专题03平面向量及其应用（难点）

专题03平面向量及其应用（难点）一、单选题1．（2022·浙江·高三专题练习）已知菱形ABCD的边长为2，设，若恒成立，则向量在方向上投影的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先由恒成立解得向量与的夹角的取值范围，再去求向量在方向上投影的取值范围即可.【解析】设向量与的夹角为由，可得，即，即关于恒成立则，即故向量在方向上投影故选：A2．（2021·浙江·高三专题练习）如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练，已知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面上的射线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点的仰角的大小，若，则的最大值是（

）.（仰角为直线与平面所成的角）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题可得，，过作，交于，连接，则，设，分类讨论，若在线段上，则，可求出和，从而可得出，利用函数的单调性，可得出时，取得最大值；若在的延长线上，同理求出和，可得出，可得当时，函数取得最大值；结合两种情况的结果，即可得出结论．【解析】解：，，由勾股定理知，，过点作交于，连结，则，设，若在线段上，则，由，得，在直角中，，，令，则函数在，单调递减，时，取得最大值为；若在的延长线上，，在直角中，，，令，则可得时，函数取得最大值.故答案为：．3．（2021·浙江·高一期末）在中，设，那么动点的轨迹必通过的（

）A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心【答案】C【分析】设的中点是，根据题意化简可得，即可确定的轨迹.【解析】设的中点是，，即，所以，所以动点在线段的中垂线上，故动点的轨迹必通过的外心，故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查向量的运算法则，熟练掌握向量的运算法则，数量积与垂直的关系，三角形的外心定义是解题的关键，属于较难题.4．（2020·浙江·温州中学高三阶段练习）如图，在等腰梯形中，，，，点，分别为，的中点.如果对于常数，在等腰梯形的四条边上，有且只有8个不同的点使得成立，那么的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】建立坐标系，设的坐标，根据得到关于的方程，根据的位置分四种情况讨论方程解得情况．【解析】解：以所在直线为轴，的中垂线为轴建立平面直角坐标系，则梯形的高为，，，，，，．（1）当在上时，设，，则，．于是，当时，方程有一解，当时，有两解；（2）当在上时，设，，则，．于是，当时，方程有一解，当时，有两解；（3）当在上时，直线方程为，设，，则，．于是．当或时，方程有一解，当时，方程有两解；（4）当在上时，直线的方程为，设，，则，．于是．当或时，方程有一解，当时，方程有两解；综上，若使梯形上有8个不同的点满足成立，则的取值范围是，，，，，．故选：．5．（2021·浙江温州·高一期末）已知平面向量，，（与不共线），满足，，设，则的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】设，由已知条件判断出，即是等腰直角三角形，以为坐标原点，所在的边为轴的正半轴建立平面直角坐标系，则，，得，再由得，设，求出范围可得答案【解析】设，则，，所以，即是等腰直角三角形，以为坐标原点，所在的边为轴的正半轴建立平面直角坐标系，如图，则，，因为，所以，因为，所以，所以，，两式相加得，所以，因为，所以设，所以，因为不共线，所以不共线，所以，所以，，，所以，故选：A.6．（2022·浙江·高三专题练习）半径为1的扇形AOB中，∠AOB=120°，C为弧上的动点，已知，记，则（

