《1.2空间两点间的距离公式》学历案

《1.2空间两点间的距离公式》学历案班级：[具体班级]年级：[具体年级]班姓名：[姓名]学号：[学号]自评：[自评]##一、课程名称空间两点间的距离公式（北师大版（2019）选择性必修第一册第三章空间向量与立体几何1.2）##二、学习内容目标###（一）知识与技能目标1、能说出空间直角坐标系的概念，就像能清楚地说出自己家的地址一样准确。在完成学习后，同学们要知道空间直角坐标系是由三条互相垂直的数轴组成的，这三条数轴分别叫做x轴、y轴、z轴，它们的交点叫做原点。2、能理解空间点的坐标表示方法，就像理解每个人都有自己独特的身份证号码一样。当给定一个空间点时，同学们要能够准确地写出它在空间直角坐标系中的坐标，知道坐标中的每个数值分别对应着该点在x轴、y轴、z轴上的位置。3、能熟练运用空间两点间的距离公式进行计算。这就好比我们知道了从家到学校的距离公式（虽然这个公式可能很简单，只是简单的加减法），在空间中，给定两个点的坐标，同学们要能够像计算从家到学校的距离一样，准确地算出这两个点之间的距离。具体来说，对于空间中的两点P(x₁,y₁,z₁)和Q(x₂,y₂,z₂)，要能够运用公式d=√((x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²+(z₂-z₁)²)计算出它们之间的距离。###（二）思维发展目标1、通过对空间直角坐标系和空间两点间距离公式的学习，同学们要能像小侦探一样，从实际的立体几何问题中发现数学模型。例如，在一个复杂的建筑结构中（想象一下埃菲尔铁塔的复杂结构），能够找到合适的点建立空间直角坐标系，把实际问题转化为数学问题，这就是数学建模思想的体现。2、在解决空间两点间距离问题的过程中，培养逻辑思维能力。就像走迷宫一样，每一步的计算都要有理有据，从已知条件出发，通过合理的推导和计算，得到最终的结果。##三、评价任务###（一）形成性评价1、在课堂讨论和小组活动中，观察同学们是否积极参与关于空间直角坐标系概念和空间两点间距离公式的讨论，是否能够准确地说出自己的想法和理解。2、在课堂练习环节，查看同学们对空间点坐标表示和距离公式计算的掌握情况，看是否能够正确地完成练习题，以及在计算过程中是否出现概念性的错误。###（二）总结性评价1、布置课后作业，通过作业的完成情况全面评估同学们对这部分知识的掌握程度，包括对空间直角坐标系的理解、空间点坐标的准确表示以及距离公式的熟练运用。2、在章节测试中，设置与空间两点间距离公式相关的各种题型，如选择题、填空题、解答题等，考查同学们对知识的综合运用能力和解决实际问题的能力。##四、学习过程###（一）导入（情境引入）同学们，我们先来讲一个有趣的故事。有一天，小明去参观一个超级酷炫的3D打印展览。在展览会上，他看到了各种各样奇妙的3D打印作品，有超级精细的埃菲尔铁塔模型，还有栩栩如生的小动物雕像。小明特别好奇这些3D打印机是怎么精确地在空间中定位每个点，然后把材料打印到正确的位置上的呢？这就和我们今天要学习的空间直角坐标系和空间两点间的距离公式有关系啦。想象一下，如果我们把这个3D打印的空间看作是一个巨大的空间直角坐标系，那么每个要打印的点都有它自己的坐标，就像我们在地图上找到每个地点的经纬度一样。而打印机要知道从一个点到另一个点的距离，才能准确地移动打印头进行打印。这就是我们今天要学习的知识在现实生活中的一个超级有趣的应用哦。###（二）知识讲解1、**空间直角坐标系**-同学们，我们先来认识一下空间直角坐标系。它就像是一个超级大的架子，由三条互相垂直的数轴组成。这三条数轴呢，就像三根超级坚固的柱子，分别叫做x轴、y轴、z轴。它们相交的那个点，就像架子的中心，叫做原点。大家可以想象一下自己站在一个房间的角落里，墙角的三条边就像是x轴、y轴、z轴，而墙角那个点就是原点。-为了让大家更好地理解，我们来做一个小练习。我在黑板上画一个简单的空间直角坐标系（简单画出坐标系），然后我随便指一个点，同学们试着说出这个点大概在哪个象限（如果可以的话，简单说一下坐标的正负情况）。2、**空间点的坐标表示**-那在这个空间直角坐标系里，每个点都有它自己独特的“身份证号码”，也就是坐标。