第11讲导数中的新定义问题（教师版）

第11讲导数中的新定义问题（核心考点精讲精练）命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是新高考卷的选考内容，设题结合新定义载体而定，难度一般或较大，分值为5分【备考策略】1熟练掌握导数的定义及基本运算2能结合实际题目理解导数新定义的概念及运算3能结合导数知识进行综合求解【命题预测】导数的综合应用是高考考查的重点内容,也是高考压轴题之一，而导数新定义更加考查学生的数学抽象、数学运算、逻辑推理等核心素养，需综合复习知识讲解新定义问题的解决策略第一步，读懂定义，如果有几何意义可以考虑图象，如果考虑不了就按照定义转化为代数式，并进行化简;第二步，数形结合借助图象解决问题，如果不能借助图像就用代数的方法求解，可以考虑转化思想，将新定义问题和自己所学的知识结合起来转化为自己熟悉的知识进而求解考点一、导数中的新定义问题1．（2023·云南·校联考模拟预测）定义方程的实数根叫做函数的“奋斗点”.若函数，的“奋斗点”分别为，，则，的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求导，根据“奋斗点”的定义可得，，构造函数，利用导数及零点存在定理求出的范围，由求出的范围，从而可比较大小.【详解】函数，得，由题意可得，，即.设，，因为，所以，易得在上单调递减且，，故.由，，由题意得：，易知，所以，因为，所以.故选:D.2．（2023·辽宁辽阳·统考二模）现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率.函数的图象在处的曲率为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出、，代值计算可得出函数的图象在处的曲率.【详解】因为，所以，，所以，，所以.故选：D.3．（2022·湖北武汉·统考模拟预测）函数，的定义域都是，直线与，的图象分别交于，两点，若线段的长度是不为的常数，则称曲线，为“平行曲线”设，且，为区间的“平行曲线”其中，在区间上的零点唯一，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先根据题意可知函数函数是由函数的图象经过上下平移得到，设，结合，求出，即可得到，构造函数，利用导数判断函数的单调性，可得的取值范围.【详解】解：为区间的“平行曲线”，函数是由函数的图象经过上下平移得到，即，，，即，由，，令，在区间上的零点唯一，与函数在区间内有唯一的交点，，当时，，函数在上单调递增，，即，故的取值范围是，故选：B.【点睛】本题考查函数新定义，考查学生的创新能力，转化与化归能力．解题关键是把问题转化为函数图象与直线有唯一交点，从而转化为利用导数确定函数的性质．1．（2022·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）（多选）我们把形如的方程称为微分方程，符合方程的函数称为微分方程的解，下列函数为微分方程的解的是（

