培优专题10圆锥曲线压轴小题归类

培优专题10圆锥曲线压轴小题归类目录TOC\o"11"\h\u重难点题型归纳 1【题型一】曲线与轨迹 1【题型二】三曲线定义法 3【题型三】双曲线渐近线 6【题型四】三大曲线焦半径 9【题型五】三大曲线焦点弦 12【题型六】焦点三角形 14【题型七】中点弦 15【题型八】焦点圆 17【题型九】双余弦定理 19【题型十】双角度 22【题型十一】四心与曲线 24【题型十二】切线 27【题型十三】小题大做：坐标运算 30好题演练 33重难点题型归纳【题型一】曲线与轨迹【典例分析】若，则的最小值和最大值分别是（）A．和 B．和1 C．和 D．和1【答案】A【分析】由题意可得原方程表示的曲线为个圆，作出图象，数形结合借助几何法可得答案．【详解】解：∵，∴或，即或，即方程表示的曲线为个圆，如图：当直线平移到与圆在左上方相切时，取得最大值，即原点到直线的距离为1，即，解得，又直线在轴上的截距为正，即，∴，即，当直线平移到经过圆上的点和时，取得最小值，即点和在直线上，即，即，故选：A．【技法指引】（1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；（2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程；（3）相关点法：用动点的坐标、表示相关点的坐标、，然后代入点的坐标所满足的曲线方程，整理化简可得出动点的轨迹方程；（4）参数法：当动点坐标、之间的直接关系难以找到时，往往先寻找、与某一参数得到方程，即为动点的轨迹方程；（5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程.【变式演练】1.阿波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前262190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆现有，，，则当的面积最大时，它的内切圆的半径为______.【答案】【分析】，，,即．根据阿波罗尼斯圆可得：点B的轨迹为圆,以线段AC中点为原点，AC所在直线为x轴建立直角坐标系,求出B的轨迹方程，当面积最大时，边上的高为圆的半径4,进而求得的面积，根据内切圆的性质，计算可得半径，进而得出结论．【详解】∵，∴为非零常数，故点B的轨迹是圆.以线段中点为原点，所在直线为x轴建立直角坐标系，则，，设，∵，，，整理得，因此，当面积最大时，边上的高为圆的半径4.此时，，设内切圆的半径为r，则，解得.故答案为：2.方程|x1|+|y1|=1表示的曲线所围成的图形的面积是____.【答案】2【分析】利用绝对值的定义，可得出曲线形状，然后可求面积．【详解】当时，方程为，当时，方程为，当时，方程为，当时，方程为，曲线是以为顶点的正方形，面积为．【题型二】三曲线定义法【典例分析】已知双曲线：的左右焦点分别为，，过的直线与圆相切于点，且直线与双曲线的右支交于点，若，则双曲线的离心率为______.【答案】如图，由题可知，，则，又，，，又，作，可得，，则在，，即，又，化简可得，同除以，得解得双曲线的离心率为【技法指引】(1)椭圆定义：动点P满足：|PF1|＋|PF2|＝2a，|F1F2|＝2c且a>c(其中a>0，c0，且a，c为常数)(2)双曲线定义：动点P满足：||PF1|－|PF2||＝2a，|F1F2|＝2c且a＜c(其中a，c为常数且a>0，c>0).(3)抛物线定义：|PF|＝|PM|，点F不在直线l上，PM⊥l于M.【变式演练】1.已知椭圆的左、右焦点分别为，，P为椭圆C在第一象限内的一点，，直线与C的另一个交点为Q，O为坐标原点，则的面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设，，在中，由余弦定理结合椭圆定义可得，根据面积相等，即可得P点纵坐标，进而得P点坐标，根据点坐标即可得直线方程，与椭圆联立可得点纵坐标，进而求得三角形面积.