）A．若m+n=3，则M的最小值为3B．若m+n=3，则有唯一C点使M取最小值C．若m·n=3，则M的最小值为3D．若m·n=3，则有唯一C点使M取最小值【答案】A【分析】设，以为原点，以、与所在直线垂直的直线分别为轴、轴建立平面直角坐标系，把转化为关于的表达式，可解决此题．【解析】：设，如图：以为原点，以、与所在直线垂直的直线分别为轴、轴建立平面直角坐标系，则，，，，，，．①若，取，，则，，，，，,，此时，、两点重合，所以正确；取，，则，当时取最小值，此时、两点重合，所以点不唯一，故B错误；②若，取，则，当时，，故C错误；取，时，则，当时，取最小值，点不唯一，故D错误.故选：A．【点睛】本题考查平面向量的线性运算的意义和模的意义，涉及与圆有关的最值问题，关键是题目中的参数较多，故而应当想到直接解决困难较大，应用特值排除的方法解决较为方便，这是在解决一些选择题是常常需要用到的思想方法.7．（2022·浙江·高三专题练习）已知在中，，，动点位于线段上，当取得最小值时，向量与的夹角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】C由已知得，再由向量数量积的定义表示，根据二次函数的性质求得其最值，再由向量夹角公式可得选项.【解析】因为在中，，，所以，所以，当且仅当时取等号，因此在中，所以向量与的夹角的余弦值为，故选：C.【点睛】关键点点睛：根据已知向量建立关于向量的模的二次函数，利用二次函数确定取得最值时，的值.8．（2020·浙江衢州·高一期末）已知的面积为，，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】将原式分离常数，然后利用正弦定理进行边角互化，化简为对勾函数，利用不等式求最值即可.【解析】解：，又，==，当且仅当时，等号成立.故选：B.【点睛】本题考查利用正弦定理边角互化，考查利用基本不等式求最值，考查学生的计算能力和转化能力，属于中档题.9．（2019·浙江浙江·二模）已知，，是平面内三个单位向量，若，则的最小值（

）A． B． C． D．5【答案】A由于，且为单位向量，所以可令，，再设出单位向量的坐标，再将坐标代入中，利用两点间的距离的几何意义可求出结果．【解析】解：设，，，则，从而，等号可取到．故选：A【点睛】此题考查的是平面向量的坐标、模的运算，利用整体代换，再结合距离公式求解，属于难题．10．（2019·浙江·高一期中）已知平面向量满足，，且的最小值，则的最小值为（

）A． B．1 C．2 D．1或2【答案】B【分析】设，，则，由的最小值为，得，且，解得或，然后分2种情况考虑的最小值，即可得到本题答案.【解析】设，，则因为的最小值，所以的最小值为，则，且，解得或，当，即时，，所以的最小值为2；当，即时，，所以的最小值为1，综上，的最小值为1.故选：B【点睛】本题主要考查向量的模的计算与二次函数值域的综合问题，考查学生的推理分析能力和计算能力.11．（2018·浙江·效实中学高三期中）已知，，，(m，).存在，，对于任意实数m，n，不等式恒成立，则实数T的取值范围为A． B． C． D．【答案】A不等式恒成立，即求最小值，利用三角不等式放缩，转化即求最小值，再转化为等边三角形的边的中点和一条直线上动点的距离最小值.当运动到时且反向时，取得最小值得解.【解析】，,易得设，中点为，中点为则在单位圆上运动，且三角形是等边三角形,，所在直线方程为因为恒成立，,(当且仅当与共线同向，即与共线反向时等号成立)即求最小值.三角形是等边三角形，在单位圆上运动，是中点，的轨迹是以原点为圆心，半径为的一个圆.又在直线方程为上运动，当运动到时且反向时，取得最小值此时到直线的距离故选：A【点睛】本题考查平面向量与几何综合问题解决向量三角不等式恒成立.平面向量与几何综合问题的求解坐标法：把问题转化为几何图形的研究，再把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．12．（2020·浙江绍兴·模拟预测）设正数，，满足，，，是以为圆心的单位圆上的个点，且.若是圆所在平面上任意一点，则的最小值是A．2 B．3 C． D．【答案】B【分析】根据数量积及建立不等式，即可求出最小值.【解析】是以为圆心的单位圆上的个点,,故而，，，故，当且仅当点与点重合时等号成立，即的最小值是,故选：B【点睛】本题主要考查了数量积的性质，考查了分析推理能力，入手困难，属于难题.二、多选题13．（2021·浙江湖州·高一期末）如图，△，△，△是全等的等腰直角三角形（，处为直角顶点），且，，，四点共线.若点，，分别是边，，上的动点（包含端点），记，，，则（