）A． B．C． D．【答案】CD【分析】根据导数的运算求得导函数，代入微分方程检验即可．【详解】选项A，，则，，不是解；选项B，，，，是方程的解；选项C，，，，不是方程的解；选项D，，，，是方程的解．故选：CD．2．（2023·浙江温州·统考模拟预测）（多选）若函数的图象上存在两个不同的点P，Q，使得在这两点处的切线重合，则称函数为“切线重合函数”，下列函数中是“切线重合函数”的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】求出导函数，确定切线斜率，选项AB，过图象最高点（或最低点）处的切线是同一条直线，可判断，选项C，由导函数斜率相等的点有无数组，结合函数单调性，确定斜率为1的切线，可判断结论，选项D，导函数是单调增函数，因此不存在斜率相等的两点，这样易判断结论．【详解】对A，，，时，，取得最大值，直线是函数图象的切线，且过点，所以函数是“切线重合函数”；对B，，，时，，，，此时是函数的最大值，直线是函数图象的切线，且过点，函数是“切线重合函数”；对C，，，时，，，过点的切线方程是，即，因此该切线过图象上的两个以上的点，函数是“切线重合函数”；对D，，，令，则，所以即是R上增函数，因此函数图象上不存在两点，它们的切线斜率相等，也就不存在切线过图象上的两点，因此函数不是“切线重合函数”．故选：ABC．【点睛】本题考查导数的几何意义，解题关键是理解新定义，实质仍然是求函数图象上的切线方程，只是要考虑哪些切线重合，因此本题中含有三角函数，对三角函数来讲，其最高点或最低点是首选，对其它与三角函数有关的函数，涉及到其中三角函数的最大值或最小值点也是我们首选考虑的．3．（2023·重庆沙坪坝·重庆一中校考模拟预测）定义一个可导函数在定义域内一点处的弹性为，请写出一个定义在正实数集上且任意一点处的弹性均为的可导函数．【答案】（答案不唯一）【分析】由整理得，可构造函数，可得，可得，可得.【详解】由题意，当，，整理得设，则，故，为常数，由得故答案为：（答案不唯一）4．（2022·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）给出以下三个材料：①若函数可导，我们通常把导函数的导数叫做的二阶导数，记作.类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，记作，三阶导数的导数叫做四阶导数……一般地，阶导数的导数叫做阶导数，记作.②若，定义.③若函数在包含的某个开区间上具有阶的导数，那么对于任一有，我们将称为函数在点处的阶泰勒展开式.例如，在点处的阶泰勒展开式为.根据以上三段材料，完成下面的题目：(1)求出在点处的阶泰勒展开式，并直接写出在点处的阶泰勒展开式；(2)比较（1）中与的大小.(3)证明：.【答案】(1),；(2)答案见解析；(3)证明过程见解析.【分析】（1）根据在点处的阶泰勒展开式的定义可直接求得结果；（2）令，利用导数可求得在上单调递增，结合可得的正负，由此可得与的大小关系；（3）令，利用导数可求得，即；①当时，由，，可直接证得不等式成立；②当时，分类讨论，由此可证得不等式成立.【详解】（1），，，，，，，即；同理可得：；（2）由（1）知：，，令，则，，，在上单调递增，又，当时，，单调递减；当时，，单调递增；，，在上单调递增，又，当时，；当时，；综上所述：当时，；当时，；当时，；（3）令，则，，在上单调递增，又，在上单调递减，在上单调递增，，即；在点处的阶泰勒展开式为：，，当且仅当时取等号，①当时，由（2）可知，，当且仅当时取等号，所以；②当时，设，，，，当，由（2）可知，所以，，即有；当时，，所以，时，单调递减，从而，即．综上所述：.【点睛】关键点睛：本题考查了导数中的新定义问题，关键是审题时明确阶泰勒展开式的具体定义；本题在证明不等式成立时的关键是能够根据原函数与其在处的阶泰勒展开式的大小关系，利用放缩的方法将不等式进行转化.8．（2022·河北石家庄·统考一模）已知函数，.(1)当时，过坐标原点作曲线的切线，求切线方程；(2)设定义在上的函数在点处的切线方程为，对任意，若在上恒成立，则称点为函数的“好点”，求函数在上所有“好点”的横坐标（结果用表示）.【答案】(1)(2)横坐标【分析】（1）根据导数的几何意义及斜率公式建立方程可求解；（2）根据题中的新定义，表达出，再通过研究其单调性得到最值，从而判断“好点”的横坐标.(1)当时，，，设切点坐标为，则切线方程为：因为切线过原点，代入原点坐标可得：令，则，当时，，即在上单调递增，当时，，即在上单调递减，所以，且当时，，所以的解唯一，即，所以切点坐标为，切线斜率为，切线方程为：.(2)设点是函数上一点，且在点处的切线为，则令，所以，①当，即时，，则时，，所以在单调递减，故，即：，不满足，所以时，不是函数在上的好点.②当，即时，i）若，即，此时：当时，，所以在单调递减，不满足，所以当时，不是函数在上的好点ii），即，此时：当时，，所以在单调递减，不满足，所以当时，不是函数在上的好点.iii）当，即，此时：时，恒成立，所以在单调递增，故当时，，即，所以时：当时，，即，所以时，即对任意，，所以当时，是函数在上的好点.综上所述，在上存在好点，横坐标.【点睛】解决导数的几何意义的关键一是要看清是求在某点处的切线还是过某点求切线；解决恒成立的问题的实质是解决单调性和最值，这一般要分类讨论.【基础过关】一、单选题1．（2023春·辽宁大连·高三瓦房店市高级中学校考开学考试）在数学中，泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式.如果函数足够光滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在一点的邻域中的值，常见的公式有：；.则利用泰勒公式估计的近似值为（