【详解】解：因为，所以，设，，在中，由余弦定理得，即，所以，根据椭圆定义有：，所以，所以，因为，因为P在第一象限，所以，代入椭圆中，得，因为，所以，所以直线，联立，可得，显然，则，因为，所以，所以．故选：C2.已知实数a，b，c成等差数列，记直线与曲线的相交弦中点为P，若点A，B分别是曲线与x轴上的动点，则的最小值是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】由已知得，可得出直线过定点，设直线与曲线相交的一个交点为Q，设另一个交点为，设，由中点坐标可得出点，代入曲线上，得出P在抛物线上运动，由抛物线的定义及圆的性质可得出选项.【详解】解：因为实数a，b，c成等差数列，所以，则直线化为，即，由解得,所以直线过定点，又点Q在曲线上，所以直线与曲线相交的一个交点为Q，设另一个交点为，设，则，又在曲线上，化简得，即P在抛物线上运动，设抛物线的焦点为，设，，曲线，得，记圆心。所以。.故选B.【题型三】双曲线渐近线【典例分析】已知、分别为双曲线的两个焦点，双曲线上的点到原点的距离为，且，则该双曲线的渐近线方程为（）A． B． C． D．【答案】A【详解】设为双曲线的下焦点，为双曲线的上焦点，绘出双曲线的图像，如图，过点作于点,因为，所以，，因为，所以，因为双曲线上的点到原点的距离为，即，且，所以，，故，，因为，所以，，将代入双曲线中，即，化简得，，，，，解得或（舍去），，，则该双曲线的渐近线方程为，故选：A.【技法指引】与双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0)．【变式演练】1.已知、分别为双曲线的两个焦点，双曲线上的点到原点的距离为，且，则该双曲线的渐近线方程为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题首先可以结合题意绘出双曲线的图像，然后根据得出，根据双曲线的定义得出，再然后根据得出以及，根据得出，最后将点坐标代入双曲线中，通过化简即可得出结果.【详解】设为双曲线的下焦点，为双曲线的上焦点，绘出双曲线的图像，如图，过点作于点,因为，所以，，因为，所以，因为双曲线上的点到原点的距离为，即，且，所以，，故，，因为，所以，，将代入双曲线中，即，化简得，，，，，解得或（舍去），，，则该双曲线的渐近线方程为，故选：A.2.．如图，已知分别为双曲线的左、右焦点，P为第一象限内一点，且满足，线段与双曲线C交于点Q，若，则双曲线C的渐近线方程为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由同起点的向量做加法想到平行四边形法则，从而取的中点E，由已知可知，由三线合一知三角形为等腰三角形，再由余弦的定义表示的余弦值，又由双曲线的定义表示，最后在中，由余弦定理构建方程，求得，将其代入渐近线方程，得答案.【详解】取线段的中点E，连接，因为，所以，故三角形为等腰三角形，且．在中，，连接，又，点Q在双曲线C上，所以由双曲线的定义可得，，故．在中，由余弦定理得，．整理可得，所以，故双曲线C的渐近线方程为．故选：B【题型四】三大曲线焦半径【典例分析】已知过抛物线的焦点，且斜率为的直线与抛物线交于两点，则____________．【答案】【详解】方法一：方法二：抛物线的焦点的坐标为斜率为且过焦点的直线方程为联立抛物线方程，得，化简得设两个交点坐标分别为所以则所以【技法指引】圆锥曲线焦半径统一结论，其中p为交点到准线的距离，对椭圆和双曲线而言对于抛物线，则常见抛物线的（为焦准距）（1）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则；（2）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则；（3）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则；（4）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则.