线性代数总复习教案

线性代数（本）总复习试卷题型及分数分配：选择题10分，填空题20分，计算题60分，证明题10分各章分数分配：第1章15分，第2-3章30分，第4章30分，第5章25分重要习题：P26：1(1),2(2,4),3,4(1,2),10P53:3,4(1,2,4,5),10,11(1,3),15,16,17,20,23,29P79:1(3,4),3(1),4(1),9(3),12(2),13(4),16P108:3,4,6,12,14(2),22(1),28(2),29,30,36,39P138:1(1),2(1),5(1),11,12,16(1),17,18,19,27(1),30(1),32(1)第一章行列式1.二阶、三阶行列式:计算(=-7)，2.逆序数:。如：3.n阶行列式的定义:D=|aij|=，确定行列式中项的符号4行列式的性质(见教材p9-11)例:计算（D=31）5行列式按行（列）展开：或6或7克莱姆法则:AX=b当时，8如果方程组AX=0的系数行列式，则它仅有零解。例：当k为何值时，方程组有非零解。解：系数行列式∴k=2或-1第二章矩阵及其运算1矩阵的乘法：，其中:例：设，求AB,BA注意(1)一般地，ABBA,(2)AC=BC，不一定有A=B.2阵的转置:3对称矩阵.4:,(2),(3)5逆矩阵Δ为可逆的充要条件是且，例:求的逆矩阵例：解方程：AX=B，，()第三章矩阵的初等变换与线性方程组1矩阵的初等变换：（1）（2）（3）2、矩阵的等价(A经过有限次初等变换变成B)Δ行阶梯形矩阵、行最简形矩阵、标准形例:化矩阵为行最简形3初等矩阵：单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵4n阶方阵A可逆的充分必要条件为Δ若A为n阶可逆矩阵，则5利用初等变换求解矩阵方程，例设,,试求解方程解:由∴6特别地，当B=E时,7矩阵的秩：非零子式的最高阶数Δ若，则,例:求矩阵的秩。第四章向量组的线性相关性1.向量概念:n维列向量；n维行向量:。2向量的线性组合Δb是的线性表示有解3向量组的线性表示(及)ΔB能由A线性表示(B中每个向量都能由A组向量线性表示)B=AKR(A)=R(A,B)即4A、B两向量组等价A,B能相互线性表示R(A)=R(B)=R(A,B)5向量组线性相关方程组有非零解6向量组线性无关方程组只有零解Δ线性相关其中至少有一向量是其余向量的线性组合例：已知b=(k,3,2)T，(2,-1,3)T，(3,2,1)T，问k为和值时b,，线性向关,并用，线性表示b。解：由行列式为0得k=5，令,得由，得，例：设线性无关,证明：,,也线性无关证：令,则：∵线性无关∴∴∴也线性无关结论(P90定理5)向量组线性相关向量组线性相关;反之,向量组线性无关向量组线性无关（2）当向量维数n小于向量个数m时，向量组一定线性相关；特别地：n+1个n维向量线性相关（3）若线性无关，而线性相关，则b可由向量组A线性表示，且表示法唯一7向量组A的极大线性无关组A0：(1)向量组线性无关，(2)A中而任意个向量都线性相关Δ说明：A的极大线性无关组有多个，但每个极大线性无关组所含向量个数相等ΔA0所含向量个数叫做A的秩，记例:,,,,求该组向量的一个最大无关组,并用该最大无关组表示其余向量解∴,,是,,,的极大线性无关组,且8对线性方程组有解的充要条件为(1)当时有唯一解;(2)当时有无穷多组解。(自由变量个数为n-r)9对齐次线性方程组:AX=0(1)当时，有唯一解：零解；(2)当时，有无穷多组解，即有非零解。(自由变量数为n-r)10AX=0的通解结构：,其中S0：一个基础解系(最大线性无关组)()11Ax=b的通解为：++…+(一个特解)例：用基础解系表示如下非齐次线性方程组的通解:()11向量空间的有关概念(1)向量集构成向量空间的条件,会判断给出的向量集是否为向量空间(2)知道向量空间的基的概念,并能由基来表示给出的向量.(3)会判断给出的向量组是否为一个基.例：设，验证是的一个基第五章相似矩伸和二次型一.内积与正交性内积：;向量的范数：，当[x，y]=0时，称x与y正交2正交向量组一定线性无关4施密特正交化:设是一个基，取：，例：试用施密特正交化将规范正交化.(,然后单位化即可)5．正交矩阵：若n阶矩阵A满足（即），A为正交阵的充分必要条件为A的列向量组是两两正交的单位向量二.方阵的特征值与特征向量则称为A的特征值，x为A的特征向量2.A的特征多项式：Δ特征值的性质：（1）n个特征值的和，（2）n个特征值的积Δ特征向量的求法：先求特征值，再由得非零解，则就是A的与对应的特征向量3设是A的特征值，则(1)是的特征值,(2)是的特征值设是方阵A的m个各不相等特征值，则与之对应的特征向量线性无关三.相似B、A相似，若A与B相似，则A与B有相同的特征多项式和特征值3、若A与相似，则是A的n个特征值4、A与对角阵相似的充要条件为A有n个线性无关的特征向量5、若A有n个不相等的特征值，则A与对角阵相似四.对称矩阵的对角化1、对称阵的特征值为实数2、设是对称阵A的特征值，则对应的特征向量与正交3、设A对称阵，则有正交阵P，使）4、设λ是对称阵A的k重特征根，而λ恰有k个线性无关的特征向量5、对称阵对角化的一般步骤：求出A的全部特征值及重数求出与对应的个线性无关的特征向量，并将特征向量正交化单位化将这n个两两正交的单位向量构成正交矩阵P，则有例：求的特征值与特征向量,解：=0得对，解方程，由得基础解系：.与对应的所有特征向量为对解方程，由得基础解系：，与对应的所有特征向量为五.二次型:如：，1标准形：2范形：称为二次型的3次型，（是A的特征值）例:已知二次型的特征值为，特征向量为，，试求正交变换将二次型化为标准形将，，正交化得