平面向量的基本概念和运算律 教案

教学过程12月1日第2课时总第61课时教师活动学生活动复习旧知如图已知e1，e2，用e1，e2表示eq\o(→,AB)，eq\o(→,CD)，eq\o(→,EF)，eq\o(→,GH)．BCBCDFEHAG二、明确学习任务继续探索平面向量基本定理的应用三、组织学生完成任务D例1已知平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M，设eq\o(→,AB)=a，eq\o(→,AD)=b，试用a，b表示eq\o(→,MA)，eq\o(→,MB)，eq\o(→,MC)，eq\o(→,MD)．DCACABM解因为eq\o(→,AC)=eq\o(→,AB)+eq\o(→,AD)=a+b，eq\o(→,DB)=eq\o(→,AB)－eq\o(→,AD)=a+b，所以eq\o(→,MA)=－eq\f(1,2)eq\o(→,AC)=－eq\f(1,2)(a+b)=－eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b；eq\o(→,MB)=eq\f(1,2)eq\o(→,DB)=eq\f(1,2)(a－b)=eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b；eq\o(→,MC)=eq\f(1,2)eq\o(→,AC)=eq\f(1,2)a+eq\f(1,2)b；eq\o(→,MD)=－eq\f(1,2)eq\o(→,DB)=－eq\f(1,2)a+eq\f(1,2)b．练习二已知平行四边形ABCD的两条对角线相交于点O，设eq\o(→,OA)=a，eq\o(→,OB)=b，试用a，b表示eq\o(→,OC)，eq\o(→,OD)，eq\o(→,DC)，eq\o(→,BC)．CDCD四总结AABO梳理总结也可针对学生薄弱或易错处进行强调和总结．五布置作业学生练习从问题和练习中可以看到一个重要的事实，即平面上任一向量都可沿两个不平行的方向分解为唯一一对向量的和．教师首先请学生讨论：S1eq\o(→,MA)是哪个向量的一半？S2在△ABC中，eq\o(→,AC)是哪两个向量的和？学生尝试解答eq\o(→,MB)，eq\o(→,MC)，eq\o(→,MD)的分解，教师对学生的回答给以补充、完善，师生共同总结解答方法．通过学生讨论，老师点拨，帮助学生分解难点，明确解题步骤．提高学生的读图能力，并与前面学过的知识结合，对学过的定理有更深层次的认识和理解．以eq\o(→,AB)为例，配以幻灯片形象理解eq\o(→,AB)的分解．通过问题的详细探究引出平面向量的基本定理，比直接给出定理更符合学生的特点，容易被学生接受．巩固理解，形成技能．学生小组总结六教法学法自主探究观察法启发引导合作交流七教学过程设计复习旧知-------新课引入（问题与任务）---------探究新知（解决问题、完成任务）--------知识、技能扩展-----------课堂练习与小结（评价、总结）---------课后作业八课后反思本节课主要采用自主探究式教学方法．充分利用现实情景，尽可能地增加教学过程的趣味性、实践性．在教师的启发指导下，强调学生的主动参与，让学生自己去分析、探索。九板书设计（第课时）7、3平面向量的分解平面向量基本定理．应用．-------------------------- ------------------------------------------ ---------------- 教学过程12月3日第3时总第62课时教师活动学生活动一复习旧知1)课前下发“导学学案”，其中，向量的夹角概念，学生基本上能独立解决，2）引导学生归纳出求两个向量夹角的要点：（1）两个向量要共起点，（2）两个向量的正方向所成的角。然后，通过学案上的练习题目1，检查学生的掌握程度。通过分组探究，精讲点拨，归纳总结三个方面来突破。2、分组探究，信息反馈对于难度较大的倾向性问题，如果某个问题，某个组已经解决，其它组仍是疑点，我让已解决问题的小组做一次"教师"，面向全体学生讲解，教师可以适当补充点拨，这也可以说是讨论的继续3、精讲点拨，解难释疑提问学生：如何把平面上任一向量分解成两个不共线向量的线性组合，。强调：这里的向量是自由向量,其起点是可以移动的,将三个向量的起点放在一起可便于研究问题.类比物理上力的分解，利用平行四边形法则，我们把向量分解成，根据向量共线定理，存在一对实数λ1，λ2，使，从而=λ1+λ2，解，我设计了如下的几个问题，学生思考回答后，教师再利用几何画板作进一步的演示。说明的两点：第一，向量的坐标表示与其分解形式是等价的，可以互相转化。第二点说明：求向量坐标的关键是构造平行四边形，4、第四个环节，归纳总结，建构网络设计了如下的问题：通过本节课的学习，你收获了什么？……5、第五个环节，当堂达标，迁移拓展。检测题学生以学案为依据，以学习目标、学习重点难点为主攻方向，主动查阅教材、工具书，思考问题，分析解决问题，在尝试中获取知识，发展能力经过学生的自学，在课堂上，采用提问的方式，让学生对知识点进行简单概述，并阐述自己的学习方法和体会。先把学生分组，让其对定理及坐标表示，进行讨论、探究、交流，先组内互相启发，消化个体疑点，然后以组为单位提出疑问。要求先运用已有的知识去研究平面向量的基本定理,然后以这个定理为基础建立向量的坐标学生会通过作图来说明这一问题教师再引导学生自主归纳，从而得出平面向量基本定理。为了加深对定理的理我设计了如下的几个问题，学生思考回答后，教师再利用几何画板作进一步的演示。当，共线时，与它们不共线学生由一般到特殊，选择平面直角坐标系中轴和轴上，且方向与轴的正方向同向的单位向量做基底，那么根据刚刚得出的定理，任一向量=x+y，由于x,y是唯一的，于是存在数对（x,y）与向量a一一对应，从而得到平面向量的坐标表示确定实数x、y。学生检验自己的学习过程六教法学法启发引导自主探究学习问题解决法发现法七教学过程设计复习旧知-------新课引入（问题与任务）---------探究新知（解决问题、完成任务）--------知识、技能扩展-----------课堂练习与小结（评价、总结）---------课后作业八课后反思这节课内容比较简单，定义比较多，通过学生自学得出结论。通过本节课的学习，学生获取的将不仅仅是知识，获取知识的手段、途径和方法，以及勇于探索、合作交流的能力，才是他们最大的收获九板书设计（第课时）7、3平面向量的分解平面向量基本定理．应用．-------------------------- ------------------------------------------ ---------------- 教学过程12月6日第4时总第63课时教师活动学生活动一、创设情景以媒体展示常娥一号的成功升空，引出火箭的发射运动过程中，始终能分解为两个方向上的运动（两个不共线向量的线性组合）切入主题二、数学探究探究一给定一个向量是否一定可以用“一个”已知非零向量表示？探究二平面内给定一个向量是否一定可以用“两个”已知不共线向量表示？DDCAe1e2BOOBNMMCM提问:是否可以用含有、的式子表示出来?再问:：一对实数、是否惟一?平面向量基本定理：如果和是一平面内的两个不共线的向量，那么该平面内的任一向量，存在惟一的一对实数、,使=+三、运用新知，解决问题例如图：质量为m的物体静止的放在斜面上，斜面与水平面的夹角为，求斜面与物体的摩擦力解：物体受到三个力重力 （方向竖直向下，大小为mgN）,斜面支持力，摩察力因为物体静止，所以上面三个力平衡，++=0四、小结1知识总结：1平面向量基本定理。平面向量基本定理的应用，2思想方法总结：本节课主要应用了数形结合及转化的思想运用。（复习向量共线定理）学生观察探究由作图中分解结果的惟一,决定了两个分解向量的惟一。由平行向量基本定理,有且只有一个实数,使得=成立,同理也惟一,即一组数、惟一确定。学生进一步尝试概括定理:(学生讨论并回答)学生学会分析、解决问题的方法，能力的培养是关键。理解、记忆定理解此类题目的关键是找所求向量与基底间的关系，常通过观察图形，运用向量加减法的平行四边形法则和三角形法则来寻求学生小组总结交流六教法学法探求式教学法、多媒体手段，合作交流实例讲解七教学过程设计复习旧知-------新课引入（问题与任务）---------探究新知（解决问题、完成任务）--------知识、技能扩展-----------课堂练习与小结（评价、总结）---------课后作业八课后反思本节课充分利用现实情景，尽可能地增加教学过程的趣味性、实践性．在教师的启发指导下，强调学生的主动参与，让学生自己去分析、探索。九板书设计（第课时）7、3平面向量的分解平面向量基本定理．应用．-------------------------- ------------------------------------------ ----------------