【变式演练】1.已知双曲线的一条渐近线方程为，左焦点为，当点在双曲线右支上，点在圆上运动时，则的最小值为__________．【答案】7解：由双曲线方程，得，所以渐近线方程为比较方程，得所以双曲线方程为，点记双曲线的右焦点为，且点在双曲线右支上，所以所以由两点之间线段最短，得最小为因为点在圆上运动所以最小为点F到圆心的距离减去半径2所以所以的最小值为7故答案为：7.2.已知点是椭圆上非顶点的动点，分别是椭圆的左、右焦点，为坐标原点，若为的平分线上一点，且，则的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】D【详解】如图所示，不妨设点P在轴右边，因为为的平分线上一点，且，所以为的垂直平分线，故，由中位线定理可得。设点，由焦半径公式得，，，，故，因为，所以，，，故选D。【题型五】三大曲线焦点弦【典例分析】设，分别是椭圆的左、右焦点，直线l过交椭圆C于A，B两点，交y轴于C点，若满足且，则椭圆的离心率为A. B. C. D.【答案】A【详解】因为F1是椭圆的左焦点，直线过F1交y轴于C点所以，即因为，所以又因为所以在三角形AF1F2中，，，，根据余弦定理可得，代入得，化简得所以离心率为所以选A【变式演练】1.双曲线，，方向向量为的直线过点且与双曲线交于两点，,，，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】如图，由题意知D为BC的中点，且，所以．过点D作轴于，则．在中，，根据三角形的相似可得，∴．又，∴，∴，∴．故点D的坐标为．设，由点差法可得，即，∴．∴．选A．2.已知椭圆：的左、右焦点分别为，点在椭圆上，且，则当时，椭圆的离心率的取值范围为______．【答案】因为，所以可设，由，得，即，因为在椭圆上，所以，即，即，即，即在区间上为增函数，所以，即椭圆的离心率的取值范围为.【题型六】焦点三角形【典例分析】已知，分别是椭圆的左､右焦点，若在椭圆上存在点，使得的面积等于，则椭圆的离心率的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据给定条件用表示出，再结合椭圆定义并借助均值不等式计算作答.【详解】依题意，，而，则有，由椭圆定义知：，当且仅当，即时取“=”，于是有，则，又，即有，所以椭圆的离心率的取值范围为.故选：A【变式演练】1.已知椭圆C的方程为离心率，，分别为左焦点和右顶点，点在椭圆上，若为锐角，则实数的取值范围是______．【答案】【分析】利用离心率先求出，然后把点参数化，得到，进而利用为锐角，得到，最后得到实数的取值范围【详解】∵椭圆C的标准方程为，∴，又∵椭圆C的离心率，∴，则，若点在椭圆上，则，（为参数），则，，若为锐角，则，即，，又由时，与同向，，故，，即实数的取值范围是故答案为：2.已知，分别是椭圆：的左右两个焦点，若在上存在点使，且满足，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】依题意可得、，再根据椭圆的定义得到，即可求出椭圆的离心率；【详解】解：在中，且满足，所以，，所以、，所以，所以；故选：B【题型七】中点弦【典例分析】已知斜率为1的直线与椭圆相交于A、B两点，O为坐标原点，AB的中点为P，若直线OP的斜率为，则椭圆C的离心率为（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】这是中点弦问题，注意斜率与椭圆a,b之间的关系.【详解】如图：依题意，假设斜率为1的直线方程为：，联立方程：，解得：，代入得，故P点坐标为，由题意，OP的斜率为，即，化简得：，，，；故选：B.【变式演练】1.已知平行四边形内接于椭圆，且的斜率之积为，则椭圆的离心率为________．