易错31题专练（2020必修三全部内容）

易错31题专练（沪教版2020必修三全部内容）一．选择题（共3小题）1．（2021秋•浦东新区校级月考）若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则（）A．α内存在直线与l异面 B．α内存在与l平行的直线 C．α内存在唯一的直线与l平行 D．α内的直线与l都相交【分析】根据线面关系的定义，我们根据已知中直线l不平行于平面α，且l⊄α，判断出直线l与α的关系，利用直线与平面相交的定义，我们逐一分析四个答案，即可得到结论．【解答】解：直线l不平行于平面α，且l⊄α，则l与α相交l与α内的直线可能相交，也可能异面，但不可能平行故B，C，D错误故选：A．【点评】本题考查线线、线面位置关系的判定，考查逻辑推理能力和空间想象能力．其中利用已知判断出直线l与α的关系是解答本题的关键．2．（2021秋•宝山区校级期中）已知m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列条件能使n⊥α成立的是（）A．α⊥β，m⊂β B．α∥β，n⊥β C．α⊥β，n∥β D．m∥α，n⊥m【分析】n⊥α必有n平行α的垂线，或者n垂直α的平行平面，依次判定选项即可．【解答】解：α⊥β，m⊂β，不能说明n与α的关系，A错误；α∥β，n⊥β能够推出n⊥α，正确；α⊥β，n∥β可以得到n与平面α平行、相交，所以不正确．m∥α，n⊥m则n与平面α可能平行，所以不正确．故选：B．【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力，是基础题．3．（2021秋•奉贤区校级期末）若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值（）A．至多等于3 B．至多等于4 C．等于5 D．大于5【分析】先考虑平面上的情况：只有三个点的情况成立；再考虑空间里，只有四个点的情况成立，注意运用外接球和三角形三边的关系，即可判断．【解答】解：考虑平面上，3个点两两距离相等，构成等边三角形，成立；4个点两两距离相等，三个点在圆上，一个点是圆心，圆上的点到圆心的距离都相等，则不成立；n大于4，也不成立；在空间中，4个点两两距离相等，构成一个正四面体，成立；若n＞4，由于任三点不共线，当n＝5时，考虑四个点构成的正四面体，第五个点，与它们距离相等，必为正四面体的外接球的球心，且球的半径不等于边长，即有球心与正四面体的底面的中心重合，但显然球的半径不等于棱长，故不成立；同理n＞5，不成立．故选：B．【点评】本题考查空间几何体的特征，主要考查空间两点的距离相等的情况，注意结合外接球和三角形的两边与第三边的关系，属于中档题和易错题．二．填空题（共22小题）4．（2021秋•杨浦区校级期末）如果圆锥的底面圆半径为1，母线长为2，则该圆锥的侧面积为2π．【分析】由圆锥的侧面积公式即可求解．【解答】解：由圆锥的侧面积公式S＝LR＝×（2πr）×R＝×2π×1×2＝2π．故答案为：2π【点评】考查圆锥的侧面积公式，属于基础题．5．（2021秋•徐汇区校级期中）已知长方体的表面积是24cm2，过同一顶点的三条棱长之和是6cm，则它的对角线长是．【分析】设出长方体的长、宽、高，利用已知条件，容易得到解答．【解答】解：设长方体的长、宽、高分别为：a、b、c，由题意可知：a+b+c＝6…①2（ab+bc+ca）＝24…②①的平方﹣②得a2+b2+c2＝12所以长方体的对角线是：故答案为：【点评】本题考查长方体的有关计算问题，是基础题．6．（2021秋•黄浦区校级月考）若用与球心的距离为的平面截球体所得的圆面半径为，则球的体积为36π．【分析】根据题意求出球的半径，再计算球的体积．