教学过程12月7号第5课时总第64课时教师活动学生活动高一向量同步练习4（平面向量基本定理）一、选择题1、若ABCD的对角线AC和BD相交于点O，设=，=，则向量等于A．+B．－－C．－+D．－2、已知向量和不共线，实数x、y满足(2x﹣y)+4=5+(x﹣2y)，则x+y的值等于（）A．－1B．1C．0D．33、若5EQ\s\up8(→)\d\ba24()AB+3EQ\s\up8(→)\d\ba24()CD=，且|EQ\s\up8(→)\d\ba24()AD|=|EQ\s\up8(→)\d\ba24()BC|，则四边形ABCD是（）A．平行四边形 B．菱形 C．等腰梯形 D．非等腰梯形4、设M是△ABC的重心，则EQ\s\up8(→)\d\ba24()AM=（）A．EQ\F(\s\up8(→)\d\ba24()AC－\s\up8(→)\d\ba24()AB,2) B．EQ\F(\s\up8(→)\d\ba24()AB+\s\up8(→)\d\ba24()AC,2) C．EQ\F(\s\up8(→)\d\ba24()AC－\s\up8(→)\d\ba24()AB,3) D．EQ\F(\s\up8(→)\d\ba24()AB+\s\up8(→)\d\ba24()AC,3)5、设和为不共线的向量，则2﹣3与k+λ（k ．λ∈R）共线的充要条件是（）A．3k+2λ=0B．2k+3λ=0C．3k﹣2λ=0D．2k﹣3二、填空题1、设向量和不共线，若+=+，则实数，．2、设向量和不共线，若k+与共线，则实数k的值等于．3、若和不共线，且，，，则向量可用向量、表示为．4、设、不共线，点在上，若，那么．三、解答题1、设是两不共线的向量，已知，①若三点共线，求的值，②若A，B，D三点共线，求的值．2、设是两不共线的向量，若，试证三点共线．学科：数学教者：王素荣一章节名称7.3.2向量的直角坐标运算授课时间12,8-课时3班级135二教材分析（教材背景、本节课的地位和作用）是平面向量的坐标表示、数量积这两部分相结合的自然产物，是向量运算坐标化的延续和完善。向量的数量积有着明显的几何意义与物理背景，通过坐标表示，在“数”与“形”之间搭起了一个桥梁，最终实现：几何问题→向量化→代数化。三重点难点分析平面向量的坐标表示，平面向量的坐标运算，根据平面向量的坐标判断向量是否平行四目标分析（知识、技能、情感）1.理解平面向量的坐标表示，掌握平面向量的坐标运算．2.能够根据平面向量的坐标，判断向量是否平行．3.通过学习，使学生进一步了解数形结合思想，认识事物之间的相互联系，培养学生辩证思维能力．五学情分析（有利因素不利因素）有利因素:学生对本章的基础知识掌握的很好，兴趣很高，接受容易一些不利因素:这一节设计的计算较多，学生计算能力较差教学过程12月8日第1课时总第65课时教师活动学生活动一、复习旧知aOxyA(a，aOxyA(a，b)2．平面向量是否也有类似的表示呢?3．平面向量基本定理的内容是什么?二、完成学习任务，探究新知在直角坐标系内，我们分别：(1)取基向量:取与x轴和y轴的正方向相同的两个单位向量e1，e2作为基向量．(2)得到实数对：任作一个向量a，由平面向量基本定理，有且只有一对实数a1，a2，使得a＝a1e1＋a2e2，我们把(a1，a2)叫做向量a的坐标，记作a＝(a1，a2)，①其中a1叫做a在x轴上的坐标，a2叫做a在y轴上的坐标．e1，e2叫做直角坐标平面上的基向量．①式叫做向量的坐标表示．探究：（1）如图，e1，e2是直角坐标平面上的基向量，你能写出0，e1，e2的坐标吗？yyee2xOe1xOe1e1＝(1，0)，e2＝(0，1)，0＝(0，0)．e2e2e1OA(x，y)xyxy四小结学习什么知识？五布置作业教师提出问题．学生回忆解答．为知识迁移做准备．学生阅读课本，讨论并回答教师提出的问题：（1）e1，e2与平面向量基本定理中的e1，e2有什么区别？（2）向量的坐标与有序实数对之间是什么关系？教师针对学生的回答进行点评．教师引导学生学习向量的直角坐标表示．加深对“向量→OA的坐标与点A的坐标一一对应”这个结论的理解，在向量坐标与原有的点坐标之间架起桥梁，为应用向量知识解决几何问题奠定基础．在平面直角坐标系xOy中作向量a＝(1，2)，作有向线段→OA，使得点A(1，2)，并说明向量a与有向线段→OA表示的向量的关系．学生主动观察、主动思考、自主推理、自主探究、自我发现，培养学生的学习能力，增强学生的综合素质。学生尝试解答．教师针对学生的回答进行点评．求特殊向量的坐标，可以加深学生对向量坐标概念的理解，从而提高学生的读图能力．六教法学法发现教学法问题解决法启发式教学分组讨论七教学过程设计复习旧知-------新课引入（问题与任务）---------探究新知（解决问题、完成任务）--------知识、技能扩展-----------课堂练习与小结（评价、总结）---------课后作业八课后反思学生自学得出结论，基本概念较简单，学生理解比较好，多让学生参与，学生兴趣高，能力得到了提高，要发挥学生的主动性九板书设计（第课时）7.3.2向量的直角坐标运算向量的分解 向量的坐标与点的坐标的关系------------------- --------------------------------------------- ----------------------------------------- ----------------------教学过程12月10日第2课时总第66课时教师活动学生活动一、复习旧知aOxyA(a，aOxyA(a，b)2．平面向量是否也有类似的表示呢?3．平面向量基本定理的内容是什么?二、明确学习任务：1、向量的直角坐标运算(1)如果a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则a＋b＝(a1，a2)＋(b1，b2)＝(a1＋b1，a2＋b2)；a－b＝(a1，a2)－(b1，b2)＝(a1－b1，a2－b2)；λa＝λ(a1，a2)＝(λa1，λa2)，其中λ是实数．证明a＋b＝(a1，a2)＋(b1，b2)＝(a1e1＋a2e2)＋(b1e1＋b2e2)＝a1e1＋b1e1＋a2e2＋b2e2＝(a1＋b1)e1＋(a2＋b2)e2＝(a1＋b1，a2＋b2)．用语言分别表述为：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差；数乘向量积的坐标等于数乘上向量相应坐标的积．2、应用例2已知a＝(2，1)，b＝(－3，4)，求a＋b，a－b，3a＋4b四、巩固训练1．已知a，b的坐标，求a＋b，a－b：(1)a＝(4，3)，b＝(－4，8)；(2)a＝(3，0)，b＝(0，4)．五、课堂小结1．向量的直角坐标2．向量的直角坐标运算：（1）两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差；（2）数乘向量积的坐标等于坐标的积；提出问题．学生回忆解答．为知识迁移做准备．加深对向量的直角坐标表示概念的理解，从而进一步提高学生的读图能力．学生阅读课本向量的直角坐标运算公式，在理解的基础上记忆坐标运算公式．学生对于第一个性质在老师的引领仔细推导．老师写出具体的证明步骤后，同学模仿，自己证明其他两个结论．学生可分组讨论证明其他两个公式；小组讨论后，教师对学生的回答给以补充、完善．师生共同总结向量的直角坐标运算公式及文字叙述．通过学生讨论，老师点拨，可以突出解题思路，深化解题步骤，分解难点在教师简单点拨下，学生尝试解答a＋b，a－b，3a＋4b两名学优生板书详细的解题过程．学生抢答．也可讨论解答．学生疑难可向老师求助．得到到解答学生阅读课本，畅谈本节课的收获，在老师引导梳理下，总结本节课的知识点．

