专题02空间向量在立体几何中的应用（重难点突破）原卷版

专题02空间向量在立体几何中的应用知识结构思维导图学法指导与考点梳理知识点一：直线的方向向量和平面的法向量1.直线的方向向量：点A是直线l上的一个点，是直线l的方向向量，在直线l上取，取定空间中的任意一点O，则点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使或，这就是空间直线的向量表达式.知识点诠释：（1）在直线上取有向线段表示的向量，或在与它平行的直线上取有向线段表示的向量，均为直线的方向向量．（2）在解具体立体几何题时，直线的方向向量一般不再叙述而直接应用，可以参与向量运算或向量的坐标运算．2.平面的法向量定义：直线l⊥α，取直线l的方向向量，我们称向量为平面α的法向量．给定一个点A和一个向量，那么过点A，且以向量为法向量的平面完全确定，可以表示为集合.知识点诠释：一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可适当取平面的一个法向量．已知一平面内两条相交直线的方向向量，可求出该平面的一个法向量．3.平面的法向量确定通常有两种方法：（1）几何体中有具体的直线与平面垂直，只需证明线面垂直，取该垂线的方向向量即得平面的法向量；（2）几何体中没有具体的直线，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下：（i）设出平面的法向量为；（ii）找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标，；（iii）根据法向量的定义建立关于x、y、z的方程；（iv）解方程组，取其中的一个解，即得法向量．由于一个平面的法向量有无数个，故可在代入方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量．知识点二：用向量方法判定空间中的平行关系空间中的平行关系主要是指：线线平行、线面平行、面面平行．（1）线线平行设直线的方向向量分别是，则要证明，只需证明，即．（2）线面平行线面平行的判定方法一般有三种：①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明，即．②根据线面平行的判定定理：要证明一条直线和一个平面平行，可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量．③根据共面向量定理可知，要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可．（3）面面平行①由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可．②若能求出平面，的法向量，则要证明，只需证明．知识点三、用向量方法判定空间的垂直关系空间中的垂直关系主要是指：线线垂直、线面垂直、面面垂直．（1）线线垂直设直线的方向向量分别为，则要证明，只需证明，即．（2）线面垂直①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明．②根据线面垂直的判定定理转化为直线与平面内的两条相交直线垂直．（3）面面垂直①根据面面垂直的判定定理转化为证相应的线面垂直、线线垂直．②证明两个平面的法向量互相垂直．知识点四、用向量方法求空间角（1）求异面直线所成的角已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为，则．知识点诠释：两异面直线所成的角的范围为．两异面直线所成的角可以通过这两直线的方向向量的夹角来求得，但二者不完全相等，当两方向向量的夹角是钝角时，应取其补角作为两异面直线所成的角．（2）求直线和平面所成的角设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有．（3）求二面角如图，若于于，平面交于，则为二面角的平面角，.若分别为面的法向量，则二面角的平面角或，即二面角等于它的两个面的法向量的夹角或夹角的补角．①当法向量与的方向分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角的大小等于的夹角的大小．②当法向量的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角的大小等于的夹角的补角的大小．知识点五、用向量方法求空间距离1.求点面距的一般步骤：①求出该平面的一个法向量；②找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量；③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离．即：点A到平面的距离，其中，是平面的法向量．2.线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解．直线与平面之间的距离：，其中，是平面的法向量．两平行平面之间的距离：，其中，是平面的法向量．3.点线距设直线l的单位方向向量为，，，设，则点P到直线l的距离.重难点题型突破重难点题型1空间向量的基本运算例1（1）、（2022·江苏徐州·高二期末）已知直线过点，且方向向量为，则点到的距离为（

）A． B． C． D．（2）、（2022·江苏·盐城市伍佑中学高二阶段练习）若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（

）A． B． C． D．或【变式训练11】、（2020·广东顺德德胜学校高二期中）设向量分别是平面的法向量，向量，若平行，则实数___________【变式训练12】、（2022·全国·高二单元测试）一个正方体的平面展开图如图所示.在该正方体中，以下命题正确的是___________.（填序号）①；②平面；③与是异面直线且夹角为；④与平面所成的角为；⑤二面角的大小为.重难点题型2利用空间向量研究平行问题例2（1）、（2022·广东·鹤山市鹤华中学高三开学考试）已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则=_________．（2）、（2022·云南省下关第一中学高二阶段练习）（多选题）如图，在正方体中，M，N，P分别是的中点，则下列说法正确的有（

