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文档简介
期末提分练案复习9平行线的证明3常考题型专练
平行线的判定与性质的应用类型平行线的判定与性质和三角形内角和的综合1.
【学科融合】物理学光的反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在
同一个平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧，
反射角等于入射角，这就是光的反射定律.21(1)学完光的反射定律，数学兴趣小组的同学想利用这个
定律结合数学知识制作一个简易潜望镜，图①是潜望
镜工作原理示意图，
AB
，
CD
是平行放置的两面平面
镜，已知光线经过平面镜反射时，有∠2＝∠1，∠4＝
∠3，请问进入潜望镜的光线
EF
和离开潜望
镜的光线
GH
是否平行？说明理由.【问题解决】21解：(1)进入潜望镜的光线
EF
和离开潜望镜的光线
GH
是
平行的.理由如下：∵
AB
∥
CD
，∴∠2＝∠3.∵∠2＝∠1，∠4＝∠3，∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4.∴180°－∠1－∠2＝180°－∠3－∠4，即∠
EFG
＝∠
FGH
.
∴
EF
∥
GH
.
21【尝试探究】(2)如图②，改变两平面镜
AB
，
CD
之间的位置，若平面镜
AB
与
CD
的夹角∠
ABC
＝α，经过两次反射后，∠2＝
∠1，∠4＝∠3，反射光线
GH
与入射光线
EF
平行但方向
相反，求α的度数.21解：(2)∵
EF
∥
GH
，∴∠
EFG
＋∠
FGH
＝180°.∵∠1＋∠2＋∠
EFG
＋∠3＋∠4＋∠
FGH
＝180°＋
180°＝360°，∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°.∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴2(∠2＋∠3)＝180°.∴∠2＋∠3＝90°.∵∠
ABC
＋∠2＋∠3＝180°，∴∠
ABC
＝180°－∠2－∠3＝180°－90°＝90°，即α＝90°.212.
如图①，在△
ABC
中，∠
ABC
＝90°，直线
a
与边
AC
，
AB
分别交于
D
，
E
两点，直线
b
与边
BC
，
AC
分别交于
F
，
G
两点，且
a
∥
b
.(1)若∠
AED
＝44°，求∠
BFG
的度数；21解：(1)如图①，延长
AB
交直线
b
于点
Q
，∵
a
∥
b
，∴∠
AED
＝∠
BQF
＝44°，∵∠
ABC
＝90°，∴∠
QBF
＝180°－90°＝90°.∴∠
BFG
＝∠
BQF
＋∠
QBF
＝44°＋90°＝134°.212.
如图①，在△
ABC
中，∠
ABC
＝90°，直线
a
与边
AC
，
AB
分别交于
D
，
E
两点，直线
b
与边
BC
，
AC
分别交于
F
，
G
两点，且
a
∥
b
.(2)如图②，
P
为边
AB
上一点，连接
PF
，若∠
PFG
＋∠
BFG
＝180°，请你探索∠
PFG
与∠
AED
的数量关系.21解：(2)如图②，延长
AB
交直线
b
于点
Q
.
∵∠
QFB
＋∠
BFG
＝180°，∠
PFG
＋∠
BFG
＝180°，∴∠
QFB
＝∠
PFG
.
在Rt△
QFB
中，∠
QFB
＋∠
BQF
＝90°，∴∠
PFG
＋∠
BQF
＝90°.由(1)知∠
AED
＝∠
BQF
，∴∠
PFG
＋∠
AED
＝90°.21
三角形内角、外角及它们之间关系应用的八种常见题型题型1三角形内角和定理在求角度中的应用234567811.
如图，在△
ABC
中，点
D
是
BC
上一点，
F
是
BA
延长线
上一点，
DF
交
AC
于点
E
，∠
B
＝42°，∠
C
＝59°，
∠
DEC
＝47°.求∠
F
的度数.解：∵∠
B
＝42°，∠
C
＝59°，∴∠
BAC
＝180°－∠
B
－∠
C
＝79°.∴∠
FAC
＝180°－∠
BAC
＝101°.
