inI\）恒成立，那么函数\（y＝f(x)＼）在区间\（I\）上是上凸函数（也叫凸函数）。就像一个倒扣的碗的形状。举例：对于函数\（y＝x^｛2}＼），它的一阶导数\（y^＼prime＝2x\），二阶导数\（y^｛＼prime\prime}＝2\）。因为\（y^｛＼prime\prime}＝2>0\），所以函数\（y＝x^｛2}＼）是下凸函数。3、利用凹凸性解决问题在一些优化问题或者几何问题中，函数的凹凸性可以给我们提供很多有用的信息。例如，在求函数的最值时，如果函数是凸函数，那么它的最大值可能在区间的端点处取得；如果是凹函数，最小值可能在区间的端点处取得。举例：考虑函数\（y=＼sinx\）在\（0,＼pi\）上，它的二阶导数\（y^｛＼prime\prime}＝＼sinx\）。在\（（0,＼pi)＼）内，＼（y^｛＼prime\prime}＜0\），所以\（y＝＼sinx\）在\（0,＼pi\）上是上凸函数。那么\（＼sinx\）在\（0,＼pi\）上的最大值是\（＼sin\frac{＼pi}｛2}＝1\），最小值在端点\（0\）或者\（＼pi\）处取得，＼（＼sin0=＼sin\pi＝0\）。五、习题1、求函数\（y＝3x^｛4}－4x^｛3}＋1\）的单调区间。2、已知函数\（y＝f(x)＼）在区间\（（＼infty,＋＼infty)＼）上可导，且\（f^＼prime(x)＝x^｛2}－2x3\），求函数\（y＝f(x)＼）的单调递增区间和单调递减区间。3、证明当\（x>0\）时，＼（e^｛x}＞1＋x+＼frac{x^｛2}｝｛2}＼）。4、比较\（＼ln2\）和\（＼frac{1}｛2}＼）的大小，利用函数\（y＝＼ln(1＋x)＼）的单调性。习题答案1、首先求函数\（y＝3x^｛4}－4x^｛3}＋1\）的导数，＼（y^＼prime＝12x^｛3}－12x^｛2}＝12x^｛2}（x1)＼）。令\（y^＼prime=0\），解得\（x＝0\）或者\（x＝1\）。当\（x<0\）或者\（x>1\）时，＼（y^＼prime>0\），函数单调递增；当\（0<x<1\）时，＼（y^＼prime<0\），函数单调递减。所以函数的单调递增区间是\（（＼infty,0)＼cup(1,＋＼infty)＼），单调递减区间是\（（0,1)＼）。2、令\（f^＼prime(x)＝x^｛2}－2x3=（x3)（x＋1)＝0\），解得\（x＝3\）或者\（x=1\）。当\（x<－1\）或者\（x>3\）时，＼（f^＼prime(x)＞0\），函数单调递增；当\（－1<x<3\）时，＼（f^＼prime(x)＜0\），函数单调递减。所以函数的单调递增区间是\（（＼infty,－1)＼cup(3,＋＼infty)＼），单调递减区间是\（（－1,3)＼）。3、构造函数\（f(x)＝e^｛x}－1x\frac{x^｛2}｝｛2}＼），求导得\（f^＼prime(x)＝e^｛x}－1x\），再求导得\（f^｛＼prime\prime}（x)＝e^｛x}－1\）。当\（x>0\）时，＼（f^｛＼prime\prime}（x)＞0\），所以\（f^＼prime(x)＼）在\（（0,＋＼infty)＼）上单调递增。又因为\（f^＼prime(0)＝0\），所以当\（x>0\）时，＼（f^＼prime(x)＞0\），所以\（f(x)＼）在\（（0,＋＼infty)＼）上单调递增。又因为\（f(0)＝0\），所以当\（x>0\）时，＼（f(x)＞0\），即\（e^｛x}＞1