微积分 第3版 课件 第五章 不定积分

例5.1不定积分的概念和性质第五章不定积分定义5.1

如果在区间I上,则称或上的一个原函数.是

的一个原函数定理5.1

(原函数存在定理)如果函数区间I上连续,即连续函数必有原函数.

存在可导函数那么在区间I上都有使得关于原函数的说明(1)若

(2)若

和

都是

的原函数,则(C为常数

)都是

的原函数.则对于任意常数C,(C为常数

)因所以积分变量积分常数被积函数定义5.2

被积表达式则

f(x)的全部原函数的一般表达式称为函数

f(x)的不定积分.记为积分号例5.1

求解解例5.2

求练习

求.解例5.3

设曲线通过点

且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍,求此曲线方程.解设曲线方程为由题意所求曲线方程为由曲线通过点即

是2x的一个原函数.显然,求不定积分得到一积分曲线族.练习

求积分解函数

的原函数的图形,称为

的积分曲线.不定积分基本公式:

由求导公式可得出,结论:微分运算与不定积分是广义的“互逆”运算.性质5.1

性质5.2

证因所以例5.4

求不定积分解练习

求不定积分解解原式练习

求不定积分解原式例5.5

求不定积分解原式例5.6

求不定积分解说明:被积函数往往需要先进行恒等变形,再使用基本积分表.例5.7

求不定积分解原式练习

求不定积分解原式练习

求不定积分解原式练习求不定积分解原式练习求不定积分问题5.2换元积分法第一换元法也称“凑微分法”.则定理5.2(不定积分的第一类换元积分法)如果存在,

解原式例5.8

计算练习

计算解1解2解3类似地可得解原式例5.9

计算解原式原式解练习

计算练习

计算解原式例5.10

求不定积分类似地可得解练习

计算解原式练习

求不定积分解原式练习

计算解说明:

当被积函数是三角函数相乘时,拆开奇次项去凑微分.练习

计算练习

求解解原式例5.12

求解例5.13

计算原式解例5.14

计算解原式例5.15

计算解1例5.16

计算解2类似地可得解原式练习

计算解练习

计算解练习计算解练习

设

求令所以常见凑微分类型自测题练习并且有

则定理5.3(不定积分的第二类换元积分法)第二换元积分法的基本思路:可作适当变换

化为不定积分计算积分后,得再将代入.若积分不易计算,例5.17

求解令例5.18

求解令则例5.19

求解令说明(1)以上几例所使用的均为三角代换,三角代换的目的是去掉根式.一般规律如下:可令可令可令当被积函数中含有例5.20

求解令说明(2)当分母的次数较高时,可采用倒代换例5.21

求令解积分表做如下补充(其中常数a>0)利用两个函数乘积的求导法则分部积分公式5.3分部积分法设函数

具有连续导数,等式两边取不定积分解例5.22计算例5.23

计算解解例5.24计算解练习

计算例5.25

求积分解解练习

计算解练习

计算解练习

计算解练习

计算解例5.26已知

是的原函数,求因所以曾用换元积分做过,现可用分部积分做!

前面例题中所求的不定积分,都得到了原函数的解析表达式,因而都是初等函数.5.4

有理函数的不定积分

但有相当多的初等函数虽然存在原函数,原函数却不是初等函数.例如

等不定积分都“积不出来”.两个多项式之商表示的函数称为有理函数.即其中

m、n都是非负整数;及都是实数,并且

下面我们介绍简单有理函数的不定积分.假定分子与分母之间没有公因式.称为有理真分式；称为有理假分式.

利用多项式除法,假分式可以化成一个多项式与一个真分式之和.例如,难点:将有理函数化为部分分式之和.(1)分母中若有因式

则可以分解为有理函数化为部分分式之和的一般规律:特殊地：分解后为其中都是待定系数.(2)分母中若有因式，其中则可以分解为特殊地：分解后为其中都是待定系数.真分式化为部分分式之和的方法为待定系数法.任意有理真分式的不定积分都归纳为下列其中A,B,a,p,q都为常数,分别讨论上述几种类型的不定积分.并且四种典型部分分式的积分之和.k为大于1的正整数.用递推公式综上所述,所有有理函数的原函数都是初等函数.

例5.27

计算

解比较等式两端x项系数得代入特殊值来确定系数取取取并将

值代入解例5.28

计算

故整理得解例5.29

计算

故所以常见类型解决方法

作代换去掉根号.

某些无理函数的积分,通过适当的变量代换,可以化为有理函数的积分.

分别令解

令例5.30

计算

解

令原式=例5.31

计算

解

令例5.32

计算

例1求解原式解原式例2求第五章不定积分习题课解1原式例3求解2原式例3求解1例4求解2解3解1原式例5求解2原式例5求解原式例6求解原式例8求解原式例7求解原式例10求解原式例9求例11

求解解例12

求原式解例13

求原式解例14

求解1原式例15求解2设原式解3原式解原式例