六教法学法本节课采用启发式教学和讲练结合的教学方法，自主探究，问题解决法七教学过程设计复习旧知-------新课引入（问题与任务）---------探究新知（解决问题、完成任务）--------知识、技能扩展-----------课堂练习与小结（评价、总结）---------课后作业八课后反思这一节比较简单，师注重让学生自学，自主探究，学生兴趣比较高，效果很好，分组合作交流，让好学生带动基础较差的学生，课堂气氛很好九板书设计（第课时）7．4．1向量的直角坐标向量的直角坐标运算： 例题（1）两个向量和与差的 ------------------------（2）数乘向量积 ------------------------证明-------------------------- 练习------------------------------------------------------教学过程12,11第3课时总第67课时教师活动学生活动一复习旧知1向量和坐标2向量差的坐标3a倍向量的坐标二引课，出示教学任务三新课教学例1已知A(x1，y1)，点B(x2，y2)，求eq\o(→,AB)的坐标．解eq\o(→,AB)＝eq\o(→,OB)－eq\o(→,OA)＝(x2，y2)－(x1，y1)＝(x2－x1，y2－y1)．xxyoB(x2，y2)此结论可用语言表述为：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的相应坐标．练习一1．已知a，b的坐标，求a＋b，a－b：(1)a＝(4，3)，b＝(－4，8)；(2)a＝(3，0)，b＝(0，4)．2．已知A，B两点的坐标，求eq\o(→,AB)，eq\o(→,BA)的坐标：(1)A(－3，4)，B(6，3)；(2)A(－3，6)，B(－8，－7)．例4已知A(－2，1)，点B(1，3)，求线段AB中点M的坐标．AAMBxOy11四归纳小结一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的相应坐标．作业练习A组第1题(1)(3)，学生回答公式师口述教师出示问题．学生阅读图形，讨论并回答教师提出的问题：（1）eq\o(→,AB)是哪两个向量的差向量？（2）eq\o(→,OA)和eq\o(→,OB)坐标分别为什么？教师针对学生的回答进行点评．师生共同总结文字结论．学生抢答．教师点拨，学生讨论解答．老师巡回观察点拨、解答学生疑难．教师点评，并板书详细的解题过程．学生思考解题思路，师进一步讲解，完成解题过程学生总结归纳六教法学法启发引导实例讲解问题解决法合作交流七教学过程设计复习旧知-------新课引入（问题与任务）---------探究新知（解决问题、完成任务）--------知识、技能扩展-----------课堂练习与小结（评价、总结）---------课后作业八课后反思这节课学生总结归纳的比较多，把主动权交给学生，学生学习热情很高，以后课上自己尽量少讲，让学生多动手，学生的解题能力才会提高九板书设计（第课时）向量的坐标运算例1已知A(x1，y1)，点一个向量的坐标等于表示B(x2，y2)，求eq\o(→,AB)的坐标向量的坐标等于终点的坐标减----------------起点的坐12,13教学过程第4课时总第68课时教师活动学生活动一复习旧知1量AB的坐标如何求解2如果a=3b那么两个向量一定平行吗？二引课这节课我们再来学习向量的平行条件三新授用向量的坐标表示向量平行的条件（1）平行向量基本定理：如果向量b≠0，则a//b的充分必要条件是，存在唯一实数λ，使a＝λb；（2）数乘向量：已知b＝(b1，b2)，则λb＝(λb1，λb2)．问题：在直角坐标系中，向量可以用坐标表示，那么，能否用向量的坐标表示两个向量的平行呢？探究：设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，如果b≠0，则条件a＝λb可用坐标表示为(a1，a2)＝λ(b1，b2)，a1b2－a2b1＝0．一般地，对于任意向量a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，都有a//ba1b2－a2b1＝0．例5判断下列两个向量是否平行：(1)a＝(－1，3)，b＝(5，－15)；(2)e＝(2，0)，f＝(0，3)．解(1)因为(－1)×(－15)－3×5＝0，所以向量a和向量b平行；(2)因为2×3－0×0＝6≠0，所以向量e和f不平行．四反馈练习已知点A(－2，－1)，B(0，4)，向量a＝(1，y)，并且→AB∥a，求a的纵坐标y．五归纳小结若a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则a∥ba1b2－a2b1＝0．作业练习A组第3题学生回答师口述，出示学习任务教师提出问题．引出探究的问题．师生共同探究用向量的坐标表示向量平行的条件．教师给出具体的探究步骤．学生尝试解答师生共同解决例5，教师详细板书解题过程，带领学生仔细分析解题步骤学生独立完成．六教法学法启发引导合作交流问题解决法观察法七教学过程设计复习旧知-------新课引入（问题与任务）---------探究新知（解决问题、完成任务）--------知识、技能扩展-----------课堂练习与小结（评价、总结）---------课后作业八课后反思学生对公式的推导接受比较难，讲解速度比较快，学生接受有困难，以后难点放慢，使学生学习兴趣比较高，不至于厌学九板书设计（第课时）向量平行的(a1，a2)＝λ(b1，b2)，例5判断下列两个向量是否平a1b2－a2b1＝0：(1)a＝(－1，3)，b＝(5，－15)；(2)e＝(2，0)，f＝(0，