【答案】##0.5【分析】根据对称性设，，，根据得到，再求离心率即可.【详解】由对称性，，关于原点对称，设，，，，故.故答案为：2.抛物线的焦点为，已知点为抛物线上的两个动点，且满足，过弦的中点作准线的垂线，垂足为，则的最大值为（）A.1 B. C.2 D.【答案】D如图所示，设|连接由抛物线定义，得|在梯形中，由余弦定理得，配方得又得到|所以，即的最大值为【题型八】焦点圆【典例分析】已知椭圆的左顶点和上顶点分别为，，左、右焦点分别是，，在线段上有且只有一个点满足，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题意可求得的方程，设出点坐标，代入的方程，由，得，结合椭圆的离心率的性质即可求得答案.【详解】解：依题意，作图如下，，，，直线的方程为：，整理得：，设直线上的点，则，，，，令，则，由得：，于是，，整理得：，又，，，，又椭圆的离心率，，椭圆的离心率为.故选：A.【变式演练】1.设，分别是椭圆的左右焦点，为椭圆的下顶点，为过点，，的圆与椭圆的一个交点，且，则的值为__________.【答案】【详解】设过三点的圆的圆心为是通径的一半，是圆中的一条弦，根据圆的对称性可知的坐标，，整理得整理得解得，舍去负根2.已知椭圆的左，右焦点分别为，，以坐标原点O为圆心，线段为直径的圆与椭圆C在第一象限相交于点A．若，则椭圆C的离心率的取值范围为______．【答案】【分析】根据题意可得，且，再根据焦点三角形中的关系表达出离心率，结合函数的单调性求解即可【详解】由题意，因为线段为直径的圆与椭圆C在第一象限相交于点A．故半径,即，且.又离心率，因为，结合题意有，设，则，易得对勾函数在上单调递增，故在上单调递增，故，即故答案为：【题型九】双余弦定理【典例分析】如图所示，为椭圆的左右焦点，过的直线交椭圆于B．D两点且，E为线段上靠近的四等分点．若对于线段上的任意点P，都有成立，则椭圆的离心率为________．【答案】【分析】取的中点Q，连EQ．PQ．根据向量的加法和减法转化，同理，等价于，由点的任意性判断，得到，根据几何关系和椭圆定义得到边长，根据余弦定理建立方程求椭圆的离心率.【详解】解：取的中点Q，连EQ．PQ．，同理，恒成立等价于，因为点是线段上的任意一点，故，得到，设，则，，由，得，，，在中，，在中，又所以，解得．故答案为：【变式演练】1.椭圆的两个焦点为，，过的直线交椭圆于，两点，，，则椭圆的离心率为___________.【答案】【分析】设椭圆，设，运用椭圆的定义，可得，，即有，取的中点，连接，则，由勾股定理可得a,c的另一关系式，联立解得，，运用离心率公式计算即可得到答案．【详解】设椭圆，，，，如图示：设，则，由椭圆的定义可得，，即有，即，①取的中点，连接，则，由,则，由勾股定理可得，即为，②由①②解得，，则离心率，故答案为：2.设,分别是椭圆的左､右焦点，过点的直线交椭圆于两点，，若，则椭圆的离心率为___________.【答案】【分析】求椭圆的离心率，要列出关于的等量关系式，设，根据椭圆的定义以及，可以表示出三角形各边的长度，通过余弦定理得到各边关于的表达式，根据几何关系可以列出关于的等量关系式，从而求出离心率【详解】设，则，，，.，在中，由余弦定理得，，，化简可得，而，故，，，，，是等腰直角三角形，，椭圆的离心率，故答案为：.【题型十】双角度【典例分析】如图，点F为椭圆的左焦点，直线分别与椭圆C交于A，B两点，且满足，O为坐标原点，若，则椭圆C的离心率________．【答案】【分析】根据题意，利用图中几何关系，再几何椭圆的定义，即可得解.【详解】由题知：令连接，所以，且，从而．故答案为：．【变式演练】1.已知椭圆的两个焦点分别为，点为椭圆上一点，且，，则椭圆的离心率为__．【答案】【分析】由题意得到，即，进而求得，结合，得到，即可求得椭圆的离心率.【详解】因为，，则，所以,且，所以，又由，即，即，所以.故答案为：2..已知，为椭圆：的左、右顶点，点在上，在中，，，则椭圆的离心率为________．