）（精确到）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意，可得，分别计算当时，前几项的计算结果，可得答案.【详解】根据题意，求导可得，因为，，，，所以，故选：B.2．（2023·全国·高三专题练习）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成了一般不动点定理的基石.简单来说就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】结合“不动点”函数的概念，转化为方程有根的问题，对于选项A、C，构造新函数，求导，研究函数的单调性，求函数最值，即可判断，对于选项B，利用零点存在性定理判断，对于选项D，直接根据方程无根判断.【详解】对于A：令，即，令，则，令，得，当时，，在单调递增，当时，，在单调递减，所以，所以方程无根，所以函数不是“不动点”函数，故A不正确；对于B：令，即，令，函数的图象连续不断，且，由零点存在性定理知，函数在上有零点，即有根，所以函数是“不动点”函数，故B正确；对于C：令，即，令，则，得，当时，，在单调递减，当时，，在单调递增，所以，所以方程无根，所以函数不是“不动点”函数，故C不正确；对于D：令，即，而，所以方程无根，所以函数不是“不动点”函数，故D不正确；故选：B【点睛】思路点睛：方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可直接求方程的根，或者利用零点存在性定理判断，也可构造新函数，把问题转化为研究新函数的零点问题，有时还可以转化为两函数交点问题.二、多选题3．（2022秋·河北·高三校联考阶段练习）给出定义：若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称在上存在二阶导函数，记，若在上恒成立，则称在上为凸函数，以下四个函数在上是凸函数的是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】根据“二阶导函数”的概念，结合导数运算公式求解即可.【详解】对于A，，当时，，，故A错误；对于B，在恒成立，故B正确；对于C，在恒成立，故C正确；对于D，，因为，所以，所以恒成立，故D正确.故选：BCD.4．（2022秋·广东深圳·高三深圳中学校考阶段练习）已知定义在区间上的函数，是的导函数，若存在，使得．则称为函数在上的“中值点”．下列函数，其中在区间上至少有两个“中值点”的函数为（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】求出，逐项判断方程在上的根的个数，可得出合适的选项.【详解】对于A选项，，，由，所以，，当时，，如下图所示：由图可知，直线与曲线在上的图象有两个交点，A选项满足条件；对于B选项，，，由，所以，，因为函数在上单调递增，故方程在上不可能有两个根，B不满足条件；对于C选项，，，由，可得，解得，故函数在上只有一个“中值点”，C选项不满足条件；对于D选项，，，由，可得，故函数在上有两个“中值点”，D满足条件.故选：AD.5．（2022秋·福建厦门·高三校联考阶段练习）已知函数的导函数为，若存在使得，则称是的一个“新驻点”，下列函数中，具有“新驻点”的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】求出各个选项中的导函数，结合“新驻点”的定义，逐个求解是否有解即可【详解】根据“新驻点”的定义，即判断方程是否有解.选项A.,则,可得，故有新驻点.选项B.,则可得或，故有新驻点.选项C.，由，设，所以在上单调递增.由，所以存在，使得所以函数有新驻点.选项D.，由,显然无解,故无新驻点.故选：ABC6．（2023·全国·高三专题练习）记、分别为函数、的导函数，若存在，满足且，则称为函数与的一个“点”，则下列说法正确的为（

）A．函数与存在唯一“点”B．函数与存在两个“点”C．函数与不存在“点”D．若函数与存在“点”，则【答案】ACD【分析】令，求出，利用“点”的定义逐项判断，可得出合适的选项.【详解】令.对于A选项，，则，由可得，由可得，所以，函数在上单调递减，在上单调递增，所以，，所以，，此时，函数与存在唯一“点”，A对；对于B选项，，则，函数的定义域为，令可得，且，所以，函数与不存在“点”，B错；对于C选项，，则，令可得，解得或，但，，此时，函数与不存在“点”，C对；对于D选项，，其中，则，若函数与存在“点”，记为，则，解得，D对.故选：ACD.7．（2023·全国·高三专题练习）定义是的导函数的导函数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.可以证明，任意三次函数都有“拐点”和对称中心，且“拐点”就是其对称中心，请你根据这一结论判断下列命题，其中正确命题是（）A．存在有两个及两个以上对称中心的三次函数B．函数的对称中心也是函数的一个对称中心C．存在三次函数，方程有实数解，且点为函数的对称中心D．若函数，则【答案】BCD【分析】根据三次函数拐点与对称中心关系研究判断A、B；由题设定义，求解是否存在三次函数，使有实数解判断C；利用定义找到对称中心，应用对称性求函数值判断D.【详解】A：设三次函数，易知是一次函数，所以任何三次函数只有一个对称中心，故不正确；B：由已知，由得：，函数的对称中心为，又，得，故的对称中心是的一个对称中心，故正确；C：设，则，联立得：，即时，存在三次函数，有实数解，且为的对称中心，故正确；D：由题设，令得：，则，∴函数的对称中心是，则，设，所以，所以，故正确.故选：BCD.三、填空题8．（2023·全国·高三专题练习）给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”，经研究发现所有的三次函数都有“拐点”，且该“拐点”也是函数的图像的对称中心，若函数，则.【答案】8090【分析】本题首先可根据得出，从而，然后令，求出对称中心，，最后根据即可求出算式.【详解】由题意因为，所以，，令，解得，，由题意得对称中心为，所以，，故答案为：8090.9．（2023·广东惠州·统考模拟预测）用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线y＝f（x）在点（x，f（x））处的曲率，则曲线在（1，1）处的曲率为；正弦曲线（x∈R）曲率的平方的最大值为.【答案】1【分析】（1）由题意，求导，代入公式，可得答案；（2）由题意，整理曲率的函数解析式，换元求导，求最值，可得答案.【详解】（1）由题意得，，则，，则.（2）由题意得，，，∴，令，则，令，则，显然当t∈[1,2]时，，p（t）单调递减，所以，∴的最大值为1.故答案为：，1.四、双空题10．（2022秋·云南曲靖·高三校联考阶段练习）对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.设函数，则的拐点为，.【答案】2022【分析】空1，令，解得．计算即可得出；空2，由于函数的对称中心为．可得．即可得出．【详解】，故，，令，解得：，而，故函数的对称中心坐标是；由于函数的对称中心为，则函数图像上的点关于的对称点也在函数图像上，即．．．故答案为：，2022．【能力提升】一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）设函数是的导数，经过探究发现，任意一个三次函数的图象都有对称中心，其中满足，已知函数，则（

