第04讲空间向量及其运算（原卷版）

第04讲空间向量及其运算【题型归纳目录】题型一：空间向量的有关概念及线性运算题型二：共线向量定理的应用题型三：共面向量及应用题型四：空间向量的数量积题型五：利用空间向量的数量积求两向量的夹角题型六：利用空间向量的数量积求线段的长度题型七：利用空间向量的数量积证垂直【知识点梳理】知识点一：空间向量的有关概念1、空间向量(1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量．(2)长度或模：空间向量的大小．(3)表示方法：①几何表示法：空间向量用有向线段表示；②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作：eq\o(AB,\s\up8(→))，其模记为|a|或|eq\o(AB,\s\up8(→))|.知识点诠释：（1）空间中点的一个平移就是一个向量；（2）数学中讨论的向量与向量的起点无关，只与大小和方向有关，只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移，故我们称之为自由向量。2、几类常见的空间向量名称方向模记法零向量任意00单位向量任意1相反向量相反相等a的相反向量：－aeq\o(AB,\s\up8(→))的相反向量：eq\o(BA,\s\up8(→))相等向量相同相等a＝b知识点二：空间向量的线性运算(1)向量的加法、减法空间向量的运算加法eq\o(OB,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OC,\s\up8(→))＝a＋b减法eq\o(CA,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))－eq\o(OC,\s\up8(→))＝a－b加法运算律①交换律：a＋b＝b＋a②结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)(2)空间向量的数乘运算①定义：实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算．当λ>0时，λa与向量a方向相同；当λ<0时，λa与向量a方向相反；当λ＝0时，λa＝0；λa的长度是a的长度的|λ|倍．②运算律结合律：λ(μa)＝μ(λa)＝(λμ)a.分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.知识点诠释：（1）空间向量的运算是平面向量运算的延展，空间向量的加法运算仍然满足平行四边形法则和三角形法则．而且满足交换律、结合律，这样就可以自由结合运算，可以将向量合并；（2）向量的减法运算是向量加法运算的逆运算，满足三角形法则．（3）空间向量加法的运算的小技巧：①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，即：因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量；②首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量，即：；知识点三：共线问题共线向量(1)定义：表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．(2)方向向量：在直线l上取非零向量a，与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量．规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0∥a.(3)共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ使a＝λb.(4)如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得eq\o(OP,\s\up8(→))＝λa.知识点诠释：此定理可分解为以下两个命题：（1）存在唯一实数，使得；（2）存在唯一实数，使得，则．注意：不可丢掉，否则实数就不唯一．（3）共线向量定理的用途：①判定两条直线平行；（进而证线面平行）②证明三点共线。注意：证明平行时，先从两直线上取有向线段表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，这是证明平行问题的一种重要方法。证明三点共线问题，通常不用图形，直接利用向量的线性运算即可，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点。知识点四：向量共面问题共面向量(1)定义：平行于同一个平面的向量叫做共面向量．(2)共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.(3)空间一点P位于平面ABC内的充要条件：存在有序实数对(x，y),使eq\o(AP,\s\up8(→))＝xeq\o(AB,\s\up8(→))＋yeq\o(AC,\s\up8(→))或对空间任意一点O，有eq\o(OP,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋xeq\o(AB,\s\up8(→))＋yeq\o(AC,\s\up8(→)).（4）共面向量定理的用途：①证明四点共面②线面平行（进而证面面平行）。知识点五：空间向量数量积的运算空间向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．规定：零向量与任何向量的数量积为0.(2)常用结论(a，b为非零向量)①a⊥b⇔a·b＝0.②a·a＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2.③cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|).(3)数量积的运算律数乘向量与数量积的结合律(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)交换律a·b＝b·a分配律a·(b＋c)＝a·b＋a·c知识点诠释：（1）由于空间任意两个向量都可以转化为共面向量，所以空间两个向量的夹角的定义和取值范围、两个向量垂直的定义和表示符号及向量的模的概念和表示符号等，都与平面向量相同．（2）两向量的数量积，其结果是数而非向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦值决定．（3）两个向量的数量积是两向量的点乘，与以前学过的向量之间的乘法是有区别的，在书写时一定要将它们区别开来，不可混淆．知识点六：利用数量积证明空间垂直关系当a⊥b时，a·b＝0.知识点七：夹角问题1、定义：已知两个非零向量、，在空间任取一点D，作，则∠AOB叫做向量与的夹角，记作，如下图。根据空间两个向量数量积的定义：，那么空间两个向量、的夹角的余弦。知识点诠释：（1）规定:（2）特别地，如果，那么与同向；如果，那么与反向;如果,那么与垂直,记作。2、利用空间向量求异面直线所成的角异面直线所成的角可以通过选取直线的方向向量，计算两个方向向量的夹角得到。在求异面直线所成的角时，应注意异面直线所成的角与向量夹角的区别：如果两向量夹角为锐角或直角，则异面直线所成的角等于两向量的夹角；如果两向的夹角为钝角，则异面直线所成的角为两向量的夹角的补角。知识点八：空间向量的长度1、定义：在空间两个向量的数量积中，特别地，所以向量的模：将其推广：；。2、利用向量求线段的长度。将所求线段用向量表示，转化为求向量的模的问题。一般可以先选好基底，用基向量表示所求向量，然后利用来求解。【典型例题】题型一：空间向量的有关概念及线性运算例1．（2022·全国·高二课时练习）下列说法正确的是（