【解答】解：如图所示，依题意知，截面圆的半径为r＝AC＝，球心O到截面圆的距离为d＝OC＝，所以球的半径为R＝OA＝＝3，所以球的体积为V＝π×33＝36π．故答案为：36π．【点评】本题考查了球的体积计算问题，也考查了球面被平面所截的截面圆问题，是基础题．7．（2021秋•宝山区校级月考）已知三棱锥P﹣ABC的三条侧棱两两垂直，且它们的长度分别为1，1，，则此三棱锥的高为．【分析】根据题意，利用等体积法，即可求出三棱锥P﹣ABC高的大小．【解答】解：如图所示，三棱锥P﹣ABC中，PA⊥PB，PA⊥PC，PB⊥PC，且PA＝PB＝1，PC＝，所以AB＝，AC＝BC＝，所以△ABC的面积为S△ABC＝××＝，设此三棱锥的高为h，则××1××1＝××h，解得h＝．故答案为：．【点评】本题考查了利用等体积法计算三棱锥高的问题，是基础题．8．（2021秋•奉贤区校级期末）某区老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的新冠疫苗接种情况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本的老年教师人数为180．类别人数老年教师900中年教师1800青年教师1600合计4300【分析】根据分层抽样原理列方程求出该样本中老年教师人数．【解答】解：设该样本的老年教师人数为x，则＝，x＝180，所以样本中老年教师人数为180．故答案为：180．【点评】本题考查了分层抽样原理应用问题，是基础题．9．（2021秋•杨浦区校级期中）在棱长为6的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱AB的中点，过E，D，C1作正方体的截面，则该截面的面积是．【分析】过E，D，C1作正方体的截面，是等腰梯形，结合图中数据，求出截面图形的面积．【解答】解：正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱AB的中点，过E，D，C1作正方体的截面，是等腰梯形DEFC1，如图所示：其中F是BB1的中点，EF＝DC1＝×6＝3，DE＝FC1＝＝3；所以梯形底面上的高为h＝＝，则该截面的面积是S＝×（6+3）×＝．故答案为：．【点评】本题考查了正方体截面面积的计算问题，也考查了运算求解能力，是基础题．10．（2021春•徐汇区校级月考）下列判断中：①三点确定一个平面；②一条直线和一点确定一个平面；③两条直线确定一个平面；④三角形和梯形一定是平面图形；⑤四边形一定是平面图形；⑥六边形一定是平面图形；⑦两两相交的三条直线确定一个平面．其中正确的是④．【分析】主要根据公理2以及推论判断①②③④，利用空间图形和几何体进行判断⑤⑥⑦．【解答】解①根据公理2知，必须是不共线的三点确定一个平面，故①不对；②根据一条直线和直线外的一点确定一个平面知，故②不对；③由异面直线的定义知，两条直线不一定确定一个平面，故③不对；④因梯形的一组对边平行，所以由“两条平行确定一个平面”知，梯形是一个平面图形，又因三角形的三个顶点不共线，故④对；⑤比如空间四边形则不是平面图形，故⑤不对；⑥比如空间六边形则不是平面图形，故⑥不对；⑦两两相交于同一点的三条直线，如三棱锥的三个侧面，它们确定了三个平面，故⑦不对．故答案为：④．【点评】本题的考点是平面公理2以及推论的应用，主要利用公理2的作用和公理中的关键条件进行判断，考查了空间想象能力．11．（2021秋•徐汇区校级月考）若a，b是异面直线，直线c∥a，则c与b的位置关系是相交或异面．【分析】两条直线的位置关系有三种：相交，平行，异面．由于a，b是两条异面直线，直线c∥a则c有可能与b相交且与a平行，但是c不可能与b平行，要说明这一点采用反证比较简单．【解答】解：∵a，b是两条异面直线，直线c∥a∴过b任一点可作与a平行的直线c，此时c与b相交．另外c与b不可能平行理由如下：若c∥b则由c∥a可得到a∥b这与a，b是两条异面直线矛盾，故c与b异面．