第1章直线与方程综合测试

第1章直线与方程综合测试一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．经过两点A(4,2y＋1)，B(2，－3)的直线的倾斜角为eq\f(3π,4)，则y＝(B)A．－1 B．－3C．0 D．2【答案】B【解析】由eq\f(2y＋1－－3,4－2)＝eq\f(2y＋4,2)＝y＋2，得y＋2＝taneq\f(3π,4)＝－1，∴y＝－3．故选B．2．直线ax＋by＋c＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a，b，c应满足(A)A．ab>0，bc<0 B．ab>0，bc>0C．ab<0，bc>0 D．ab<0，bc<0【答案】A【解析】由题意可知直线斜率小于0，纵截距大于0，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(a,b)<0，,－\f(c,b)>0，))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ab>0,bc<0))，故选A．3．直线2xcosα－y－3＝0(α∈[eq\f(π,6)，eq\f(π,3)])的倾斜角的变化范围是(B)A．[eq\f(π,6)，eq\f(π,3)] B．[eq\f(π,4)，eq\f(π,3)]C．[eq\f(π,4)，eq\f(π,2)] D．[eq\f(π,4)，eq\f(2π,3)]【答案】A【解析】直线2xcosα－y－3＝0的斜率k＝2cosα.由于α∈[eq\f(π,6)，eq\f(π,3)]，所以eq\f(1,2)≤cosα≤eq\f(\r(3),2)，因此k＝2cosα∈[1，eq\r(3)]．设直线的倾斜角为θ，则有tanθ∈[1，eq\r(3)]．由于θ∈[0，π)，所以θ∈[eq\f(π,4)，eq\f(π,3)]，即倾斜角的变化范围是[eq\f(π,4)，eq\f(π,3)]．故选A．4．直线xsinα＋y＋2＝0的倾斜角的范围是(B)A．[0，π) B．[0，eq\f(π,4)]∪[eq\f(3π,4)，π)C．[0，eq\f(π,4)] D．[0，eq\f(π,4)]∪(eq\f(π,2)，π)【答案】B【解析】设直线的倾斜角为θ，则tanθ＝－sinα，所以－1≤tanθ≤1，又θ∈[0，π]，所以0≤θ≤eq\f(π,4)或eq\f(3π,4)≤θ<π．故选B．5．已知点A(1,3)，B(－2，－1)．若直线l：y＝k(x－2)＋1与线段AB相交，则k的取值范围是(D)A．k≥eq\f(1,2) B．k≤－2C．k≥eq\f(1,2)或k≤－2 D．－2≤k≤eq\f(1,2)【答案】D【解析】由已知直线l恒过定点P(2,1)，如图所示，若l与线段AB相交，则kPA≤k≤kPB，∵kPA＝－2，kPB＝eq\f(1,2)，∴－2≤k≤eq\f(1,2)．故选D．6．经过(2,0)且与曲线y＝eq\f(1,x)相切的直线与坐标轴围成的三角形面积为(A)A．2 B．eq\f(1,2)C．1 D．3【答案】A【解析】设切点为(m，eq\f(1,m))，m≠0，y＝eq\f(1,x)的导数为y′＝－eq\f(1,x2)，可得切线的斜率k＝－eq\f(1,m2)，切线方程为y－eq\f(1,m)＝－eq\f(1,m2)(x－m)，代入(2,0)，可得－eq\f(1,m)＝－eq\f(1,m2)(2－m)，解得m＝1，则切线方程为y－1＝－x＋1，切线与坐标轴的交点坐标为(0,2)，(2,0)，则切线与坐标轴围成的三角形面积为eq\f(1,2)×2×2＝2．故选A．7．已知点(a,2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a等于(C)A．eq\r(2) B．2－eq\r(2)C．eq\r(2)－1 D．eq\r(2)＋1【答案】C【解析】由题意得eq\f(|a－2＋3|,\r(1＋1))＝1．解得a＝－1＋eq\r(2)或a＝－1－eq\r(2)．∵a>0，∴a＝－1＋eq\r(2)．8．“a＝2”是“两直线ax＋3y＋2a＝0和2x＋(a＋1)y－2＝0平行”的(A)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】两直线ax＋3y＋2a＝0和2x＋(a＋1)y－2＝0平行的充要条件为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(aa＋1＝2×3,a×－2≠2a×2))，即a＝2或a＝－3，又“a＝2”是“a＝2或a＝－3，的充分不必要条件，即“a＝2”是“两直线ax＋3y＋2a＝0和2x＋(a＋1)y－2＝0平行”的充分不必要条件，故选A．