2024-2025学年高中数学第一章立体几何初步2直观图课时作业含解析北师大版必修2

PAGE第一章立体几何初步[课时作业][A组基础巩固]1．下列结论：①角的水平放置的直观图肯定是角；②相等的角在直观图中仍旧相等；③相等的线段在直观图中仍旧相等；④两条平行线段在直观图中对应的两条线段仍旧平行．其中正确的有()A．①② B．①④C．③④ D．①③④解析：由斜二测画法的规则推断即可．答案：B2．如图所示为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是下列选项中的()解析：很明显平面图形是梯形，在直观图中，右边的线段与y′轴平行，因此平面图形的上底与右边的腰应垂直．答案：C3.水平放置的△ABC的直观图如图所示，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝eq\f(\r(3),2)，那么原△ABC是一个()A．等边三角形B．直角三角形C．三边中只有两边相等的等腰三角形D．三边互不相等的三角形解析：由图形，知在原△ABC中AO⊥BC，∵A′O′＝eq\f(\r(3),2)，∴AO＝eq\r(3).∵B′O′＝C′O′＝1，∴BC＝2，AB＝AC＝2，∴△ABC为等边三角形，故选A.答案：A4.如图，Rt△O′A′B′是一平面图形的直观图，直角边O′B′＝1，则这个平面图形的面积是()A．2eq\r(2) B．1C.eq\r(2) D．4eq\r(2)解析：∵O′B′＝1，∴O′A′＝eq\r(2).∴在Rt△OAB中，∠AOB＝90°，OB＝1，OA＝2eq\r(2)，∴S△AOB＝eq\f(1,2)×1×2eq\r(2)＝eq\r(2).答案：C5．用斜二测画法画一个水平放置的正五角星的直观图，则正五角星的各个角________(填“相等”“不相等”或“不全相等”)．解析：作出直观图可知各个角不全相等．答案：不全相等6.如图，△A′B′C′是△ABC的直观图，那么△ABC中最长的边为________．解析：由图知B′C′∥y′轴，A′B′∥x′轴，则原图中BC∥y轴，AB∥x轴，∠ABC＝90°，AC为Rt△ABC的斜边，故AC是△ABC中最长的边．答案：AC7．一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，已知长方体的长、宽、高分别为20m,5m,10m，四棱锥的高为8cm，若以长、宽、高所在直线分别为x，y，z轴建立坐标系，按1∶500的比例画出它的直观图，那么直观图中长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为________．解析：由比例可知长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为4cm,1cm，2cm和1.6cm，再结合直观图，图形的尺寸应为4cm,0.5cm,2cm,1.6cm.答案：4cm,0.5cm,2cm,1.6cm8.如图所示是△AOB用斜二测画法画出的直观图，则△AOB的面积是________．解析：画出原图形△AOB(图略)，则S△AOB＝eq\f(1,2)×4×16＝32.答案：329.如图是正方形ABCE和正三角形CDE所组成的平面图形，试用斜二测画法画出其水平放置的直观图．解析：(1)以AB所在的直线为x轴，AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，如图①所示；(2)建立坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°.以O′为中点，在x′轴上截取A′B′＝AB，分别过A′，B′作y′轴的平行线，并截取A′E′＝eq\f(1,2)AE，B′C′＝eq\f(1,2)BC，在y′轴上截取O′D′＝eq\f(1,2)OD，如图②所示；(3)连接E′D′，E′C′，C′D′，并擦去作为协助线的坐标轴，就得到所求的直观图，如图③所示．10．画出一个正三棱台的直观图(尺寸：上、下底面边长分别为1cm、2cm，高为2cm)．