故答案为：相交或异面．【点评】此题考查了空间中两直线的位置关系：相交，平行，异面．做题中我们可采用逐个验证再结合反证法的使用即可达到目的，这也不失为常用的解题方法！12．（2021秋•宝山区校级月考）已知α∥β，a⊂α．b⊂β，则直线a与b的位置关系为平行或异面．【分析】由α∥β，a⊂α．b⊂β，可知两条直线没有公共点，因此两条直线平行或者异面．【解答】解：因为α∥β，a⊂α．b⊂β，所以两条直线没有公共点，所以直线a与b的位置关系平行或异面；故答案为：平行或者异面．【点评】本题考查了由空间平面的位置关系判断平面内直线的位置关系，属于基础题．13．（2021秋•奉贤区校级月考）正方体各面所在的平面将空间分成27部分．【分析】利用一个平面把空间分成两部分，两个平行平面把空间分成三部分来解．【解答】解：27；上、中、下三个部分，每个部分分空间为9个部分，共27部分，故答案为27【点评】正方体共有六个面，在这六个面中，有三对是平行平面，且任一平面均与不和它平行的其他四个平面垂直14．（2021秋•浦东新区期中）平面内两直线有三种位置关系：相交，平行与重合．已知两个相交平面α，β与两直线l1，l2，又知l1，l2在α内的射影为s1，s2，在β内的射影为t1，t2．试写出s1，s2与t1，t2满足的条件，使之一定能成为l1，l2是异面直线的充分条件s1∥s2，并且t1与t2相交（t1∥t2，并且s1与s2相交）．【分析】当两直线在一个平面内的射影是两条平行线，在另一个相交面内的射影是两条相交直线时，这两条直线一定是异面直线．【解答】解：两个相交平面α，β，当两直线在平面α内的射影是两条平行线，在平面β内的射影是两条相交直线时，这两直线是异面直线．当两直线在平面α内的射影是两条相交直线，在平面β内的射影是两条平行线时，这两直线也是异面直线．故“能成为l1，l2是异面直线的充分条件”的是“s1∥s2，并且t1与t2相交”或“t1∥t2，并且s1与s2相交”．故答案为：s1∥s2，并且t1与t2相交，或t1∥t2，并且s1与s2相交．【点评】本题考查判断两直线是异面直线的方法，以及充分条件、必要条件的概念与判断方法．15．（2021秋•松江区校级期中）若一圆锥的底面半径为3，体积是12π，则该圆锥的侧面积等于15π．【分析】首先根据圆锥的体积求出圆锥的高度，然后求出母线长度，根据侧面积公式解答．【解答】解：由已知得到圆锥的体积12π＝，解得h＝4，所以圆锥的母线长度为＝5，所以圆锥的侧面积为＝15π；故答案为：15π．【点评】本题考查了圆锥的体积和侧面积公式的运用；属于基础题．16．（2021秋•黄浦区校级期中）棱长为2的正方体外接球的表面积是12π．【分析】直接求出正方体的对角线的长度，就是它的外接球的直径，求出半径即可求出球的体积，【解答】解：正方体的对角线的长度，就是它的外接球的直径，所以，球的直径为：2，半径为：球的表面积为：4πr2＝12π故答案为：12π【点评】本题考查球的体积和表面积，考查球的内接体问题，考查空间想象能力，是基础题．17．（2021秋•普陀区校级月考）已知圆锥的母线长为5cm，侧面积为15πcm2，则此圆锥的体积为12πcm3．【分析】先求圆锥的底面半径，再求圆锥的高，然后求其体积．【解答】解：已知圆锥的母线长为5cm，侧面积为15πcm2，所以圆锥的底面周长：6π底面半径是：3圆锥的高是：4此圆锥的体积为：故答案为：12π【点评】本题考查圆锥的侧面积、体积，考查计算能力，是基础题．18．（2021秋•宝山区校级月考）若圆锥的侧面积为20π，且母线与底面所成的角的余弦值为，则该圆锥的体积为16π．【分析】设出圆锥的母线与底面半径，通过圆锥的侧面积为20π，且母线与底面所成的角的余弦值为，求出半径与母线，求出圆锥的高，即可求出圆锥的体积．