）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】构建平面直角坐标系，写出、、、、、的坐标，由，，分别是边，，上可得且、且、且，再应用向量数量积的坐标表示求、、即可.【解析】构建下图示的平面直角坐标系，∴，，，，，，∴，，由在，若且，由在，若且，由在，若且，∴，，，∴，，，故A错误，B、C、D正确.故选：BCD【点睛】关键点点睛：构建平面直角坐标系，并确定、、、、、、、、的坐标，再由向量数量积的坐标表示求、、.14．（2021·浙江·高一期末）下列说法正确的是（

）A．若非零向量，且，则为等边三角形B．已知，且四边形为平行四边形，则C．已知正三角形的边长为，圆O是该三角形的内切圆，P是圆O上的任意一点，则的最大值为1D．已知向量，则与夹角的范围是【答案】AC【分析】利用单位向量以及向量数量积的定义可判断A；利用向量的加法运算可判断B；利用向量的加、减运算可判断C；由题意可得点在以为圆心，为半径的圆上，由向量夹角定义可判断D.【解析】A，因为非零向量，所以的平分线与垂直，为等腰三角形，又，所以，所以为等边三角形，故A正确；B，,，在平行四边形中，有，所以原式，故B错误；C，设正三角形内切圆半径，由面积相等可得，解得，令的中点为，从而,则，,两式平方作差可得,即，若要使最大，只需最大由于为的中点，也为圆与的切点，所以的最大值为，所以，故C正确；D，设，，所以，，所以，即在以为圆心，为半径的圆上，如图：，所以，当与圆在下方相切时，与夹角最小，此时为，当与圆在上方相切时，与夹角最大，此时为，所以与夹角的范围是，故D错误.故选：AC【点睛】关键点点睛：本题考查了向量的数量积定义、向量的加减法以及向量的夹角，解题的关键是是将向量问题转化为平面几何问题，利用圆的性质求解，考查了转化思想、数学运算、数学建模，此题是向量的综合题目.15．（2021·江苏省天一中学高二阶段练习）设，为单位向量，满足，，，则，的夹角为，则的可能取值为（

）A． B． C． D．1【答案】CD【分析】设单位向量，的夹角为，根据已知条件，求出，然后利用夹角公式可将表示成关于的函数，利用不等式的性质求出其值域即可.【解析】设单位向量，的夹角为，由，两边平方得，解得，又，，，同理且，令，则，，所以，即的取值范围为故选：CD【点睛】关键点点睛：本题考查向量的数量积的性质，运算及夹角公式，及利用不等式的性质求函数的最值，解题的关键是将表示成关于的函数，再利用不等式的性质求值域，对运算要求很高，属于难题.16．（2021·江苏省江阴市第一中学高一阶段练习）点是平面上一定点，，，是平面上的三个顶点，，分别是边，的对角.以下几个命题正确的是（