【答案】【分析】设，进而根据，求出m,n，然后将m,n代入椭圆方程进而得到a,b的关系，然后求出离心率.【详解】根据椭圆的对称性不妨设点在x轴上方，设，由，，联立解得：，代入到椭圆方程得：，所以.故答案为：.【题型十一】四心与曲线【典例分析】已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上不与左右顶点重合的任意一点，，分别为的内心和重心，当轴时，椭圆的离心率为A． B． C． D．【答案】A【分析】结合图像，利用点坐标以及重心性质，得到G点坐标，再由题目条件轴，得到点横坐标，然后两次运用角平分线的相关性质得到的比值，再结合与相似，即可求得点纵坐标，也就是内切圆半径，再利用等面积法建立关于的关系式，从而求得椭圆离心率.【详解】如图，令点在第一象限（由椭圆对称性，其他位置同理），连接，显然点在上，连接并延长交轴于点，连接并延长交轴于点，轴，过点作垂直于轴于点，设点，，则，因为为的重心，所以，因为轴，所以点横坐标也为，，因为为的角平分线，则有，又因为，所以可得，又由角平分线的性质可得，，而所以得，所以，，所以，即，因为即，解得，所以答案为A.【变式演练】1.已知椭圆：的左、右焦点分别是，，是椭圆上的动点，和分别是的内心和重心，若与轴平行，则椭圆的离心率为(

)A． B． C． D．【答案】A【分析】连接PO，则三点共线，延长交轴于点，则由平行于轴得，从而可得，根据三角形内心的性质可得，从而可得离心率．【详解】∵是的中点，G是的重心，∴三点共线，延长交轴于点，则由平行于轴知，，则,设内切圆半径为r，则，∴椭圆的离心率为．故选：A﹒2.已知椭圆）的左､右焦点分别为和为C上一点，且的内心为，则椭圆C的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用角平分线定理可得，进而可得，结合条件即得.【详解】连接，延长交轴于，则，又，，所以，故，即，又，所以，即.故选：D.【题型十二】切线【典例分析】已知圆在椭圆的内部，点为上一动点.过作圆的一条切线，交于另一点，切点为，当为的中点时，直线的斜率为，则的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】当点为中点时，由点差法可得，再由与圆相切可得，可解出；设为的左顶点，连接，则，根据正切的二倍角公式可解得，即得出，将和代入得，然后解出离心率.【详解】设，，，则，.将，的坐标分别代入的方程，得，两式相减，得，所以，即.当为的中点时，，则，故.如图，设为的左顶点，连接，则，所以，整理得，解得或（舍去），则，所以，所以，故的离心率.故选：C.【变式演练】1.两个长轴在x轴上、中心在坐标原点且离心率相同的椭圆.若A，B分别为外层椭圆的左顶点和上顶点，分别向内层椭圆作切线AC，BD，切点分别为C，D，且两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】法一，用判别式等于零求两条切线得斜率，因为它们相乘等于，可得，所以椭圆的离心率为；法二，用极点极线得方法得到两条切线得斜率，再根据条件即得.【详解】法一：设内椭圆方程为，外椭圆为，切线的方程为，联立消去可得：，因为直线为椭圆的切线，所以，化简可得：，设直线的方程为：，同理可得，因为两切线斜率之积等于，所以，所以椭圆的离心率为.故选：B.法二；设内层椭圆：，外层椭圆：.设切点，，，，切线：，切线：，∴①，②，又∵，即，即，即，∴，同理，∴，∴，将，代入椭圆中得：，经分析得：，由①②可知，∴，∴，∴.故选：B.2.已知椭圆，焦距为，以点O为圆心，b为半径作圆O，若过点作圆O的两条切线，切点分别为A，B，且，则椭圆C的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】在直角中，根据，列出方程得到，进而转化为，得出，即可求解.