【解答】解：设圆锥的母线为l，底面半径为r，因为圆锥的侧面积为20π，且母线与底面所成的角的余弦值为，所以，πrl＝20π，，所以r＝4，l＝5，圆锥的高为：3，所以圆锥的体积为：＝16π．故答案为：16π．【点评】本题是基础题，考查圆锥的底面半径、母线、高的关系以及侧面积与体积求法，考查计算能力．19．（2021秋•奉贤区校级月考）一个圆锥形的空杯子上面放一个球形的冰激凌，圆锥底的直径与球的直径均为10，如果冰激凌融化后全部流在杯子中，并且不会溢出杯子，则杯子高度的最小值为20．【分析】设出圆锥的高，求出球的体积和圆锥的体积，二者相等，求出圆锥的高．【解答】解：设圆锥的高为h，则圆锥的体积：球的体积：由题意：所以，h＝20故答案为：20【点评】本题考查球的体积，圆锥的体积，考查计算能力，是基础题．20．（2021春•浦东新区校级期中）如图，是一个无盖正方体盒子的表面展开图，A、B、C为其上的三个点，则在正方体盒子中，∠ABC＝．【分析】根据题意，将几何体复原，可以看出△ABC，判断形状，求得结果．【解答】解：几何体复原如图：则△ABC是正三角形，所以∠ABC＝故答案为：【点评】本题看出棱柱的结构特征，是基础题．21．（2021秋•奉贤区校级期中）两个球的体积之比为8：27，那么这两个球的表面积的比为4：9．【分析】由题意，设两个球的半径，表示出求的表面积和体积；根据体积比，得到表面积的比．【解答】解：设两个球的半径分别为r，R，由两个球的体积之比为8：27，得到r3：R3＝8：27，所以r：R＝2：3，那么这两个球的表面积的比为r2：R2＝4：9；故答案为：4：9．【点评】本题考查了球的体积和表面积；明确体积、表面积公式是关键．22．（2021秋•徐汇区校级期中）水管或煤气管的外部经常需要包扎，以便对管道起保护作用，包扎时用很长的带子缠绕在管道外部．若需要使带子全部包住管道且没有重叠的部分（不考虑管子两端的情况，如图所示），这就要精确计算带子的“缠绕角度α”（α指缠绕中将部分带子拉成图中所示的平面ABCD时的∠ABC，其中AB为管道侧面母线的一部分）．若带子宽度为1，水管直径为2，则“缠绕角度”α的余弦值为．【分析】本题使带子全部包住管道且不重叠（不考虑管道两端的情况），即斜边长为水管的周长为2π．利用展开图解决．【解答】解：其展开图如图所示．∵水管直径为2，∴水管的周长为2π，∴cos∠α＝故答案为：【点评】本题考查锐角三角函数的概念，转化思想，空间想象能力．23．（2021秋•徐汇区校级期中）一块各面均涂有油漆的正方体被锯成27个同样大小的小正方体，将这些小正方体均匀地搅混在一起，从中随机地取出一个小正方体，其两面漆有油漆的概率是．【分析】由一块各面均涂有油漆的正方体被锯成27个同样大小的小正方体，可得基本事件的总数有27个，然后计算出满足条件两面漆有油漆的基本事件个数，代入古典概型概率公式即可得到答案．【解答】解：一块各面均涂有油漆的正方体被锯成27个同样大小的小正方体，其中满足两面漆有油漆的小正方体有12个故从中随机地取出一个小正方体，其两面漆有油漆的概率P＝＝故答案为：【点评】本题考查的知识点是古典概型及其概率计算公式，其中根据棱柱的结构特征，根据正方体共有12条棱，计算出两面漆有油漆的基本事件个数，是解答本题的关键．24．（2021春•杨浦区校级期中）如图，一矩形ABCD的一边AB在x轴上，另两个顶点C、D在函数f（x）＝，x＞0的图象上，则此矩形绕x轴旋转而成的几何体的体积的最大值是．【分析】求出y的范围，设出点A、B的坐标，根据A、B两点的纵坐标相等得到x2•x1＝1，再求出高h；根据圆柱体的体积公式得到关于y的代数式，最后根据基本不等式求出体积的最大值．