）A．动点满足，则的重心一定在满足条件的点集合中；B．动点满足，则的内心一定在满足条件的点集合中；C．动点满足，则的垂心一定在满足条件的点集合中；D．动点满足，则的外心一定在满足条件的点集合中.【答案】ABC【分析】根据三角形的重心、内心、垂心、外心的相关性质及向量的几何意义对各选项逐一分析判断即得.【解析】对于A，过点A作AD⊥BC于D，则有，于是得时，，而的BC边上中线向量为，即与BC边上中线向量为共线，则的重心一定在满足条件的点集合中，A正确；对于B，是两个单位向量的和，与的平分线所在向量共线，，即与的平分线所在向量共线，则的内心一定在满足条件的点集合中，B正确；对于C，，，即，则的垂心一定在满足条件的点集合中，C正确；对于D，取边BC的中点E，连PE，，于是得P是的重心，D不正确.故选：ABC三、填空题17．（2022·浙江·高三开学考试）已知非零平面向量，夹角为，且，若，则的最小值为_______________．【答案】【分析】利用向量线性运算的几何意义可求诸模之和的最小值.【解析】如图，设，，，，则，且，要求的最小值即求的最小值.作出关于的对称点，再作出关于的对称点，连接，设与射线交于，连接，与射线交于，则，且，设，则，而，故，所以.则，当且仅当重合，重合时等号成立，故答案为：.【点睛】思路点睛：向量的模的最值问题，如果代数转化比较困难，则可以考虑向量背后的几何意义，从而把最值问题转化为对称问题来处理.18．（2022·浙江嘉兴·高三期末）已知非零平面向量，，满足，且，若与的夹角为，且，则的模取值范围是___________.【答案】【分析】以向量几何意义去解题，数形结合的方法可以简化解题过程.【解析】如图1，令，，，则，取AB中点M.由，可得，，所以，即C在以M为圆心、为半径的圆上.由，当O、M、C三点共线时（M在线段OC上），.由于O在以AB为弦的圆弧上，设圆心为G，由正弦定理可知，即，当时，圆G半径取得最大值.当O、M、G三点共线（G在线段OM上），且时，取得最大值，此时，所以.如图2，显然当O、M、C三点共线（点C在线段OM上），当时，圆G半径取得最小值.，即M、G两点重合.取得最小值为2.则时，.故向量的模取值范围是故答案为：19．（2020·浙江·温州中学高三阶段练习）已知平面向量满足，则的最小值是________．【答案】由已知得，且，然后由，两边分别点乘，，把用向量的数量积表示出来．条件变形为，代入，用图形表示出向量，这样利用向量和数量积的结论得出直线与直线间的位置关系，把用线段长表示后，可用基本不等式得最小值．【解析】∵，∴，且，则，同理，由，，又，于是，如图，设，则，若，则，则共圆，，等号在时取到．【点睛】本题考查平面向量的数量积，解题关键是用数量积表示出参数，用几何图形表示出向量，结合几何图形可用线段的长表示求值式．20．（2021·浙江·高三竞赛）在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，，则点集所表示的区域面积为______.【答案】【分析】利用平面向量的加法的几何意义，分，0，分别研究区域面积，然后求和即得.【解析】由已知得，，当时，由得，所以，设，由，可得，又∵，∴，∴，且，∴P所在的区域为三角形ABC及其内部，面积为；当时，由得，所以，设，由，可得，又∵，∴，∴，且，∴P所在的区域为如图所示的阴影部分（其中是关于原点的对称点），面积为；综上所述，P点所在的区域的面积为.故答案为：.21．（2020·浙江·台州市书生中学高二开学考试）若向量满足，，且，则的最小值是____________.【答案】2设，由条件可知，画出图形，由向量加减法及性质可得，利用两边之和不小于第三边求解.【解析】设,因为，所以,即,所以,取中点,如图，所以，当且仅当三点共线时取等号.故答案为：2【点睛】本题主要考查了向量的加减法运算，向量加法的几何意义，考查了数形结合思想，属于难题.22．（2020·浙江金华·模拟预测）已知单位向量，，满足，则的最小值为________.【答案】【分析】根据已知条件可得向量，的夹角，然后利用向量，是单位向量，设出向量，的坐标，.然后利用三角不等式可消去，转化为，再利用坐标表示模，可得最小值.【解析】，设向量，的夹角为，又向量，是单位向量，，如图，设，当且仅当即时“”成立.故答案为:【点睛】本题主要考查了向量模最值的求解，涉及了向量和向量模的坐标表示，三角不等式等，属于难题.四、解答题23．（2020·浙江温州·高一期末）中，为的中点，为外心，点满足.（1）证明：；（2）若，设与相交于点，关于点对称，且，求的取值范围.【答案】（1）见解析（2）（1）根据平面向量的加法与减法运算,化简即可求解.（2）根据题意,可得.而为的中点,与重合,为的重心,建立平面直角坐标系,设,,写出各个点的坐标,表示出与,即可根据平面向量数量积的定义用三角函数式表示出来.利用辅助角公式,即可求得的取值范围.【解析】（1）证明:为的中点,为外心,点满足根据平面向量的减法运算可得而则代入可得即（2）由,两边同时平方,展开化简可得所以.此时为的中点,与重合,为的重心,如图建立平面直角坐标系,设,则,且设,则,则有,,且.设∴.由正弦函数的性质可知,即【点睛】本题考查了平面向量的线性运算,利用坐标研究平面向量的数量积形式,三角函数式的化简,利用辅助角公式求三角函数的最值,属于中档题.24．（2020·全国·高三专题练习）已知为的内角的对边，满足，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减.证明：；（2）若，证明为等边三角形．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】试题分析：（1）通过已知表达式，去分母化简，利用两角和与差的三角函数，化简表达式通过正弦定理直接推出（2）利用函数的周期求出，通过求出的值，利用余弦定理说明三角形是正三角形，即可．试题解析：,,所以（2）由题意知：由题意知：，解得：，