）A．零向量没有方向B．空间向量不可以平行移动C．如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等D．同向且等长的有向线段表示同一向量例2．（2022·全国·高二课时练习）如图所示，在长方体中，，，，则在以八个顶点中的两个分别为起点和终点的向量中：（1）模为的向量是______；（2）的相等向量是______；（3）的相反向量是______；（4）的共线向量（平行向量）为______；（5）向量，，______（填“共面”或“不共面”）．例3．（2022·全国·高二课时练习）如图所示，在长方体中，E为棱上任意一点.只考虑以长方体的八个顶点及点E的两点为始点和终点的向量，分别写出：(1)的相等向量，的负向量；(2)用另外两个向量的和或差表示；(3)用三个或三个以上向量的和表示（举两个例子）.题型二：共线向量定理的应用例4．（2022·全国·高二课时练习）在正方体中，点E在对角线上，且，点F在棱上，若A、E、F三点共线，则________．例5．（2022·全国·高二课时练习）如图，已知O､A､B､C､D､E､F､G､H为空间的9个点，且，，，，，.求证：(1)A､B､C､D四点共面，E､F､G､H四点共面；(2)；(3).题型三：共面向量及应用例6．（2022·上海市控江中学高二期中）下列条件中，一定使空间四点P､A､B､C共面的是（

）A． B．C． D．例7．（2021·全国·高二课时练习）如图，从所在平面外一点O作向量，，，．求证：(1)，，，四点共面；(2)平面平面ABCD．题型四：空间向量的数量积例8．（2022·江苏·高二课时练习）如图，在三棱锥中，平面，，，．(1)确定在平面上的投影向量，并求；(2)确定在上的投影向量，并求．例9．（2021·全国·高二课时练习）如图，已知正方体的棱长为1，E为的中点.（1）求，的大小；（2）求向量在向量方向上的投影的数量.题型五：利用空间向量的数量积求两向量的夹角例10．（2022·全国·高二课时练习）如图，正方体的棱长是，和相交于点．(1)求；(2)求与的夹角的大小余弦值；(3)判断与是否垂直．例11．（2022·福建省连城县第一中学高二阶段练习）如图，在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，侧棱的长度为4，且.用向量法求:(1)的长;(2)直线与所成角的余弦值.题型六：利用空间向量的数量积求线段的长度例12．（2021·河北省博野中学高二期中）如图，已知平行六面体中，底面ABCD是边长为1的正方形，，设．(1)求；(2)求．例13．（2022·浙江·乐清市第二中学高二阶段练习）如图，棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形），是棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，.(1)用向量，，表示；(2)求.题型七：利用空间向量的数量积证垂直例14．（2022·全国·高二课时练习）如图，在棱长为1的正方体中，G、H分别是侧面和的中心．设，，．(1)用向量、、表示、；(2)求；(3)判断与是否垂直．例15．（2022·全国·高二课时练习）如图，正方体的棱长是，和相交于点．(1)求；(2)判断与是否垂直．【同步练习】一、单选题1．（2022·河南·高二阶段练习）在正四面体中，F是的中点，E是的中点，若，则（