【解答】解：由y＝f（x）＝＝≤＝，当且仅当x＝1时取等号，得x+＝；又矩形绕x轴旋转得到的旋转体是圆柱，设A点的坐标为（x1，y），B点的坐标为（x2，y），则圆柱的底面圆半径为y，高为h＝x2﹣x1，且f（x1）＝，f（x2）＝，所以＝，即（x2﹣x1）（x2•x1﹣1）＝0，所以x2•x1＝1，所以h2＝（x2+x1）2﹣4x2•x1＝（x1+）2﹣4＝﹣4，所以h＝＝，所以V圆柱＝πy2•h＝πy＝π•≤π•（）＝π，当且仅当y＝时取等号，故此矩形绕x轴旋转得到的旋转体的体积的最大值为．故答案为：．【点评】本题主要考查了空间几何体的体积计算和基本不等式的应用问题，是难题．25．（2021秋•黄浦区校级期中）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为cm3．【分析】根据图形的性质，求出截面圆的半径，即而求出求出球的半径，得出体积．【解答】解：根据几何意义得出：边长为8的正方形，球的截面圆为正方形的内切圆，∴圆的半径为：4，∵球面恰好接触水面时测得水深为6cm，∴d＝8﹣6＝2，∴球的半径为：R＝，R＝5∴球的体积为π×（5）3＝cm3故答案为．【点评】本题考查了球的几何性质，运用求解体积面积，属于中档题．三．解答题（共6小题）26．（2021秋•长宁区校级期中）蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子，建造和搬迁都很方便，适于牧业生产和游牧生活．蒙古包古代称作穹庐、“毡包”或“毡帐”，如图1所示．一个普通的蒙古包可视为一个圆锥与一个圆柱的组合，如图2所示．已知该圆锥的高为2米，圆柱的高为3米，底面直径为6米．（1）求该蒙古包的侧面积；（2）求该蒙古包的体积．【分析】（1）先计算圆锥和圆柱部分的侧面积，再求和即可．（2）先求出圆锥和圆柱部分的体积，再求和．【解答】解：由题意可知BC＝DE＝3米，AE＝2米，BE＝3米，所以（米）．（1）圆锥部分的侧面积为（平方米）．圆柱部分的侧面积为S2＝2π⋅BC⋅BE＝2π×3×3＝18π（平方米）．所以该蒙古包的侧面积为（平方米）．（2）圆锥部分的体积为（立方米），圆柱部分的体积为（立方米）．所以该蒙古包的体积为V＝V1+V2＝6π+27π＝33π（立方米）．【点评】本题考查了简单组合体的表面积和体积的计算问题，也考查了运算求解能力与转化思想，是基础题．27．（2021秋•松江区校级月考）某校命制了一套调查问卷（试卷满分均为100分），并对整个学校的学生进行了测试，先从这些学生的成绩中随机抽取了50名学生的成绩，按照[50，60），[60，70），…，[90，100]分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图（假定每名学生的成绩均不低于50分）（1）求频率分布直方图中的x的值，并估计50名学生的成绩的平均数、中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）（2）用样本估计总体，若该校共有2000名学生，试估计该校这次成绩不低于70分的人数．【分析】（1）由频率和为1求出第4组的频率，再求x的值，利用区间中点乘以对应频率值，求和得出平均数；利用频率之和为0.5求出中位数的值；（2）求出不低于70分的频率，计算对应的频数即可．【解答】解：（1）由频率分布直方图得，第4组的频率为1﹣（0.01+0.03+0.03+0.01）×10＝0.2，所以x＝0.02；所以抽到50名学生成绩的平均数为＝（55×0.01+65×0.03+75×0.03+85×0.02+95×0.01）×10＝74；由于前两组的频率之和为0.1+0.3＝0.4，前三组的频率之和为0.1+0.3+0.3＝0.7，所以中位数在第3组；设中位数为t分，则有（t﹣70）×0.03＝0.1，解得t＝；所以所求中位数是．（2）由（1）知50学生中不低于70分的频率为0.3+0.2+0.1＝0.6，用样本估计总体，估计高三年级2000名学生中成绩不低于70分的人数为2000×0.6＝1200（人）．