微积分 第3版 课件 第八章 无穷级数

8.1

常数项级数的概念和性质第八章无穷级数8.1.1常数项级数的概念给定一个常数列称为(常数项)无穷级数,简称级数.记为即其中第

n项称为级数的一般项,或通项.则表达式定义8.1级数的前n

项和称为级数的部分和.记为即则称级数收敛,极限s称为级数的和,则称级数发散.注:如果级数发散,只是形式上的和,无数值意义.如果部分和数列的极限不存在,称为级数的余项.显然有当n充分大时,当级数收敛时,其部分和是级数和s的近似值.误差为解例1讨论等比级数(又称几何级数)的收敛性,其中q叫做级数的公比.收敛;

发散;发散;

发散.级数变为

综上所述重要结论:例公比为q的几何级数的和解例2判定级数的敛散性.所以,该级数收敛,且其和为1.的部分和分别为

则于是证性质1k是一常数,所以,8.1.2收敛级数的基本性质如果级数收敛于s,

并且其和为ks.则级数也收敛,

性质2发散.收敛,发散,均发散,敛散性不确定.证极限的性质即证.级数的部分和如果级数都收敛,

性质3添加或去掉有限项不影响一个级数的敛散性.性质4设级数收敛,则对其各项任意加括号所得新级数仍收敛于原级数的和.证则注意:收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.收敛发散推论

如果加括弧后所成的级数发散,则原级数也发散.证性质5

(级数收敛的必要条件)若级数

收敛,则例如,所以(1)级数收敛的必要条件,常用判别级数发散;(3)必要条件不是充分条件.如调和级数(2)也可用于验证级列极限的为“0”;但级数是否收敛?

发散注意:例如,发散重要结论:所以,级数发散.这是不可能的,假设调和级数收敛,其和为s.于是因有练习判别级数的敛散性.若

则级数发散.解题思路:解由于所以,该级数发散.则称该级数称为正项级数.8.2.1正项级数及其审敛法由单调有界数列必有极限,

可得下面重要定理.显然,正项级数部分和数列单调增加.定理8.1正项级数收敛当且仅当它的部分和数列有界.8.2

常数项级数的审敛法定理8.2(比较审敛法)证即部分和数列有界,则收敛;(1)若收敛,(2)若发散,所以

收敛.且则发散.(2)

用反证法

若收敛,则由(1)可知也收敛,矛盾.故发散.解p-级数的部分和为由调和级数发散,例1讨论p-级数的敛散性(常数p>0).证明部分和数列有上界,有

发散.从而收敛.

等比数列

而重要参考级数:

几何级数,p-级数,

调和级数.通常取是敛散性已知的级数作为比较的标准,用于判断的收敛性.重要结果:例2

讨论下列级数的敛散性:解

(1)因由比较审敛法,级数(1)发散.(2)因

由比较审敛法,级数(2)收敛.定理8.3(p—级数审敛法)解(1)因故级数(1)发散.例3讨论下列级数的敛散性:(2)因故,级数(2)收敛.故,级数(4)收敛.(3)因(4)因故,级数(3)发散.定理8.4(达朗贝尔比值审敛法)

(1)当时级数收敛;设是正项级数,如果则(2)当时级数发散.证有即故原级数收敛.所以,当时,原级数发散.当时,比值审敛法的优点:不必找参考级数.注意:

当时,级数可能收敛也可能发散.2.若用比值判别法判定级数发散注:级数的通项un不趋于零.1.适用于或关于n的若干连乘积(或商)形式.例如,级数级数收敛3.条件是充分的,而非必要的.例如,所以,级数所以,不存在.解因例4判别级数的敛散性.故,原级数收敛.例5判别级数的敛散性.解当0<a<1时,收敛;当a>1时,发散;当

a=1时,原级数为收敛.正、负项相间的级数称为交错级数.8.2.2交错级数定理8.5(莱布尼兹定理)则级数收敛,即形如如果交错级数满足条件:分析:证证毕例如,都是收敛的交错级数.也是收敛的交错级数.余项注:比较un与un+1大小的方法有三种:(1)比值法,

??(3)由un找出一个连续可导函数考察?(2)差值法,

用莱布尼茨定理判别交错级数是否收敛时,要考察un与un+1大小.使得解所以,交错级数收敛.例6

判别级数

的敛散性.及交错级数满足条件例如,均条件收敛;定义

若

收敛,则称

为绝对收敛;而级数绝对收敛.正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.8.2.3绝对收敛与条件收敛任意项级数思想:正项级数若

收敛,而

发散,则称

为条件收敛.证又因注:

一个条件收敛的交错级数的所有奇数项所成的级数是发散的,所有偶数项所成的级数也是发散的.定理8.6

若级数绝对收敛,则级数一定收敛.通常先考查它若使用比值法或根值法判定级数不绝对收敛(这时级数的通项不趋对于交错级数,利用无穷级数的性质将级数拆开为如不是绝对收敛的,再看它是否条件收敛.便可断言级数发散.莱布尼茨定理.然后讨论敛散性也是常用手段.两个级数,讨论任意项级数的收敛性时,是否绝对收敛(用正项级数的审敛法),于零),

可用例7若收敛,是条件收敛还是绝对收敛?解原级数是交错级数,利用莱布尼兹定理条件收敛.解由定理知,原级数绝对收敛.例8

讨论级数

的敛散性.练习解形如8.3.1幂级数及其收敛性称为x的幂级数.称为幂级数的系数.简称幂级数.的函数项级数,称为的幂级数,8.3幂级数所有发散点的全体称为发散域.函数项级数的所有收敛点的全体，称为收敛域,发散点.定义