）A． B．平面C．与是异面直线 D．三棱锥与正方体的体积比为【变式训练21】、（2022·全国·高二课时练习）若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则可能使的是（

）A．， B．，C．， D．，

【变式训练22】、（2022·全国·高二专题练习）如图，在长方体体中，分别是棱的中点，以下说法正确的是（

）A．平面B．平面C．D．重难点题型3利用空间向量研究垂直问题例3（1）、（2021·陕西·延安市第一中学高一阶段练习）如图，在正方体中，O是底面正方形ABCD的中心，M是的中点，N是上的动点，则直线NO､AM的位置关系是（

）A．平行 B．相交 C．异面垂直 D．异面不垂直（2）、（2022·全国·高二课时练习）已知平面α和平面β的法向量分别为，，且α⊥β，则x=________.【变式训练31】、（2021·浙江·高二期中）已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则等于（

）A．1 B．1 C．2 D．2【变式训练32】、（2022·吉林·东北师大附中高二阶段练习）如图所示，在矩形中，平面，若在上只有一个点Q满足，则a的值等于__________．重难点题型4线线角与距离问题例4（1）、（2022·湖南·高三开学考试）两条异面直线所成的角为，在直线上分别取点和点，使，且.已知则线段的长为（

）A．8 B． C． D．（2）、（2022·安徽·高三开学考试）在棱长均等的正三棱柱中，直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．【变式训练41】、（2022·全国·高二单元测试）正方体的棱长为，点在上，且，为的中点，则的长为__．【变式训练42】、（2022·浙江·慈溪中学高三开学考试）已知正四棱柱，，，则直线与平面所成角的正弦值为___________.重难点题型5线面角例5、（2022·江苏·宝应县教育局教研室高三开学考试）如图，在四棱锥中，是边长为2的正三角形，，，，，，，分别是线段，的中点.(1)求证：平面平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值.

【变式训练51】、（2022·吉林·东北师大附中高二阶段练习）如图，已知圆柱，过轴的截面图形为正方形，点在底面圆周上，且，为的中点.(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的余弦值.【变式训练52】、（2022·广东深圳·高三阶段练习）在三棱柱中，侧面侧面，且.(1)证明：；(2)若，求平面与平面夹角的余弦值.

重难点题型6二面角例6、（2022·河南省上蔡第一高级中学高三阶段练习（文））如图，在三棱锥中，底面分别为的中点，点都在棱上，，且满足平面.(1)求的长；(2)求平面与平面夹角的余弦值.

【变式训练61】、（2022·云南省下关第一中学高三开学考试）如图，已知AB为圆锥SO底面的直径，点C在圆锥底面的圆周上，，，BE平分，D是SC上一点，且平面平面SAB．(1)求证：；(2)求平面EBD与平面BDC所成角的余弦值．【变式训练62】、（2022·河南安阳·高三开学考试（理））在多面体中，平面平面ABCD，EDCF是面积为的矩形，，，.(1)证明：.(2)求平面EDCF与平面EAB夹角的余弦值.课堂定时训练（45分钟）1．（2022·全国·高二课时练习）已知向量，分别为直线方向向量和平面的法向量，若，则实数的值为（

）A． B． C．1 D．22．（2022·全国·高二课时练习）如图所示，在正方体中，是底面正方形的中心，是的中点，是的中点，则直线，的位置关系是（

）A．平行 B．相交 C．异面垂直 D．异面不垂直3．（2022·全国·高二课时练习）如图，下列正方体中，O为下底面的中心，M，N为正方体的顶点，P为所在棱的中点，则满足直线的是（

）A． B．C． D．4．（2022·江苏·涟水县第一中学高三期中）（多选题）如图所示，若长方体的底面是边长为2的正方形，高为是的中点，则下列说法不正确的是（

）A．B．平面平面C．三棱锥的体积为D．三棱锥的外接球的表面积为5．（2022·全国·高二课时练习）（多选题）如图，在三棱锥中，，，则（

）A．B．C．若点P是棱BC上任一点，则为定值D．三棱锥的体积是6．（2022·四川·阆中中学高二期中（理））已知平面的法向量分别为，，若，则的值为___．7．（2021·安徽·合肥一中高二期中）如图，在菱形中，，