∵∠
DEC
＝47°，∠
DEC
＝∠
AEF
，∴∠
AEF
＝47°.∴∠
F
＝180°－∠
FAC
－∠
AEF
＝32°.23456781题型2三角形内角和定理在拼图中的应用2.
一副三角尺如图所示摆放，以
AC
为一边，在△
ABC
外作
∠
CAF
＝∠
DCE
，边
AF
交
DC
的延长线于点
F
.
求∠
F
的度数.23456781解：∵∠
BCA
＝90°，∠
DCE
＝30°，∴∠
ACF
＝
180°－∠
BCA
－∠
DCE
＝180°－90°－30°＝60°.∵∠
CAF
＝∠
DCE
＝30°，∴∠
F
＝180°－∠
CAF
－∠
ACF
＝180°－30°－60°
＝90°.23456781题型3三角形内角和定理在求与平行线相关的角度中的应用3.
[2024淮北一中月考]如图，
AB
∥
CD
，∠
A
＝95°，∠
C
＝65°，∠1∶∠2＝3∶4，求∠
B
的度数.23456781解：∵
AB
∥
CD
，∠
A
＝95°，∴∠
DFE
＝∠
A
＝95°.∴∠
CFE
＝180°－∠
DFE
＝85°.又∵∠
C
＝65°，∴∠1＝180°－∠
C
－∠
CFE
＝30°.∵∠1∶∠2＝3∶4，∴∠2＝40°.∴∠
B
＝180°－∠
A
－∠2＝45°.23456781题型4三角形内角和定理在探求折叠问题中角的关系的应用4.
如图，将△
ABC
的一角折叠，使点
C
落在△
ABC
内一点
C'上.(1)若∠1＝40°，∠2＝30°，求∠
C
的度数；23456781解：(1)由折叠可知∠
C
'
DE
＝∠
CDE
，∠
C
'
ED
＝∠
CED
.
∵∠1＋∠C'DE＋∠
CDE
＝180°，∴40°＋2∠
CDE
＝180°.∴∠
CDE
＝70°.∵∠2＋∠C'ED＋∠
CED
＝180°，∴30°＋2∠
CED
＝180°.∴∠
CED
＝75°.∴∠
C
＝180°－∠
CDE
－∠
CED
＝180°－70°－75°＝35°.23456781(2)试通过第(1)问，直接写出∠1，∠2，∠
C
三者之间的
数量关系.
4.
如图，将△
ABC
的一角折叠，使点
C
落在△
ABC
内一点
C'上.23456781题型5三角形内角和定理在探求与角平分线相关的角度问题
中的应用5.
如图，
BE
，
CD
相交于点
A
，∠
DEA
，∠
BCA
的平分线
EF
和
CF
相交于点
F
.
(1)探求∠
F
与∠
B
，∠
D
有何数量关系；23456781解：(1)如图，连接
CE
.
23456781
234567815.
如图，
BE
，
CD
相交于点
A
，∠
DEA
，∠
BCA
的平分线
EF
和
CF
相交于点
F
.
(2)当∠
B
∶∠
D
∶∠
F
＝2∶4∶
x
时，求
x
的值.
23456781
23456781
23456781题型7三角形内角与外角的关系在探求与动点有关的角度问
题中的应用7.
如图，已知∠
MON
＝90°，点
A
，
B
分别在射线
OM
，
ON
上移动，∠
OAB
的平分线
AC
与△
OAB
的外角
∠
OBD
的平分线交于点
C
，试猜想：随着点
A
，
B
的移
动，∠
ACB
的大小是否变化？并说明理由.23456781解：∠
ACB
的大小不变.
23456781
23456781题型8三角形内角与外角的关系在探求角的关系中的应用8.
[教材
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