）A．2021 B． C．2022 D．【答案】B【分析】通过条件，先确定函数图象的对称中心点，进而根据对称性求出函数值的和.【详解】由，可得，，令，得，又，所以对称中心为，所以，…，，.所以．故选：B.2．（2022秋·山东青岛·高三校考阶段练习）设函数在区间上的导函数为，在区间上的导函数为.若在区间上，恒成立，则称函数在区间上为“凸函数”.已知实数是常数，.若对满足的任何一个实数，函数在区间上都为“凸函数”，则的最大为（

）A．3 B．2 C．1 D．1【答案】B【分析】根据题意，求出，问题转化为恒成立，进而解得答案.【详解】由题意，，，根据“凸函数”的定义，原问题可以转化为：即对任意的恒成立，将m视作自变量，x视作参数，则，解得，解得，由，故.故选：B.二、多选题3．（2022·全国·高三专题练习）拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心内容，定理如下：如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，则在区间内至少存在一个点，使得，称为函数在闭区间上的中值点，若关于函数在区间上“中值点”的个数为，函数在区间上“中值点”个数为，则有（

）（参考数据：，，，.）A． B． C． D．【答案】BC【分析】先求出由拉格朗日中值定理可得数形结合判断该方程的隔壁的个数即为“中值点”的个数的值，对于由拉格朗日中值定理可得数形结合判断方程的根的个数即为“中值点”的个数的值，即可得正确选项.【详解】设在闭区间上的中值点为，由，由拉格朗日中值定理可得：，因为，所以，可得，，即作出函数和的图象如图：由图可知，函数和的图象在上有两个交点，所以方程在上有两个解，即函数在区间上有个中值点，所以，，函数在区间上“中值点”为，由拉格朗日中值定理可得：，因为，，所以作出函数与的图象如图：当时，，由图可知函数与的图象在区间上有一个交点，即方程在区间上有一个根，所以函数在区间上有个“中值点”，所以，故选：BC【点睛】方法点睛：判断函数零点（方程的根）个数的方法（1）直接法：令，如果能求出解，那么有几个不同的解就有几个零点；（2）利用函数的零点存在性定理：利用函数的零点存在性定理时，不仅要求函数的图象在区间上是连续不断的曲线，并且，还必须结合函数的图象与性质，（如单调性、奇偶性）才能确定函数有多少个零点；（3）图象法：画出函数的图象，函数的图象与轴交点的个数就是函数的零点个数；将函数拆成两个函数，和的形式，根据，则函数的零点个数就是函数和的图象交点个数；（4）利用函数的性质：若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到，若所考查的函数是周期函数，则需要求出在一个周期内的零点个数，根据周期性则可以得出函数的零点个数.4．（2023秋·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）定义：如果函数在上存在，（），满足，则称，为上的“对望数”.已知函数为上的“对望函数”.下列结论正确的是（