如果数项级数收敛,则称为级数的收敛点,否则,称为设幂级数的部分和为余项(x在收敛域上)(x∈D)定义

在收敛域D上,幂级数的和是x的函数称为函数项级数的和函数.则是公比为x的几何级数,在收敛域内,其和函数是发散域为其收敛域为同理例如,级数设则考察幂级数则级数在绝对收敛；则当时，级数绝对收敛，当时，级数发散；则对于任意，级数都发散.即在的条件下，幂级数的收敛性只有三种情况：

(1)在都收敛；

(2)在某个区间收敛,而在发散;

(3)只在一点收敛.一般地，如果幂级数

在收敛,在上发散,则称为幂级数的收敛半径，称为收敛区间.特别地，如果，则例1求幂级数的收敛半径与收敛域.解故发散;故收敛域为收敛.解例2求幂级数的收敛半径与收敛域.收敛域为解仅在x=0收敛.例3求幂级数的收敛半径与收敛域.所以,收敛半径为解练习求幂级数

的收敛半径与收敛域.原级数的一般项不趋于零,收敛域为级数发散.8.3.2幂级数的性质及幂级数的和函数的收敛半径分别为R1和R2,取其中性质2和函数且逐项求导后收敛半径不变.并有逐项求导公式

性质1和函数在收敛域上连续.设性质3和函数有逐项积分公式逐项积分后收敛半径不变.若注:幂级数逐项微分与逐项积分后收敛半径不变,

但是收敛域可能不同.解例4

求幂级数

的和函数.解例5

求幂级数

的和函数.解例6

求的收敛域及和函数，并求数项级数的和.幂级数的收敛域为.则故练习求的收敛域与和函数.解令收敛域为当时,收敛,当时,收敛,和函数为可得设上节的问题是幂级数在其收敛域内以

f(x)为和函数.现在的问题是反过来,如果f(x)可以展开成幂级数1.那么函数

f(x)应当具有什么性质?8.4幂级数的应用8.4.1泰勒级数2.幂级数的系数怎样计算?我们有

由于幂级数在其收敛域内无穷次可导,即有任意阶的导数.因此,f(x)必然在此区间内有任意阶导数.将x

=

x0代入上面各式,即得定理8.7

如果函数

f(x)在

x0的某一邻域定理的结论称为幂级数展开式的唯一性.于是,就证明了如下定理.内可以展开成的幂级数,则则称幂级数如果函数

f(x)在点

x0处任意次可微,为

f(x)在点

x0处的泰勒级数.为函数

f(x)的麦克劳林级数.特别地,

当x0=0时,称幂级数记为

在

x0的某一邻域成立,如果点的泰勒展开式.

则称上式函数是

f(x)在

x0定理8.17

如果函数

f(x)在

x0的某一邻域内有任意阶的导数.则其中

介于x与x0之间.的充分必要条件是

证(1)是带拉格朗日余项的泰勒中值定理;

(2)是收敛级数的定义.

1.直接展开法求函数f(x)的麦克劳林级数的步骤:

(2)写出麦克劳林级数并求出收敛半径R;8.4.2函数展开成幂级数(3)验证是否有

验证的方法有两种:余项分析与和函数分析

(1)

求出f(x)的各阶导数与它们在处的值,然后代入从而判断是否有

和函数分析是求出和函数

余项分析是指,如果

则有

解其收敛半径为例1将展开成x的幂级数.于是余项其中

介于0与x之间.余项分析对任一确定的是收敛级数

的一般项.是确定的数,而所以在

上恒有于是或于是则且解微分方程

得和函数分析解因例2将展开成x的幂级数.故其收敛半径为故因所以其中

介于0与x之间.利用已知函数展开式,2.间接展开法根据展开的唯一性,等方法,求展开式.通过变量代换,四则运算,恒等变形,逐项求导,逐项积分的结果是一致的.它与直接展开法得到例3将展开成x的幂级数.例4将展开为x的幂级数.解设利用有练习

将展开为x的幂级数.解而两边积分解例5将

展开为

的幂级数.f(x)=ln(1+x)在x

=1处连续,且在x=1处收敛.练习

将解解由8.4.3幂级数在数值计算中的应用例6计算的近似值，要求误差不超过.令得取前项的和作为的近似值其误差为故取解从而例7利用，求的近似值，并估计

误差.在的幂级数展开式中令得取它的前两项之和作为近似值，其误差为其误差不超过.

因此取解所以,原级数非绝对收敛.习题课例1

判别级数是否收敛,如果收敛,是绝对收敛还是条件收敛.故,原级数条件收敛．由莱布尼兹定理:该交错级数收敛,有设因此,故,原级数发散.例2判断级数的敛散性.解因收敛,发散,解而级数收敛,例3判断级数的敛散性.例4讨论级数的收敛性,其中常数具有相同的敛散性,时,级数收敛，时,级数发散.解例5证明利用比值判别法证作正项级数由级数收敛的必要条件,有所以正项级数收敛．例6试确定级数它收敛于且满足

并问它是绝对收敛还是条件收敛?解由

得所求级数是一个公比为的几何级数,再由得

故所求级数为该级数绝对收敛.例7设级数收敛,证明：收敛.

证因

而正项级数

与

均收敛.

由正项级数的比较判别法：因此,绝对收敛,故收敛.

正项级数收敛.解例8设级数C级数例9

证明级数

发散.证因故从而由级数收敛的必要条件,原级数发散.一、单项选择题：1.若收敛,则下列级数收敛的是【