因为,,所以

由余弦定理知：,所以因为，所以，即：所以,又，所以为等边三角形.25．（2021·浙江省杭州第二中学高一期中）杭州市为迎接2022年亚运会，规划修建公路自行车比赛赛道，该赛道的平面示意图为如图的五边形ABCDE，运动员的公路自行车比赛中如出现故障，可以从本队的器材车、公共器材车上或收容车上获得帮助．比赛期间，修理或更换车轮或赛车等，也可在固定修车点上进行．还需要运送一些补给物品，例如食物、饮料，工具和配件．所以项目设计需要预留出BD，BE为赛道内的两条服务通道（不考虑宽度），ED，DC，CB，BA，AE为赛道，．（1）从以下两个条件中任选一个条件，求服务通道BE的长度；①；②（2）在（1）条件下，应该如何设计，才能使折线段赛道BAE最长（即最大），最长值为多少？【答案】（1）答案见解析；（2）．【分析】(1)在中，利用正弦定理，可求得BD=6.选①：先由三角形的内角和可得∠BDC=，从而知为直角三角形，然后由勾股定理，得解;选②：在中，由余弦定理可得关于BE的方程，解之即可.(2)在中，结合余弦定理和基本不等式，即可得解.【解析】（1）在中，由正弦定理知，，解得，选①：，，，在中，；若选②，在中，由余弦定理知，，化简得，解得或（舍负），故服务通道BE的长度；（2）在中，由余弦定理知，，，，即，当且仅当时，等号成立，此时，的最大值为．【点睛】关键点睛：本题主要考查解三角形的实际应用，还涉及利用基本不等式解决最值问题，熟练掌握正弦定理、余弦定理是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.26．（2021·云南省玉溪第一中学高二期中（文））为响应国家“乡村振兴”号召，农民老王拟将自家一块直角三角形地按如图规划成3个功能区：区域为荔枝林和放养走地鸡，区域规划为“民宿”供游客住宿及餐饮，区域规划为小型鱼塘养鱼供休闲垂钓．为安全起见，在鱼塘周围筑起护栏．已知，，，．(1)若，求护栏的长度（的周长）；(2)若鱼塘的面积是“民宿”的面积的倍，求；(3)当为何值时，鱼塘的面积最小，最小面积是多少？【答案】(1)(2)(3)时，的面积取最小值为【分析】（1）先根据题干条件得到，，利用余弦定理求出，用勾股定理逆定理得到，进而求出CN，MN，求出护栏的长度；（2）设，利用和的面积关系和正弦定理得到CN的两种表达，列出方程，求出；（3）结合第二问的求解，利用正弦定理和面积公式得到面积关于的关系式，求出最小值.(1)∵，，，∴，∴，∴，∴，在中，由余弦定理可得：，则，∴，∴，∵，∴，∴，∴护栏的长度（的周长）为；(2)设（），因为鱼塘的面积是“民宿”的面积的倍，所以，即，，中，由三角形外角定理可得，在中，由，得，从而，即，由，得，所以，即；(3)设（），由（2）知，，中，由外角定理可得，又在中，由，得，所以，所以当且仅当，即时，的面积取最小值为.27．（2022·江苏省郑梁梅高级中学高一阶段练习）如图所示，是的一条中线，点满足，过点的直线分别与射线，射线交于，两点.(1)求证：；(2)设，，，，求的值；(3)如果是边长为的等边三角形，求的取值范围.