）A． B． C． D．2．（2022·浙江·杭师大附中高二期中）平行六面体中，，则的长为（

）A．10 B． C． D．3．（2022·陕西·乾县第二中学高二阶段练习）在长方体中，设为棱的中点，则向量可用向量表示为（

）A． B．C． D．4．（2022·山西·晋城市第二中学校高二阶段练习）在棱长为的正方体中，是的中点，则（

）A．0 B．1 C． D．25．（2022·山东·菏泽市定陶区明德学校（山大附中实验学校）高二阶段练习）对于空间一点和不共线三点，，，且有，则（

）A．，，，四点共面 B．，，，四点共面C．，，，四点共面 D．，，，，五点共面6．（2022·陕西商洛·高二期末（理））在平行六面体中，点在上，且，若，则（

）A． B．1 C． D．7．（2022·江西·高二阶段练习）已知点为所在平面内一点，为平面外一点，若则的值为（

）A．1 B． C．2 D．8．（2022·辽宁实验中学高二阶段练习）四面体ABCD的每条棱长均为2，点E､F､G分别是棱AB､AD､DC中点，则（

）A．1 B．1 C．4 D．4二、多选题9．（2022·辽宁沈阳·高二期中）如图所示，平行六面体，其中，，，，下列说法中正确的是（

）A．B．C．直线AC与直线是相交直线D．与AC所成角的余弦值为10．（2022·江西·高二阶段练习）已知空间四边形OABC的各边及对角线AC，OB的长度均相等，E，F分别为OA，BC的中点，则（

）A． B．C． D．11．（2022·山东潍坊·高二期中）如图所示，在长方体中，，则在以八个顶点中的两个分别为始点和终点的向量中（

）A．单位向量有8个B．与相等的向量有3个C．与的相反向量有4个D．向量共面12．（2022·山东·日照市教育科学研究中心高二期中）金刚石是天然存在的最硬的物质，如图1所示是组成金刚石的碳原子在空间中排列的结构示意图，组成金刚石的每个碳原子，都与其相邻的4个碳原子以完全相同的方式连接.从立体几何的角度来看，可以认为4个碳原子分布在一个正四面体的四个顶点处，而中间的那个碳原子处于与这4个碳原子距离都相等的位置，如图2所示.这就是说，图2中有，若正四面体ABCD的棱长为2，则正确的是（

）A． B．C． D．三、填空题13．（2022·河南·高二阶段练习）在棱长为1的正四面体中，E，F分别是的中点，则________________．14．（2022·浙江·慈溪中学高二阶段练习）在三棱锥中，是平面内一点，且，则__________.15．（2022·浙江大学附属中学高二期中）如图，两条异面直线a，b所成角为，在直线上a，b分别取点，E和点A，F，使且．已知，，．则线段的长为____________．16．（2022·广西·高二阶段练习）如图所示，在平行六面体中，，，，为棱的中点，则______．四、解答题17．（2022·浙江·杭州四中高二期中）如图，正四面体（四个面都是正三角形）OABC的棱长为1，M是棱BC的中点，点N满足，点P满足．(1)用向量表示；(2)求．18．（2022·山东·泰安市基础教育教学