学科：数学教者：王素荣一章节名称7.4.向量的内积授课时间12,14-课时5班级135二教材分析（教材背景、本节课的地位和作用）向量的坐标表示是用代数方法来研究向量的基础，本节内容掌握的好坏，将直接影响向量的加减运算和两个向量的数量积以及向量的应用等后续内容的学习，乃至影响到立体几何及解析几何的学习三重点难点分析【教学重点】平面向量内积的概念，平面向量内积的基本性质及运算律．【教学难点】平面向量内积的概念、基本性质及运算律的正确理解四目标分析（知识、技能、情感）1.理解并掌握平面向量内积的基本概念，会用已知条件来求向量的内积．2.掌握向量内积的基本性质及运算律并运用其解决相关的数学问题．3.通过教学，渗透一切事物相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点．．五学情分析（有利因素不利因素）有利因素：学生对向量的基本知识掌握的比较好，在此基础上学习，学生比较有兴趣，效果也很好不利因素：涉及到三角函数的计算，学生对特殊角的三角函数值较严重教学过程12月14日第1课时总第69课时教师活动学生活动一、复习引入F一个物体在力F的作用下产生了位移s，那么力F所做的功应当怎样计算？Fss力做的功为W＝∣s∣∣F∣cosθ，其中q是F与s的夹角．∣F∣cosθ是F在物体前进方向上分量的大小．∣s∣∣F∣cosθ称为位移s与力向量F的内积．二、明确学习任务三、探究新知1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量a与b，作eq\o(→,OA)＝a，eq\o(→,OB)＝b，则∠AOB叫向量a与b的夹角．记作‹a，b›，规定0≤‹a，b›≤180．(1)当‹a，b›＝0时，a与b同向；(2)当‹a，b›＝180时，a与b反向；(3)当‹a，b›＝90时，a与b垂直，记做a⊥b；2．向量的内积a·b＝|a||b|cos‹a，b›．说明：规定：0向量与任何向量的内积为0．（1）两个向量的内积是一个实数，不是向量，可以是正数、负数或零，符号由cos‹a，b›的符号所决定；（2）两个向量的内积，写成a·b，符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.四、巩固训练例1求|a|＝5，|b|＝4，‹a，b›＝120．求a·b．练习1．已知|a|，|b|，‹a，b›，求a·b：(1)|a|＝7，|b|＝12，‹a，b›＝120°；(2)|a|＝8，|b|＝4，‹a，b›＝π；五、课堂小结（1）直接计算内积；听教师提出问题．并简单讲解什么是功，学生对功有个基本了解．师生共同计算这个力所做的功．学生了解：功只有大小，没有方向，它由力和位移两个向量来确定，思考：能否把“功”看成是这两个向量的一种运算的结果呢？（引出课题）．学生了解所学内容在实际生活中的具体应用．学生阅读课本，讨论并回答教师提出的问题：（1）当‹a，b›＝0和180º时a与b的方向是怎样的？（2）当‹a，b›＝90时，a与b的方向又是怎样的？师生共同总结，师重点强调说明（4）．看教材明确向量内积的基本表达式．在教师引导下，学生学习向量内积的概念．阅读课本中向量内积的概念，在理解的基础上记忆向量内积的概念．总结向量内积的含义，以及公式中的注意事项．学生讨论求解．两名代表黑板板演其他练习，可以合作完成交流解题感受学生阅读课本，畅谈本节课的六教法学法启发引导自主探索讲练结合小组合作七教学过程设计复习旧知-------新课引入（问题与任务）---------探究新知（解决问题、完成任务）--------知识、技能扩展-----------课堂练习与小结（评价、总结）---------课后作业八课后反思学生对这节课知识点理解的很好，在做题中学生计算出现的错误比较多，个别学生对特殊角的三角函数值识记的不理想，要加强对以前知识的复习，课前诊测时种种这方面的练习会更好九板书设计（第课时）向量的内积向量的内积例1求|a|＝5，|b|求a·b＝|a||b|cos‹a，b›‹a，b›＝120．求a·b----------------教学过程12月15日第2课时总第70课时教师活动学生活动复习旧知1．两个非零向量夹角的概念2.向量的内积3.已知|a|，|b|，‹a，b›，求a·b：(1)|a|＝7，|b|＝14，‹a，b›＝120°；(2)|a|＝8，|b|＝9，‹a，b›＝π；4．已知|a|，|b|，a·b，求‹a，b›：(1)|a||b|＝16，a·b＝－8；(2)|a||b|＝12，a·b＝6eq\r(3)．二、明确学习任务三、探究新知1．向量的内积的性质设a，b为两个非零向量，e是单位向量，则：（1）a·e＝e·a＝∣a∣cos‹a，e›；（2）aba·b＝0；（3）a·a＝|a|2或|a|＝EQEQ\R(,a·a)；（4）∣a·b∣≤∣a∣∣b∣．