【详解】由题意，可得，，，故，在直角中，由，可得，故，整理得，所以，即，所以，可得，解得.即椭圆的离心率为.故选：B.【题型十三】小题大做：坐标运算【典例分析】已知点为椭圆：的上顶点，点，在椭圆上，满足且，若满足条件的△有且只有一个，则的离心率的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设：取，联立椭圆结合求出A、B的点坐标，由及两点距离公式得到，根据题设且无其它k值，得到，进而求的范围，即可求离心率范围.【详解】设直线：，则：，而，不妨取，直线与椭圆联立，消去得，解得，所以，则，因为，所以，整理得，，易知符合，因为满足条件的△有且只有一个，所以无之外的解，整理得，所以，即，所以离心率．故选：B【变式演练】1.已知椭圆内有一定点，过点P的两条直线，分别与椭圆交于A、C和B、D两点，且满足，，若变化时，直线CD的斜率总为，则椭圆的离心率为A． B． C． D．【答案】A【分析】设出四点的坐标，将两点坐标代入椭圆方程并化简，同理将两点坐标代入椭圆方程并化简，根据化简上述两个式子，由此求得的值，进而求得椭圆离心率.【详解】设因为，且，所以，同理.将两点坐标代入椭圆方程并化简得，即，同理，由于，，所以，即，即，两式相加得，即，所以，所以，故选A.2.过原点的一条直线与椭圆=1（a＞b＞0）交于A，B两点，以线段AB为直径的圆过该椭圆的右焦点F2，若∠ABF2∈[]，则该椭圆离心率的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】以AB为直径的圆的圆周角∠ABF2∈[]，故圆心角，所以当斜率存在时，斜率，然后将斜率转化为的关系式，求解离心率的取值范围；当斜率不存在时，易得，易解离心率的值，综上便可得出答案．【详解】解：当过原点的直线斜率不存在时，因为以AB为直径的圆经过右焦点，所以有，此时；当过原点的直线斜率存在时，设过原点的直线为，，因为∠ABF2∈[]所以圆心角，所以，即，直线与椭圆联立方程组，解得，因为以AB为直径的圆经过右焦点，所以，以AB为直径的圆方程为，所以有，即，故，即，所以，解得故得到综上：，故选B好题演练一、单选题1．（2023春·湖北·高三宜昌市三峡高级中学校联考）椭圆的中心在坐标原点，，，，分别为椭圆的左、右、上、下顶点，为其右焦点，直线与直线交于点，若为钝角，则该椭圆的离心率的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据为钝角转化为，求出四点坐标，用数量积的坐标公式得到关于，的不等式，不等式两边同时除以得到关于离心率的不等式，解不等式即可得到离心率的取值范围.【详解】如图，设椭圆的标准方程为，．由题意，得，，，则，．因为为向量与的夹角，且为钝角，所以，所以．又，所以，两边同时除以得，解得或，因为，所以.故选：A．2．（2023·全国·高三专题练习）如图，、是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于点若，，，则双曲线的离心率为（

）A．4 B． C． D．【答案】D【分析】利用双曲线的定义及线段的关系建立方程，解出再利用双曲线离心率公式计算即可【详解】因为，，，所以，所以．由双曲线的定义得：，所以，所以在中，所以．故双曲线的离心率为.故选：D.3．（2023春·浙江杭州·高三杭师大附中校考）过抛物线的焦点作斜率分别为，的两条不同的直线，，且，与相交于点，与相交于点．分别以、为直径的圆、圆（为圆心）的公共弦记为，则点到直线的距离的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据抛物线的性质以及已知条件求出圆、圆的标准方程，然后联立求出公共弦所在的直线，最后利用点到直线的距离公式写出表达式，利用二次函数性质求最小值即可.