第10讲第五章平面向量及解三角形（测）（基础拿分卷）

第五章平面向量及解三角形（基础卷）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（2022·北京·高一期末）在△中，点为中点，记，，则（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】因为点为中点，，，所以.故选：C.2．（2022·北京·高一期末）已知向量，，若，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为，，所以，解得.故选：D.3．（2022·浙江·高三专题练习）定义平面向量之间的一种运算“”如下：对任意的，，令.下面说法错误的是A．若共线，则B．C．对任意的D．【答案】B【详解】若与共线，则有，故A正确；因为，而，所以有，故选项B错误；因为，，所以选项C正确；，所以选项D正确.故选B．4．（2022·全国·高一课时练习）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：由题意得：因为，所以由正弦定理得，即．故选：A．5．（2022·山东·德州市陵城区翔龙高级中学高一阶段练习）已知向量（1，1），（﹣1，1），（4，2），若，λ、μ∈R，则λ+μ＝（

）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【答案】D【详解】由，则，即，解得，故，故选：D.6．（2022·陕西·安康市教学研究室高三阶段练习（文））设向量，，满足，，与的夹角为，则（

）A． B． C．4 D．【答案】A【详解】解：因为，，与的夹角为，所以，所以，所以．故选：A．7．（2022·河南南阳·高一期末）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】为锐角三角形，故,故进而由正弦定理可得故选：A8．（2022·贵州毕节·高二期末（理））在中，，，点，在边上移动（，与，不重合），且，则的最小值是（

）A．3 B．5 C． D．【答案】C【详解】由题意可得：设，，则在中，因为，所以同理在中，可得故∵∴，当且仅当时，等号成立故选：C．二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9．（2022·全国·高一课时练习）（多选）已知向量，，和实数，则下列各式一定正确的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【详解】由向量数量积的运算律可知ABC正确.对于D，令，，则，而，，均为任意向量，所以不一定成立.故选：ABC10．（2022·河北保定·高一期末）中国象棋是中国发明的一种古老的棋类游戏，大约有两千年的历史，是中华文明非物质文化的经典产物.如图，棋盘由边长为1的正方形方格组成，已知“帅”“炮”“马”“兵”分别位于四点，“马”每步只能走“日”字，图中的“马”走动一步到达点，则的值可能为（

）A． B． C． D．【答案】ACD【详解】根据题意建立平面直角坐标系，如图所示，则A（0，2），B（3，0），C（3，2），D（2，1），“马”走一步可能到达E，F，G三点中的一点，因为E（1，1），F（2，0），G（4，0），所以=（4，1），=（5，0），=（7，0）.又=（2，3），所以·=11，·=10，·=14.故选：ACD11．（2022·甘肃兰州·高一期末）已知，为单位向量，，则在方向上的投影与在方向上的投影分别为（

）A． B． C． D．【答案】AC【详解】由得：，又，在方向上的投影为；在方向上的投影为.故选：AC.12．（2022·吉林·延边第一中学高一期中）下列命题错误的是（

）A．三角形中三边之比等于相应的三个内角之比B．在中，若，则C．在的三边三角共6个量中，知道任意三个，均可求出剩余三个D．当时，为锐角三角形；当时，为直角三角形；当时，为钝角三角形【答案】ACD【详解】对于A，等腰直角三角形的三边比为，而三个内角的比为，所以A错误，对于B，在中，当时，由正弦定理可得，因为在三角形中大边对大角，所以，所以B正确，对于C，在中，若三个角确定，则这样的三角形三边无法确定，这样的三角形有无数个，所以C错误，对于D，在中，时，由余弦定理可知角为锐角，而角的大小无法判断，所以三角形的形状无法判断，所以D错误，故选：ACD三､填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分.）13．（2022·广东·东莞市东华高级中学高一阶段练习）已知，，，则与所成的夹角大小是______.【答案】####120°【详解】因为，，，记与所成的夹角为，所以，因此.故答案为：.14．（2022·吉林·长春市实验中学高一阶段练习）已知，，若，则实数______．【答案】【详解】，,,，，解得.故答案为：15．（2022·河南开封·高二阶段练习）在中，若，则面积的最大值为___________.【答案】【详解】令，则，而，所以，由，当，即时面积的最大值为.故答案为：16．（2022·福建泉州·高一阶段练习）某校高一研究性学习小组，为了缓解该校教师停车难的问题，拟对校园内一块扇形空地AOB进行改建．如图所示，平行四边形OMPN区域为停车场，其余部分建成绿地，点P在围墙AB弧上，点M和点N分别在道路OA和道路OB上，且OA＝60米，∠AOB＝60°，设∠POB＝θ，则当θ为______时，该校停车场最大面积为______平方米．【答案】

＃＃30°

【详解】由平行四边形OMPN得，在△OPN中，，则，即∴∴停车场面积为其中，则当，即时，故答案为：；．四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）17．（2022·辽宁·沈阳市第一二〇中学高一期末）已知向量，，．(1)若点A，B，C三点共线，求实数x，y满足的关系；(2)若x=1且为钝角，求实数y的取值范围．【答案】(1)；(2)且.(1)因为A，B，C三点共线，即，，，所以，即；(2)因为为钝角，所以且，不共线，由（1）得：当，且时，，因为，不共线，所以，，，，解得：，所以且.18．（2022·吉林·辽源市田家炳高级中学校高一期末）已知平面向量，，(1)若，求实数x的值；(2)若，求实数x的值．【答案】(1)(2)(1)解：因为，且，所以，解得；(2)解：因为，所以，又且，所以，解得．19．（2022·云南大理·模拟预测）从下面①②中选取一个作为条件，填在横线上，并解答问题．①；②的面积为．在中，内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，满足__________．(1)求角A的大小；(2)若点D在，且，求．【答案】(1)(2)（1）选择①，由得，即，因为，所以．选择②，由得，即，因为，所以．（2）解法1：设，在中，由正弦定理得，所以，在中，由正弦定理得，所以，所以，即，即，所以，即．解法2：过点C作垂直交的延长线于点E，如图3．∵，∴，又∵与相似，∴，又在中，，∴，∴，∴，∴，∴，从而得．20．（2022·河北邯郸·高三开学考试）在①；②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中并作答.在中，内角所对的边分别是，___________.(1)求角；(2)若，求的面积.【答案】(1)(2)（1）选择①：因为，由余弦定理可得，所以结合正弦定理可得.因为，则，所以，即，因为，所以；选择②：因为，由正弦定理得，由余弦定理得.因为，所以；（2）由（1）知，又已知，由余弦定理得，，即，所以，所以的面积为.21．（2022·上海市复兴高级中学高三开学考试）如图，矩形是一个历史文物展览厅的俯视图，点在边上，在梯形内展示文物，游客只能在区域内参观，在上点处安装可旋转的监控摄像头，为监控角，其中在线段上(含端点)，经测量知：米，米，，记(弧度)，监控可视区的面积为S．(1)求线段的长度关于的函数关系式，并写出的取值范围；（参考数据(2)求S与的函数关系式，并求S的最小值．【答案】(1)，，；(2)，最小值为.（1）由题意得：，，，则，在中，由正弦定理可得：，即，所以；因为，，所以，，在中，由正弦定理可知：，即，解得：，当点与点重合时，取得最小值，最小值为0，当点与点重合时，取得最大值，如图，，所以，此时，所以.（2）由面积公式可得：，因为，所以，则当时，取得最大值，最大值为，此时取得最小值，最小值为.22．（2022·上海交大附中高二阶段练习）设函数（，