3．向量的内积的运算律(1)交换律：a·b＝b·a；(2)结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；四、巩固训练1、引导学生解答例2求证：（1）(a＋b)·(a－b)＝∣a∣2－∣b∣2；（2）∣a＋b∣2＋∣a－b∣2＝2(∣a∣2－∣b∣2)．证明（1）显然(a＋b)·(a－b)＝a·a－a·b＋b·a－b·b＝∣a∣2－∣b∣2；（2）因为∣a＋b∣2＝(a＋b)·(a＋b)＝∣a∣2＋2a·b＋∣b∣2，∣a－b∣2＝(a－b)·(a－b)＝∣a∣2－2a·b＋∣b∣2，所以∣a＋b∣2＋∣a－b∣2＝2(∣a∣2－∣b∣2)．五、课堂小结主要学习了平面向量的内积，常见的题型（1）直接计算内积；2）由内积求向量的模；1、2问答式进行3学生代表板演其他练习并集体评价板演过程学生阅读课本中向量内积的性质，在理解的基础上记忆向量内积的性质．对于每一个性质都要在老师引领下学生从向量内积的表达式入手，仔细推导．小组学习向量内积的运算律．明确内积满足交换律和分配律，不满足结合律．比如，实数乘法满足结合律：(a·b)·c＝a·(b·c)，而向量的内积不满足；又如实数乘法满足：a·c＝b·ca＝b，而向量的内积不满足这种推出关系．学生分组讨论证明的方法；小组讨论后，教师对学生的回答给以补充、完善，师生共同总结解答方法．一名学优生写出具体的证明步骤．学生对解答过程进行评价，突出解题思路，深化解题步骤，分解难点．可让学生加深对结合律与运算律的理解．学生梳理和总结本节所学内容畅谈本节课的收获，六教法学法自主探究合作交流观察分析类比法七教学过程设计复习旧知-------新课引入（问题与任务）---------探究新知（解决问题、完成任务）--------知识、技能扩展-----------课堂练习与小结（评价、总结）---------课后作业八课后反思这节课设计的计算比较复杂，学生计算能力较低，部分学生比较懒，不愿动手，比较懒，尽量调动学生的积极性，使学生爱学，主动去学，效果会更好九板书设计（第课时）向量的数量积1．向量的内积的性质向量的内积的运算律（1）a·e＝e·a＝∣a∣cos‹a，e›；-----------------（2）aba·b＝0；（3）a·a＝|a|2或|a|＝EQEQ\R(,a·a)；（4）∣a·b∣≤∣a∣∣b∣12,17教学过程第3课时总第71课时教师活动学生活动复习旧知1．已知非零向量a与b，则a与b的内积表达式是怎样的？由内积表达式怎样求cos‹a，b›？2．ab；3．|a|与EQ\R(,a·a)有何关系？二、导课明确学习任务师：对平面向量的内积的研究不能仅仅停留在几何角度，还要寻求其坐标表示．引出探究问题．三、探究新知1、推导出a·b的坐标公式已知e1，e2是直角坐标平面上的基向量，a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，你能推导出a·b的坐标公式吗？定理在平面直角坐标系中，已知e1，e2是直角坐标平面上的基向量，两个非零向量a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则a·b＝a1b1＋a2b2．这就是说，两个向量的内积等于它们对应坐标的乘积的和．还可以得到以下结论：(1)向量垂直的充要条件为a⊥ba1b1＋a2b2＝0；(2)两向量夹角余弦的计算公式为cos‹a，b›＝eq\f(a1b1＋a2b2,eq\r(a12＋a22)eq\r(b12＋b22))．巩固训练1、教师引导学生完成例1设a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，求：(1)a·b；(2)|a|；(3)|b|；(4)‹a，b›．2、课堂练习课后习题1。2课堂小结本节课我们主要学习了平面向量内积的坐标运算公式学生回忆解答教师提出的问题．师生共同回忆旧知识．学生了解学习任务和完成任务需要的步骤方法学生讨论并回答，再解决教师提出的下列问题：（1）(a1e1＋a2e2)·(b1e1＋b2e2)是怎样进行运算的？（2）e1·e1，e2·e2，e1·e2的内积是怎样计算的？教师针对学生的回答进行点评．师生共同写出详细的探究过程．让学生初步感受到无论是向量的线性运算还是向量的内积运算，最终都归结为直角坐标运算．探究过程a·b＝(a1e1＋a2e2)·(b1e1＋b2e2)＝a1b1e1·e1＋a1b2e1·e2＋a2b1e1·e2＋a2b2e2·e2，又因为e1·e1＝1，e2·e2＝1，e1·e2＝0，所以a·b＝a1b1＋a2b2．学生得出向量内积的直角坐标运算公式．并在老师引导下用文字叙述．学生解答．教师针对学生的回答进行点评．在老师引导下学生梳理，总结本节课的知识点．