比如说，有一个点P，它在x轴上的位置是3，在y轴上的位置是-2，在z轴上的位置是1，那这个点P的坐标就写成P(3,-2,1)。大家要注意坐标的顺序哦，先是x轴的坐标，然后是y轴的坐标，最后是z轴的坐标。-我们再来做一个互动游戏。我在黑板上写出几个点的坐标，然后请几位同学上来，在我画好的空间直角坐标系里把这些点标出来。这样大家就能更好地掌握空间点坐标表示的方法啦。3、**空间两点间的距离公式**-现在，我们要学习一个超级厉害的公式，那就是空间两点间的距离公式。假设我们有两个点，一个是P(x₁,y₁,z₁)，另一个是Q(x₂,y₂,z₂)，那这两个点之间的距离d就可以用这个公式来计算：d=√((x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²+(z₂-z₁)²)。这个公式看起来有点复杂，但是大家不要害怕。我们可以把它想象成是在平面上计算两点间距离公式（大家都学过平面上两点间距离公式吧，就是那个勾股定理变过来的）的升级版。-我来给大家举个例子。比如说有两个点A(1,2,3)和B(4,5,6)，那我们来计算一下A和B之间的距离。首先，我们把坐标代入公式里，得到d=√((4-1)²+(5-2)²+(6-3)²)=√(3²+3²+3²)=√27=3√3。大家看，按照步骤一步一步来，是不是也没有那么难呢？###（三）小组讨论与探究1、我现在给每个小组发一道实际问题，大家一起讨论怎么解决。问题是这样的：有一个长方体形状的仓库（同学们可以想象一下自己学校的储物间或者超市的仓库），仓库的一个角在空间直角坐标系中的坐标是O(0,0,0)，仓库的长、宽、高分别是a、b、c。现在有一个货物放在仓库里的一个点P，点P的坐标是P(x,y,z)，那这个货物离仓库的墙角O有多远呢？大家运用我们刚刚学的空间两点间的距离公式来讨论一下怎么计算。2、在小组讨论的过程中，每个同学都要积极发言，说说自己的想法。如果有不同的意见，大家可以一起探讨，看看哪个方法是最正确的。小组讨论结束后，每个小组派一个代表来给大家分享一下你们小组的讨论结果。###（四）实践操作1、我给大家发一些3D模型的小零件（可以是简单的立方体、三棱柱等形状的塑料小零件），还有一张带有空间直角坐标系的纸。同学们的任务就是把这些小零件放在坐标系里，然后选择两个点（可以是小零件的顶点或者其他特殊点），测量出这两个点的坐标（可以用尺子大概测量一下相对的距离，然后根据比例计算出坐标），最后用我们学的空间两点间的距离公式计算出这两个点之间的距离。2、在操作的过程中，大家要注意仔细观察和测量，遇到问题可以和小组同学互相讨论，也可以向老师提问。###（五）阅读拓展1、我给大家发一篇关于空间几何在航天航空领域应用的小文章（文章内容可以简单介绍航天飞行器在太空中的定位、轨道计算等与空间几何相关的知识）。同学们认真阅读这篇文章，看看在航天航空这个高大上的领域里，空间直角坐标系和空间两点间的距离公式是怎么发挥作用的。2、在阅读完文章之后，每个同学要写一个简短的读后感，说说自己从文章中学到了什么，以及对我们今天学习的知识有了哪些新的认识。###（六）课堂总结1、我们一起回顾一下今天学习的内容。首先我们学习了空间直角坐标系，它是由三条互相垂直的数轴组成的，我们要知道怎么确定空间中的点在这个坐标系里的坐标。然后我们学习了空间两点间的距离公式，并且通过各种练习、讨论、实践和阅读，大家对这个公式的运用应该有了一定的掌握。2、我想请几位同学站起来，分享一下自己今天学习的收获和体会。比如说，你觉得哪个部分是最容易理解的，哪个部分还需要再加强学习呢？##五、学后反思1、在这节课的学习过程中，我对空间直角坐标系和空间两点间的距离公式的理解有没有更深入呢？如果有，是通过哪些学习活动实现的呢？是小组讨论、实践操作还是阅读拓展呢？2、在解决实际问题的时候，我是否能够熟练地运用空间两点间的距离公式呢？如果遇到了困难，是因为对公式本身不理解，还是在建立空间直角坐标系或者确定点的坐标的时候出现了问题呢？3、在学习过程中，我有没有积极参与课堂活动呢？我和小组同学的合作是否愉快，有没有从其他同学那里学到一些新