）A．函数在任意区间上都不可能是“对望函数”B．函数是上的“对望函数”C．函数是上的“对望函数”D．若函数为上的“对望函数”，则在上单调【答案】ABC【分析】根据“对望函数”的定义，代入具体函数依次判断，可判断A，B，C；若函数为上的“对望函数”，则在上必有两个不相等的实根，可判断D.【详解】对于A，因为是单调递增函数，所以在上不可能存在，（），满足，所以函数在任意区间上都不可能是“对望函数”，故A正确；对于B，，，令，得，，且，所以函数是上的“对望函数”，故B正确；对于C，，，令，得，因此存在，使得，所以函数是上的“对望函数”，故C正确；对于D，若函数为上的“对望函数”，则在上必有两个不相等的实根，则函数在上不单调，故D错误.故选：ABC5．（2022秋·湖南长沙·高三统考阶段练习）若存在，则称为二元函数在点处对x的偏导数，记为；若存在，则称为二元函数在点处对y的偏导数，记为.若二元函数，则下列结论正确的是（）A．B．C．的最小值为D．的最小值为【答案】ABD【分析】根据偏导数的定义进行分析计算，，可判断AB；，的最小值为，由于，构造函数（），利用导数可求出的最小值可判断CD.【详解】因为（，），所以，则，故A选项正确；又，所以，故B选项正确；因为，所以当时，取得最小值，且最小值为，故C选项错误；，令（），，当时，，当时，，故，从而当时，取得最小值，且最小值为，故D选项正确.故选：ABD.6．（2023·安徽淮北·高三校考开学考试）经研究发现：任意一个三次多项式函数的图象都只有一个对称中心点，其中是的根，是的导数，是的导数.若函数图象的对称点为，且不等式对任意恒成立，则（

）A． B． C．的值可能是 D．的值可能是【答案】ABC【解析】求导得，故由题意得，，即，故.进而将问题转化为，由于，故，进而得，即，进而得ABC满足条件.【详解】由题意可得，因为，所以，所以，解得，故.因为，所以等价于.设，则，从而在上单调递增.因为，所以，即，则（当且仅当时，等号成立），从而，故.故选：ABC.【点睛】本题解题的关键在于根据题意得，进而将不等式恒成立问题转化为恒成立问题，再结合得，进而得.考查运算求解能力与化归转化思想，是难题.7．（2022·全国·高三专题练习）定义：在区间上，若函数是减函数，且是增函数，则称在区间上是“弱减函数”.根据定义可得（

）A．在上是“弱减函数”B．在上是“弱减函数”C．若在上是“弱减函数”，则D．若在上是“弱减函数”，则【答案】BD【分析】根据在上的单调性可判断A；根据“弱减函数”的概念，利用导数判断单调性即可判断BC;由“弱减函数”的概念可得在上单调递减，在上单调递增，求导，分离参数，利用导数求最值即可判断D.【详解】对于A选项，因为函数在上不是增函数，故A不满足条件；对于B选项，，当时，，故函数在上是减函数.令，则，故函数在上为增函数，故B满足条件；对于C选项，若在上单调递减，由，得，故的单调递减区间为.若在上单调递增，则.故若在上是“弱减函数”，则，故C错误；对于D选项，若在上单调递减，则在上恒成立，即.令，则，令，则，则在上单调递减，故.故，在上单调递减，.所以，解得.若在上单调递增，则在上恒成立，所以.令，则，所以在上单调递增，.所以，解得.综上，，故D正确.故选:BD.【点睛】总结点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．三、填空题8．（2023·全国·高三专题练习）丹麦数学家琴生是世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.定义：函数在上的导函数为，在上的导函数为，若在上恒成立，则称函数是上的“严格凸函数”，称区间为函数的“严格凸区间”.则下列正确命题的序号为.①函数在上为“严格凸函数”；②函数的“严格凸区间”为；③函数在为“严格凸函数”，则的取值范围为.【答案】①②.【分析】题中告诉了“严格凸函数”点的定义，那么在判断①②③时，严格按照定义来解题.求函数的导函数，以及的导函数.对于①，只要证明在上恒成立；对于②，，所以，解得；对于③，在上恒成立，分离参数，，所以.【详解】的导函数，，在上恒成立，所以函数在上为“严格凸函数”，所以①正确；的导函数，，，所以，解得，所以函数的“严格凸区间”为，所以②正确；的导函数，，，所以在上恒成立，即，设，则在单调递增，所以，所以，所以③不正确；故答案为：①②.【点睛】准确理解定义，对于①②③不同的问法，采取不同的解题方式，特别是③，分离参数，转化为求最值问题.四、解答题9．（2022·湖南·模拟预测）设为的导函数，若是定义域为D的