二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)9．过点A(1,2)的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程不可能为()A．x－y＋1＝0 B．x＋y－3＝0C．2x－y＝0 D．x－y－1＝0【答案】AC【解析】当直线过原点时，可得斜率为eq\f(2－0,1－0)＝2，故直线方程为y＝2x，即2x－y＝0；当直线不过原点时，设直线方程为eq\f(x,a)＋eq\f(y,－a)＝1，代入点(1,2)，可得eq\f(1,a)－eq\f(2,a)＝1，解得a＝－1，直线方程为x－y＋1＝0，故所求直线方程为2x－y＝0或x－y＋1＝0．选项B、D不能同时满足题干中的两个条件．故选BD．10．在同一平面直角坐标系中，直线l1：ax＋y＋b＝0和直线l2：bx＋y＋a＝0不可能是()【答案】ACD【解析】由题意l1：y＝－ax－b，l2：y＝－bx－a，当a，b同号时，l1与l2的斜率与截距也同号，此时选项A、C不可能正确，选项B正确；当a，b异号时，l1与l2的斜率与截距也异号，此时选项D不可能正确．故选A、C、D．11．下列说法错误的是()A．直线y＝ax－2a(a∈R)必过定点(2,0)B．直线y＋1＝3x在y轴上的截距为1C．直线x＋eq\r(3)y＋1＝0的倾斜角为120°D．过点(－2,3)且垂直于直线x－2y＋3＝0的直线方程为2x＋y＋1＝0【答案】BC【解析】A，由直线方程有y＝a(x－2)，故必过(2,0)，正确；B，令x＝0得y＝－1，故在y轴上的截距为－1，错误；C，由直线方程知，斜率为－eq\f(\r(3),3)则倾斜角为150°，错误；D，由2x＋y＋1＝0，x－2y＋3＝0的斜率分别为－2，eq\f(1,2)，则有－2×eq\f(1,2)＝－1，故相互垂直，将(－2,3)代入方程2×(－2)＋3＋1＝0，正确．故选BC．12．已知直线l1：ax－y＋1＝0，l2：x＋ay＋1＝0，a∈R，以下结论错误的是()A．无论a为何值，l1与l2都互相平行B．当a变化时，l1与l2分别经过定点A(0,1)和B(－1,0)C．无论a为何值，l1与l2都关于直线x＋y＝0对称D．若l1与l2交于点M，则|MO|的最大值是eq\r(2)【答案】AC【解析】对于A，a×1＋(－1)×a＝0，故l1与l2相互垂直恒成立，故A错误；对于B，直线l1：ax－y＋1＝0，当a变化，x＝0时，y＝1恒成立，所以l1恒过定点A(0,1)；l2：x＋ay＋1＝0，当a变化，y＝0时，x＝－1恒成立，所以l2恒过定点B(－1,0)，故B正确；对于C，在l1上任取一点(x，ax＋1)，关于直线x＋y＝0对称的点的坐标为(－ax－1，－x)，代入l2：x＋ay＋1＝0，得2ax＝0，不满足无论a为何值，2ax＝0成立，故C不正确；对于D，联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax－y＋1＝0，,x＋ay＋1＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(－a－1,a2＋1)，,y＝\f(－a＋1,a2＋1)，))即Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－a－1,a2＋1)，\f(－a＋1,a2＋1)))，所以|MO|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－a－1,a2＋1)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－a＋1,a2＋1)))2)＝eq\r(\f(2,a2＋1))≤eq\r(2)，所以|MO|的最大值是eq\r(2)，故D正确．故选AC．三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．过点P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为．【答案】3x－2y＝0或x＋y－5＝0_【解析】当截距为0时，直线方程为3x－2y＝0；当截距不为0时，设直线方程为eq\f(x,a)＋eq\f(y,a)＝1，则eq\f(2,a)＋eq\f(3,a)＝1，解得a＝5.