【详解】由题意知焦点，设直线，联立得：，设，则，由抛物线定义可得：，由题知为的中点，所以，所以，所以圆的标准方程为：，即，同理可得圆的方程为：，联立，所以圆与圆的公共弦所在的直线的方程为：，由题知，所以直线的方程为：，所以点到直线的距离为：，当时，取到最小值，故点到直线的距离的最小值为，故选：A.4．（2023·河南郑州·三模）已知，分别是双曲线：的左、右焦点，过的直线分别交双曲线左、右两支于A，B两点，点C在x轴上，，平分，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】因为，所以∽，设，则，设，则，．由角平分线的性质可得，由双曲线的定义可得，，再结合余弦定理可得，从而可求解.【详解】因为，则，所以∽，设，则，设，则，．因为平分，由角平分线定理可知，，所以，所以，由双曲线定义知，即，，①又由得，在中，由余弦定理知，在中，由余弦定理知，即，化简得，把①代入上式得，解得．故选：A．5．（2023·河南郑州·模拟预测）设，为椭圆的左、右焦点，点A为椭圆的上顶点，点B在椭圆上且满足，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题设及椭圆对称性，若下顶点为，则直线必过下顶点，且，进而有，设，根据向量数量关系的坐标表示求坐标，再由点在椭圆上得到参数关系，即可求离心率.【详解】由且A为椭圆的上顶点，则，，若下顶点为，根据椭圆对称性知：直线必过下顶点，且，故不可能为下顶点，所以，如上图有，而，若，则，故，即在椭圆上，所以，可得，而，则.故答案为：D6．（2023·天津河西·统考一模）已知抛物线，分别是双曲线的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的右焦点，与双曲线的渐近线交于点，若，则双曲线的标准方程为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由抛物线方程确定准线，即知，再由双曲线的渐近线为，令，结合已知有，进而求出双曲线参数，即可得方程.【详解】由题设，抛物线准线为，则，，双曲线的渐近线为，不妨令，又，易知：△为等腰直角三角形，即，所以，即，又，可得，故双曲线为.故选：A7．（2023·四川达州·统考二模）点均在抛物线上，若直线分别经过两定点，则经过定点，直线分别交轴于，为原点，记，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用条件，用表示出两点坐标，从而求出直线的方程，进而求出定定点，再根据条件得到，再利用柯西不等式即可求出结果.【详解】如图，由题易知直线斜率均存在，设直线方程为，，由，消得，即，由韦达定理得，所以，代入，得到，所以，设直线方程为，，由，消得，即，由韦达定理得，所以，又因为，所以，代入，得到，所以，所以直线的斜率为，所以的方程为，即所以，即，故直线过定点，令，得到，所以，所以，，又因为，所以，所以，，又，所以，又由柯西不等式知，当且仅当，即时，取等号，所以，即，故选：D.【点睛】解决本题的关键在于，利用条件求出，两点，再利用点斜式表示出直线，进而求出定点.8．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的右焦点为F，过点F且斜率为的直线l交双曲线于A、B两点，线段AB的中垂线交x轴于点D.若，则双曲线的离心率取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意利用韦达定理求以及线段AB的中垂线的方程，进而可求点D和，结合运算求解即可.【详解】设双曲线的右焦点为，则直线，联立方程，消去y得：，则可得，则，设线段的中点，则，即，且，线段的中垂线的斜率为，则线段的中垂线所在直线方程为，令，则，解得，即，则，由题意可得：，即，整理得，则，注意到双曲线的离心率，∴双曲线的离心率取值范围是.故选：A.【点睛】方法定睛：双曲线离心率(离心率范围)的求法求双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求的值（或范围）．二、多选题(9．（2023·浙江金华·统考模拟预测）已知拋物线，点均在抛物线上，点，则（