【点评】本题考查了频率分布直方图与平均数、中位数的计算问题，也考查了运算求解能力，是基础题．28．（2021秋•浦东新区校级月考）已知：平面α∩平面β＝a，b⊂α，b∩a＝A，c⊂β且c∥a，求证：b、c是异面直线．【分析】证明b、c是异面直线，比较困难，考虑使用反证法，即若b与c不是异面直线，则b∥c或b与c相交，证明b∥c或b与c相交都是不可能的，从而证明b、c是异面直线．【解答】证明：用反证法：若b与c不是异面直线，则b∥c或b与c相交（1）若b∥c．∵a∥c，∴a∥b这与a∩b＝A矛盾；（2）若b，c相交于B，则B∈β，又a∩b＝A，∴A∈β∴AB⊂β，即b⊂β这与b∩β＝A矛盾∴b，c是异面直线．【点评】本题考查异面直线的判定，考查学生发现问题解决问题的能力，是中档题．29．（2021秋•奉贤区校级期末）某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为[40，50]，[50，60]，…，[80，90]，[90，100]．（1）求频率分布图中a的值；（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；（3）从评分在[40，60]的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在[40，50]的概率．【分析】（1）利用频率分布直方图中的信息，所有矩形的面积和为1，得到a；（2）对该部门评分不低于80的即为90和100，的求出频率，估计概率；（3）求出评分在[40，60]的受访职工和评分都在[40，50]的人数，随机抽取2人，列举法求出所有可能，利用古典概型公式解答．【解答】解：（1）因为（0.004+a+0.018+0.022×2+0.028）×10＝1，解得a＝0.006；（2）由已知的频率分布直方图可知，50名受访职工评分不低于80的频率为（0.022+0.018）×10＝0.4，所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4；（3）受访职工中评分在[50，60）的有：50×0.006×10＝3（人），记为A1，A2，A3；受访职工评分在[40，50）的有：50×0.004×10＝2（人），记为B1，B2．从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，分别是{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}，又因为所抽取2人的评分都在[40，50）的结果有1种，即{B1，B2}，故所求的概率为P＝．【点评】本题考查了频率分布直方图的认识以及利用图中信息求参数以及由频率估计概率，考查了利用列举法求满足条件的事件，并求概率．30．（2021秋•黄浦区校级月考）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝AB＝2BC，M、N分别为PC、PB的中点．（Ⅰ）求证：PB⊥DM；（Ⅱ）求BD与平面ADMN所成的角．【分析】法一：（Ⅰ）因为N是PB的中点，PA＝AB，要证PB⊥DM，只需证明PB垂直DM所在平面ADMN．即可．（Ⅱ）连接DN，说明∠BDN是BD与平面ADMN所成的角，在Rt△BDN中，解BD与平面ADMN所成的角．法二：以A为坐标原点建立空间直角坐标系A﹣xyz，设BC＝1，（Ⅰ）求出，就证明PB⊥DM．（Ⅱ）说明的余角即是BD与平面ADMN所成的角，求出，即可得到BD与平面ADMN所成的角．【解答】解：方法一：（Ⅰ）因为N是PB的中点，PA＝AB，所以AN⊥PB．因为AD⊥面PAB，所以AD⊥PB．从而PB⊥平面ADMN．因为DM⊂平面ADMN所以PB⊥DM．（Ⅱ）连接DN，因为PB⊥平面ADMN，所以∠BDN是BD与平面ADMN