解析：(1)画轴，以底面△ABC的中心O为原点，OC所在直线为y轴，平行于AB的直线为x轴，使∠xOy＝45°，以上底面△A′B′C′的中心O′与O的连线为z轴．(2)画下底面，在xOy平面上画△ABC的直观图，在y轴上量取OC＝eq\f(\r(3),3)cm，OD＝eq\f(\r(3),6)cm.过D作AB∥x轴，AB＝2cm，且以D为中点，连接AC，BC，则△ABC为下底面三角形的直观图．(3)画上底面，在z轴上截取OO′＝2cm，过O′作x′轴∥x轴，y′轴∥y轴，在y′轴上量取O′C′＝eq\f(\r(3),6)cm，O′D′＝eq\f(\r(3),12)cm，过D′作A′B′∥x′轴，A′B′＝1cm，且以D′为中点，连接A′C′，B′C′，则△A′B′C′为上底面三角形的直观图．(4)连线成图，连接AA′，BB′，CC′，并擦去协助线，则三棱台ABC­A′B′C′即为所要画的三棱台的直观图．[B组实力提升]1．如图，正方形O′A′B′C′的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图的周长是()A．8cm B．6cmC．2(1＋eq\r(3))cm D．2(1＋eq\r(2))cm解析：依据直观图的画法，原几何图形如图所示，四边形OABC为平行四边形，OB＝2eq\r(2)，OA＝1，AB＝3，从而原图形的周长为8cm.答案：A2．在下列选项中，利用斜二测画法得到边长为1的正三角形ABC的直观图中，不是全等三角形的一组是()解析：在选项A，B，D中，△ABC的底AB不变，高变为原来的eq\f(1,2)，两个三角形的直观图是全等的；在选项C中，前者画成直观图时，底AB不变，高变为原来的eq\f(1,2)，后者画成直观图时，底AB变为原来的eq\f(1,2)，高不变，所以前者与后者两个三角形的直观图不全等．答案：C3．在正方体ABCD­A′B′C′D′中，E、F分别是A′A、C′C的中点，则下列推断正确的是________(只填序号)．①四边形BFD′E在底面ABCD内的正投影是正方形；②四边形BFD′E在面A′D′DA内的正投影是菱形；③四边形BFD′E在面A′D′DA内的正投影与在面ABB′A′内的正投影是全等的平行四边形．解析：①四边形BFD′E的四个顶点在底面ABCD内的投影分别是B、C、D、A，故投影是正方形，正确；②设正方体的边长为2，则AE＝1，取D′D的中点G，则四边形BFD′E在面A′D′DA内的投影是四边形AGD′E，由AE∥D′G，且AE＝D′G，∴四边形AGD′E是平行四边形，但AE＝1，D′E＝eq\r(5)，故四边形AGD′E不是菱形．对于③由②知是两个边长分别相等的平行四边形，从而③正确．答案：①③4．如图所示，四边形ABCD是一平面图形水平放置的直观图．在直观图中，四边形ABCD是始终角梯形，AB∥CD，AD⊥CD，且BC与y′轴平行．若AB＝6，CD＝4，则这个平面图形的实际面积是________．解析：由斜二测画法规则知，该图的平面图形A′B′C′D′也是始终角梯形，其中B′C′⊥C′D′，A′B′＝6，C′D′＝4，B′C′＝2BC＝2·eq\f(6－4,sin45°)＝4eq\r(2)，所以原平面图形A′B′C′D′的面积为SA′B′C′D′＝eq\f(1,2)(6＋4)×4eq\r(2)＝20eq\r(2).答案：20eq\r(2)5．有一个正六棱锥(底面为正六边形，侧面为全等的等腰三角形的棱锥)，底面边长为3cm，高为6cm，画出这个正六棱锥的直观图．解析：(1)先画出边长为3cm的正六边形的水平放置的直观图，如图①所示；(2)过正六边形的中心O′建立z′轴，画出正六棱锥的顶点V′，在z′轴上截取O′V′＝6cm，如图②所示；(3)连接V′A′、V′B′、V′C′、V′D′、V′E′、V′F′，如图③所示；(4)擦去协助线，遮挡部分用虚线表示，即得到正六棱锥的直观图，如图④所示．6.在水平放置的平面α内有一个边长为1的正方形A′B′C′D′，如图，其中的对角线A′C′在水平位置，已知该正方形是某个四边形用斜二测画法