六教法学法讲练结合问题解决法启发引导合作交流七教学过程设计复习旧知-------新课引入（问题与任务）---------探究新知（解决问题、完成任务）--------知识、技能扩展-----------课堂练习与小结（评价、总结）---------课后作业八课后反思学生对于向量垂直的公式和平行的公式容易混淆，要加强公式的识记，这一章设计的公式比较多，要让学生多记，才能灵活应用九板书设计（第课时）向量垂直的条(1)向量垂直的充要条件为向量余弦的计算公式cos‹a，b›＝eq\f(a1b1＋a2b2,eq\r(a12＋a22)eq\r(b12＋b22))a⊥ba1b1＋a2b2＝0；学科：教者王素荣教学过程12，20第4课时总第72课时教师活动学生活动复习旧知（1）如何利用两向量坐标计算内积；(2)根据向量的坐标求模；(3)根据两点坐标求两点间的距离；(4)判定两向量是否垂直．二、明确学习任务向量坐标运算公式及性质的应用三、探究新知1、组织学生完成例题例2已知A(2，－4)，B(－2，3)，求|eq\o(→,AB)|．解因为A(2，－4)，B(－2，3)，所以eq\o(→,AB)＝(－2，3)－(2，－4)＝(－4，7)，所以|eq\o(→,AB)|＝eq\r(72＋(－4)2)＝eq\r(65)．例3已知A(1，2)，B(3，4)，C(5，0)，求证：△ABC是等腰三角形．证明因为eq\o(→,AB)＝(3－1，4－2)＝(2，2)，eq\o(→,AC)＝(5－1，0－2)＝(4，－2)，eq\o(→,BC)＝(5－3，0－4)＝(2，－4)，|eq\o(→,AC)|＝eq\r(42＋(－2)2)＝eq\r(20)，|eq\o(→,BC)|＝eq\r(22＋(－4)2)＝eq\r(20)，所以|eq\o(→,AC)|＝|eq\o(→,BC)|．因此△ABC是等腰三角形．组织学生完成同步练习1．已知A(1，2)，B(2，3)，C(－2，5)，求证：BAC=eq\f(π,2)．2．已知点P的横坐标是7，点P到点N(－1，5)的距离等于10，求点P的坐标．五、课堂小结本节课我们主要学习了平面向量内积的坐标运算与距离公式，常见的题型主要有：(1)直接用两向量的坐标计算内积；(2)根据向量的坐标求模；(3)根据两点坐标求两点间的距离；(4)判定两向量是否垂直．六、布置作业课后习题，练习册同步学生根据老师的复习提纲翻阅课本互相交流回忆旧知两名学生代表板书重要公式及性质其他同学练习本完成学生在教师点拨帮助下完成解答．小组内讨论交流小组间互相比较解答过程巩固公式，形成技能．课代表针对学生代表的回答进行点评．学生讨论解答例3．小组讨论时教师巡视，并针对学生的回答给予补充、完善．最后师生共同完成此题．学生代表（学优生）板演具体的解题步骤．其他同学评价并模仿练习学生分组合作完成学习新知后紧跟练习，有利于帮助学生更好的梳理和总结本节所学内容．有利于检验学生的掌握情况．学生阅读课本,畅谈本节课的收获，在老师引导帮助下梳理，总结本节课的知识点．也可针对学生薄弱或易错处进行强调或提出问题．独立完成作业