【答案】(1)见详解(2)3(3)【分析】（1）根据题意，结合向量加减法运算，即可证明；（2）根据题意，用和表示，结合，，三点共线，即可求解；（3）根据题意，结合（1）（2）用和分别表示出和，进而可以表示出，再结合均值不等式与二次函数的最值，即可求解.(1)证明：因，所以，又因为的中点，所以，所以.(2)因，，，，所以，，又因，所以，又因，，三点共线，所以，即.(3)设，，，，由（1）（2）可知，，即.因，，所以，又因是边长为的等边三角形，所以，令，因，即，当且仅当时，等号成立，所以.因此，又因，所以，所以.28．（2022·全国·高三专题练习）随着生活水平的不断提高，人们更加关注健康，重视锻炼，“日行一万步，健康一辈子”.通过“小步道”，走出“大健康”，健康步道成为引领健康生活的一道亮丽风景线.如图，为某市的一条健康步道，，为线段，是以为直径的半圆，，，.（1）求的长度；（2）为满足市民健康生活需要，提升城市品位，改善人居环境，现计划新增健康步道（，在两侧），，为线段.若，到健康步道的最短距离为，求到直线距离的取值范围.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用余弦定理求出半径，利用圆的周长公式可得结果；（2）先求出点的大致轨迹，再结合正弦定理、圆的几何性质求最点到直线距离的最值即可求解．【解析】（1）在中，由余弦定理可得，，．（2）的轨迹为外接圆的一部分，设外接圆的半径为，由正弦定理，且满足，由（1）得：，所以为直角，过作于，设所求距离为，①当通过圆心时，达到最大，由几何关系得，四边形为矩形，所以，此时满足，②当无限接近时，此时，综上：所求到直线距离的取值范围为．【点睛】本题考查利用正、余弦定理解三角形，动点到定直线距离的最值问题，同时对学生推理分析，数形结合，运算求解的能力有一定的要求，属于中档题．29．（2021·上海·高一专题练习）在中，满足：，M是的中点.（1）若，求向量与向量的夹角的余弦值；（2）若O是线段上任意一点，且，求的最小值：（3）若点P是内一点，且，，，求的最小值.【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）利用向量的数量积公式得到，利用向量的数量积公式展开，求出向量与向量的夹角的余弦值；（2）通过解三角形求出的长，设，则，利用向量的平行四边形法则得到而，利用向量的数量积公式将表示成关于的二次函数，通过求二次函数的最值求出最小值；（3）设，将已知条件利用向量的数量积公式表示成关于的三角函数，将平方转化为关于的三角函数，然后利用基本不等式求出其最小值．【解析】解：（1）设向量，与向量的夹角为，令，.（2），，设，则，而，，当且仅当时，的最小值是.（3）设，，，，，同理：，当且仅当时，所以.【点睛】本题考查向量的夹角和最值问题，利用了向量的数量积公式和两向量的夹角公式，还运用二次函数和基本不等式求最值，是一道综合题．30．（2022·全国·高三专题练习）如图：某公园改建一个三角形池塘，，百米，百米，现准备养一批观赏鱼供游客观赏.(1)若在内部取一点，建造连廊供游客观赏，如图①，使得点是等腰三角形的顶点，且，求连廊