）A．直线的斜率可能为B．线段长度的最小值为C．若三点共线，则存在唯一的点，使得点为线段的中点D．若三点共线，则存在两个不同的点，使得点为线段的中点【答案】BD【分析】根据两点斜率公式，结合一元二次方程的根可判断A，由两点距离公式，结合导数求单调性确定最值可判断B，根据中点坐标公式，由一元二次方程根的个数可判断CD.【详解】设在抛物线上，且满足，对于A，假如直线的斜率可以为，则由于，则该方程无解，所以直线的斜率不可能为，故A错误，对于B,，记，记单调递增，由于，因此单调递增，当时，单调递减，故当时，取最小值5，因此的最小值为，故B正确，对于C,若三点共线，为线段的中点，则，将代入抛物线方程中得，故有两个不相等的实数根，所以满足条件的点不唯一，故C错误，D正确，故选：BD10．（2023·全国·高三专题练习）已知曲线，，则下列结论正确的是（

）A．曲线C可能是圆，也可能是直线B．曲线C可能是焦点在轴上的椭圆C．当曲线C表示椭圆时，则越大，椭圆越圆D．当曲线C表示双曲线时，它的离心率有最小值，且最小值为【答案】ABD【分析】设，由的符号和取值结合对应方程的特点，结合条件逐项判断可得答案.【详解】设，故曲线C的方程可表示为，对A，当时，曲线C的方程为，可得，此时曲线C为两条直线；当时，曲线C的方程为，此时曲线C是一个圆；故A正确；对B，当时，，曲线C的方程为，此时曲线C为焦点在y轴上的椭圆，故B正确；对C，当曲线C表示椭圆时，离心率为，则越大，椭圆越扁，故C错误；对D，当时，，曲线C的方程为，此时曲线C为焦点在x轴上的双曲线，此时离心率为，由，可得，即它的离心率有最小值，且最小值为，故D正确.故选：ABD.11．（2023·浙江绍兴·统考二模）已知点是椭圆的左右焦点，点为椭圆上一点，点关于平分线的对称点也在椭圆上，若，则（

）A．的周长为 B．C．平分线的斜率为 D．椭圆的离心率为【答案】ABD【分析】由分析知点为直线与椭圆的交点，故的周长为，可判断A；设，由椭圆的定义和角平分线定理求出，，可判断B；由余弦定理可判断D；点在轴上方，设直线的倾斜角为，由两角差的正切公式求出可判断C.【详解】点关于平分线的对称点在直线上，又点关于平分线的对称点也在椭圆上，所以点为直线与椭圆的交点，故的周长为，故A正确；设的平分线交于点，设，则，所以，而，设则，于是，所以，，，，，所以，故B正确；在，由余弦定理可得：，则，则，所以，故D正确；不妨设点在轴上方，由题意可知，点在椭圆的下顶点处，则，，，设直线的倾斜角为，则，由对称性知平分线的斜率为或，故C不正确.故选：ABD.12．（2023·湖北·校联考三模）已知抛物线与圆相交于，线段恰为圆的直径，且直线过抛物线的焦点，则正确的结论是（

）A．或B．圆与抛物线的准线相切C．在抛物线上存在关于直线对称的两点D．线段的垂直平分线与抛物线交于，则有【答案】BD【分析】选项B分别过作抛物线准线的垂线，垂足分别为画出图形，结合已知条件分析即可；选项A利用选项B分析的结论即可得选项；选项CD利用直线与抛物线的位置关系联立方程组，利用韦达定理及弦长公式及其他选择即可解决.【详解】分别过作抛物线准线的垂线，垂足分别为由于直线过焦点到准线的距离:，故以为直径的圆与抛物线的准线相切，故B正确．由于以为直径的圆与抛物线的准线相切，有，，故A不正确．过焦点，，直线的方程是，假设抛物线上存在两点，关于直线对称，且设直线的方程是：，代入中，得，所以，，所以的中点为，又在直线上，，因为中，直线不存在．C不正确．对于D，直线的方程为：，代入，得由韦达定理得，．，，故D正确．故选：BD.三．填空题13．（广西2023届高三毕业班高考模拟测试数学试题）已知双曲线的左、右焦点分别是，双曲线上有两点满足，且，若四边形的周长与面积满足，则双曲线的离心率为________.【答案】【分析】由双曲线的对称性，得出题目中的图形关系，