教学过程12月21日第5课时总第73课时教师活动学生活动复习旧知1、已知A(8，－4)，B(－2，3)，求|eq\o(→,AB)|．2、已知A(1，2)，B(3，4)，C(5，0)，求证：△ABC是等腰三角形二、明确学习任务导入新课向量垂直的坐标条件的应用三、组织学生完成学习任务1、学习例4已知A(1，2)，B(2，3)，C(－2，5)，求证：eq\o(→,AB)eq\o(→,AC)．教师点拨提示：因为eq\o(→,AB)＝(2－1，3－2)＝(1，1)，eq\o(→,AC)＝(－2－1，5－2)＝(－3，3)，可得eq\o(→,AB)·eq\o(→,AC)＝(1，1)·(－3，3)＝0．所以eq\o(→,AB)eq\o(→,AC)．完成练习题判断题

1．若A，B，C是坐标平面上不同的三点，则AB⊥BC的充要条件是·=0（×）

2．设点A（x1，y1），B（x2，y2），则|+|=（×）

3．已知a=（x1，y1），b=（x2，y2），且a，b的夹角为θ，则sinθ=（×）2在下列各命题中为真命题的是

①若a=（x1，y1）、b=（x2，y2），则a·b=x1y1+x2y2

②若A=（x1，y1）、B=（x2，y2），则||=

③若a=（x1，y1）、b=（x2，y2），则a·b=0x1x2+y1y2=0

④若a=（x1，y1）、b=（x2，y2），则a⊥bx1x2+y1y2=0

A．①②B．②③

C．③④D．①④

五、课堂小结垂直的充要条件是x1x2+y1y2=0。学生先尝试独立完成（3分钟左右思考解答时间）然后依据学生完成情况或再小组合作完成没作对的题或由学生代表到前面板书并讲解解答过程学生讨论，小组交流可以向老师求助可以突出解题思路，深化解题步骤，分解难点．顺利完成．学生先独立思考尝试解答有初步解答思路后互相交流讨论小组合作完成解答由学生代表判断对错并说明理由其他同学可以补充说明可以互相求助或交流在教师引导帮助下同桌同学讨论合作完成明确思路：根据向量数量积的坐标表示：若a=（x1，y1）、b=（x2，y2），则a·b=x1x2+y1y2，对照命题（1）的结论可知，它是一个假命题．于是对照选择项的结论．可以排除（A）与（D），而在（B）与（C）中均含有（3）．故不必对（3）进行判定，它一定是正确的．对命题（2）而言，它就是两点间距离公式，故它是真命题．这样就可以排除（C），∴应选择（B）．