所以直线方程为x＋y－5＝0.14．已知三角形的三个顶点A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，则BC边上中线所在的直线方程为．【答案】x＋13y＋5＝0.【解析】由题意可知BC的中点为H(eq\f(3,2)，－eq\f(1,2))，∴kAH＝eq\f(0－－\f(1,2),－5－\f(3,2))＝－eq\f(1,13).故所求直线的方程为y－0＝－eq\f(1,13)(x＋5)，即x＋13y＋5＝0.15．若直线l1：x＋2my－1＝0与l2：(3m－1)x－my－1＝0平行，则实数m的值为．【答案】__0或eq\f(1,6)__.【解析】因为直线l1：x＋2my－1＝0与l2：(3m－1)x－my－1＝0平行，则斜率相等或者斜率不存在，－eq\f(1,2m)＝eq\f(3m－1,m)或者m＝0，∴m＝eq\f(1,6)或0.16．若两平行直线3x－2y－1＝0,6x＋ay＋c＝0之间的距离为eq\f(2\r(13),13)，则c的值是．【答案】2或－6【解析】依题意知，eq\f(6,3)＝eq\f(a,－2)≠eq\f(c,－1)，解得a＝－4，c≠－2，即直线6x＋ay＋c＝0可化为3x－2y＋eq\f(c,2)＝0，又两平行直线之间的距离为eq\f(2\r(13),13)，所以eq\f(|\f(c,2)＋1|,\r(32＋－22))＝eq\f(2\r(13),13)，解得c＝2或－6.四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．(1)证明：直线l过定点；(2)若直线l不过第四象限，求k的取值范围．【解析】(1)证明：直线l的方程可化为y－1＝k(x＋2)，故无论k取何值，直线l必过定点(－2,1)．(2)令x＝0得y＝2k＋1，即直线l在y轴上的截距为2k＋1.由题意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k≥0，,2k＋1≥0))解得k≥0.故取值范围是[0＋∞)．18．(本小题满分12分)(1)求证：动直线(m2＋2m＋3)x＋(1＋m－m2)y＋3m2＋1＝0(其中m∈R)恒过定点，并求出定点坐标．(2)求经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程．【解析】(1)证明：解法一：令m＝0，则直线方程为3x＋y＋1＝0.再令m＝1时，直线方程为6x＋y＋4＝0.①和②联立方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋y＋1＝0，,6x＋y＋4＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝2.))将点A(－1,2)的坐标代入动直线(m2＋2m＋3)x＋(1＋m－m2)y＋3m2＋1＝0中，(m2＋2m＋3)×(－1)＋(1＋m－m2)×2＋3m2＋1＝(3－1－2)m2＋(－2＋2)m＋2＋1－3＝0，故动直线(m2＋2m＋3)x＋(1＋m－m2)y＋3m2＋1＝0恒过定点A.解法二：将动直线方程按m降幂排列整理，得m2(x－y＋3)＋m(2x＋y)＋3x＋y＋1＝0，①不论m为何实数，①式恒为零，∴有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋3＝0，,2x＋y＝0，,3x＋y＋1＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝2.))故动直线恒过点A(－1,2)．(2)解法一：解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y＋4＝0，,x＋y－2＝0，))得P(0,2)．因为l3的斜率为eq\f(3,4)，且l⊥l3，所以直线l的斜率为－eq\f(4,3)，由斜截式可知l的方程为y＝－eq\f(4,3)x＋2，即4x＋3y－6＝0.解法二：设所求直线方程为4x＋3y＋m＝0，将解法一中求得的交点P(0,2)代入上式可得m＝－6，故所求直线方程为4x＋3y－6＝0.解法三：设直线l的方程为x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0，即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0.又∵l⊥l3，∴3×(1＋λ)＋(－4)×(λ－2)＝0，解得λ＝11.