学生总结学习内容及完成任务的过程中的收获六教法学法在教学中采用“引导发现，合作探究”的教学方法小组合作，自主探究的学习方法教学手段：应用多媒体课件、七教学过程设计复习旧知-------新课引入（问题与任务）---------探究新知（解决问题、完成任务）--------知识、技能扩展-----------课堂练习与小结（评价、总结）---------课后作业八课后反思教学过程中应用多媒体能直观生动的反映问题情境，形象的刻画事物的变化过程。学生兴趣很浓，积极性很高，在以后的教学中要多使用多媒体教学，教学效果会很好九板书设计（第课时）7．4向量的直角重要概念 例题练习公式----------- ----------------性质------------- -------------学科：数学教者：王素荣一章节名称7．5平面向量的应用授课时间12,22课时2班级135二教材分析（教材背景、本节课的地位和作用）向量是近代数学中重要和基本的数学概念，是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，它有着及其丰富的实际背景，又有着广泛的实际应用，因此，它有很高的教育价值。三重点难点分析【教学重点】运用向量的有关知识对物理中力的作用进行相关分析和计算．【教学难点】以向量为主题的数学模型的建立．四目标分析（知识、技能、情感）1.能运用向量的有关知识对物理中力的作用进行相关分析和计算．2.通过例题，研究利用向量知识解决物理中有关“速度的合成与分解”等问题．3.通过教学，培养探究问题和解决问题的能力．．五学情分析（有利因素不利因素）向量的积和平面向量基本定理以及向量的坐标表示之后，学生对向量已经有了初步理解和应用能力的基础上进行的，但实际应用向来是学生的“难点”，且学生物理基础几乎为零，------所以不容乐观教学过程12月22日第1课时总第74课时教师活动学生活动复习旧知1．什么是向量？在物理学中碰到过哪些？2．什么是向量加法的平行四边形法则和三角形法则？3．物理学中力、速度是怎样分解和合成的？二、引课，明确学习任务在日常生活中，你是否有下面这些经验？两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上做引体向上，两臂的夹角越小越省力．你能从数学的角度解释这种现象吗？三、探究新知1．力向量例1已知两个力F1，F2的大小和方向（如教材图7-40所示），求两个力的合力F的大小和方向．解设F1＝(a1，a2)，F2＝(b1，b2)，则a1＝300cos30°≈259.8，a2＝300sin30°＝150，b1＝200cos135°≈－141.4，b2＝200sin135°≈141.4，所以F1≈(259.8，150)，F2≈(－141.4，141.4)，因此F＝F1＋F2≈(259.8，150)＋(－141.4，141.4)＝(118.4，291.4)，∣F∣＝eq\r(118.42＋291.42)≈314.5．设F与x轴的正向夹角为，则tan＝eq\f(291.4,118.4)≈2.4611，又由F的坐标知是第一象限的角，所以≈67°53．四、巩固训练如图，用两条绳提一个物体，每条绳用力5N，这时两条绳的夹角为60°，且物体处于受理平衡状态，求物体所受的重力G．五、小结用向量中的有关知识研究物理中的相关问题，步骤如下：（1）问题的转化，（2）模型的建立，（3）参数的获得，（4）问题的答案，即回到问题的初始状态，解释相关的物理现象作业练习册5,6题教师提出问题．学生回忆解答．师生共同回忆这三个问题．为知识迁移做准备．从身边的经验引出本节的课题，可以激发学生学习的兴趣，为顺利引出力向量做好准备．（力向量是向量应用中的重点,同时也是难点，此题的设计目的是为了突破学生这一思维障碍．提高学生的建模能力，同时进一步巩固向量的）教师提出问题，引导观察思考：(1)F1，F2如何用坐标表示？2．F与F1，F2什么关系？3．F的坐标怎么表示？长度怎么求呢？4．已知F的坐标怎么求F与坐标轴的夹角呢？学生小组合作交流，讨论完成．小组讨论后，教师对学生的回答给予补充、完善，师生共同总结解答方法．教师总结解题关键：

六教法学法问题解决法启发引导实例讲解合作交流七教学过程设计复习旧知-------新课引入（问题与任务）---------探究新知（解决问题、完成任务）--------知识、技能扩展-----------课堂练习与小结（评价、总结）---------课后作业八课后反思实数的应用学生接受的不好，难以理解，讲解中要注重结合生活中的实例，使学生有兴趣去学习，去研究，这样才会更好的理解学习九板书设计（第课时）向量的应用1．力向量练习1例一------------------------------------教学过程12月23日第2课时总第75时教师活动学生活动一、复习旧知1．什么是向量加法的平行四边形法则和三角形法则？2．什么是向量？在物理学中碰到过哪些？3．物理学中力、速度是怎样分解和合成的？二明确学习任务向量的应用---------速度向量的学习三、探究学习1．速度向量例2河水从东向西流，流速为2m/s，一轮船以2m/s解设a＝“向西方向，2m/s”，b＝“向北方向，2m/s”∣a＋b∣＝eq\r(22＋22)＝2eq\r(2)≈2.8m/s．由∣a∣＝∣b∣，可得a＋b的方向为西北方向．所以轮船实际航行速度为“向西北方向，2.8m/s”．练习二河水从西向东流，流速为3m/s，一轮船以5m/s求轮船的实际航行速度不必过难，重点在理解题意．2、某人在静水中游泳，速度为4公里/小时，他在水流速度为4公里/小时的河中游泳.(1)若他垂直游向河对岸，则他实际沿什么方向前进？实际前进的速度为多少？(2)他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度为多少？解：(1)如图①，设人游泳的速度为，水流的速度为，以、为邻边作OACB，则此人的实际速度为五、课堂小结让学生谈感受教师提出问题．学生回忆解答．师生共同回忆这三个问题．明确学习任务对于例2的教学，让学生读懂题意是解决问题的关键．教师只须带领学生详细分析题意，解题时只点拨如何假设未知量，启发学生讨论并尝试解答．通过学生讨论，教师点拨，可以突出解题思路，深化解题步骤，分解难点．顺利帮助学生完成．巩固理解，形成技能．学生模仿练习．两名板演总结解题关键：（1）问题的转化，即把物理问题转化为数学问题．（2）模型的建立，即建立以向量为主题的数学模型；（3）参数的获得，即求出数学模型的有关解－－理论参数值．（4）求出问题的答案．六教法学法教法：利用多媒体讲解法观察法分析法练习法学法指导：问题探究式学法。七教学过程设计复习旧知-------新课引入（问题与任务）---------探究新知（解决问题、完成任务）--------知识、技能扩展-----------课堂练习与小结（评价、总结）---------课后作业八课后反思本节课结合生活中的实例讲解向量问题，学生的兴趣很高，不过学生比较懒，不愿意审题，分析题，注重教学中培养学生的勤于思考的学习习惯九板书设计（第课时）向量的应用1．速度向量练习二例二----------------------------------学科：数学教者：王素荣一章节名称平面向量小结与复习授课时间12，25日课时2班级135二教材分析（教材背景、本节课的地位和作用）平面向量作为一种工具，在中学数学中有着重要的作用。平面向量具有一套良好的运算性质。逐步认识以向量为工具，把几何问题转化为简单的