∴直线l的方程为4x＋3y－6＝0.19．(本小题满分12分)已知直线l的方程为(m＋2)x－my－3m－8＝0，m∈R．(1)求证：直线l恒过定点P，并求出定点P的坐标；(2)若直线l在x轴，y轴上的截距相等，求直线l的方程．【解析】(1)证明：直线l的方程为(m＋2)x－my－3m－8＝0，m∈R，即m(x－y－3)＋(2x－8)＝0，令eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y－3＝0，,2x－8＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝1，))故直线l恒过定点P(4,1)．(2)直线l方程为(m＋2)x－my－3m－8＝0，当直线l不经过原点且在x轴，y轴上的截距相等时，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋2·－m≠0，,－3m－8≠0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m≠－2且m≠0，,m≠－\f(8,3)，))令y＝0，可得x＝eq\f(3m＋8,m＋2)，再令x＝0，可得y＝－eq\f(3m＋8,m)，由eq\f(3m＋8,m＋2)＝－eq\f(3m＋8,m)，可得m＝－1，故直线l的方程为x＋y－5＝0．当直线l经过原点时，－3m－8＝0，得m＝－eq\f(8,3)，故直线l的方程为x－4y＝0．综上，所求直线l的方程为x＋y－5＝0或x－4y＝0．20．(本小题满分12分)(2021·镇江中学高二月考)已知▱ABCD中，A(－1，－1)，C(1,1)，点B位于第四象限．(1)求直线AC的方程；(2)若________时，求点B的坐标(从下面三个条件中任选一个，补充在问题中并作答)．①△ABC是等边三角形；②过点E(eq\r(3)，eq\r(3))垂直于AC的直线分别交坐标轴于M，N两点，且MN∥BD，MN＝BD；③点E(－2,0)，AE∥BD，且▱ABCD的面积为4eq\r(3)．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【解析】(1)因为A(－1，－1)，C(1,1)，所以kAC＝eq\f(－1－1,－1－1)＝1，所以直线AC的方程为y－1＝1(x－1)，即x－y＝0．(2)若选①，若△ABC是等边三角形，则AC⊥BD，因为AC的中点坐标为(0,0)，所以BD过坐标原点，则直线BD的方程为y＝－x，设B(x，－x)(x>0)，由|AC|＝|BC|，得eq\r(－1－12＋－1－12)＝eq\r(x－12＋－x－12)，解得x＝eq\r(3)或x＝－eq\r(3)(舍去)，所以B点的坐标为(eq\r(3)，－eq\r(3))．若选②，因为kAC＝1，所以过点E(eq\r(3)，eq\r(3))垂直于AC的直线方程为y－eq\r(3)＝－(x－eq\r(3))，即y＝－x＋2eq\r(3)，令x＝0则y＝2eq\r(3)，令y＝0则x＝2eq\r(3)，即M(2eq\r(3)，0)，N(0，2eq\r(3))，所以|MN|＝eq\r(2\r(3)2＋2\r(3)2)＝2eq\r(6)，因为MN∥BD，AC的中点坐标为(0,0)，所以BD过坐标原点，所以直线BD的方程为y＝－x，设B(x，－x)(x>0)，则D(－x，x)，因为MN＝BD，所以eq\r(2x2＋－2x2)＝2eq\r(6)，解得x＝eq\r(3)或x＝－eq\r(3)(舍去)，所以B点的坐标为(eq\r(3)，－eq\r(3))．若选③，因为点E(－2,0)，所以kAE＝eq\f(－1－0,－1－－2)＝－1，因为AE∥BD，AC的中点坐标为(0,0)，所以BD过坐标原点，所以直线BD的方程为y＝－x，设B(x，－x)(x>0)，则D(－x，x)，所以点B到AC的距离d＝eq\f(2x,\r(12＋－12))＝eq\r(2)x，又|AC|＝eq\r(－1－12＋－1－12)＝2eq\r(2)，所以S▱ABCD＝2S△ABC＝2×eq\f(1,2)×|AC|×d＝4eq\r(3)，即2eq\r(2)×eq\r(2)x＝4eq\r(3)，解得x＝eq\r(3)，所以B点的坐标为(eq\r(3)，－eq\r(3))．21．(本小题满分12分)已知10条直线：l1：x－y＋c1＝0，c1＝eq\r(2)，l2：x－y＋c2＝0，l3：x－y＋c3＝0，…l10：x－y＋c10＝0，其中c1<c2<…<c10．这10条直线中，每相邻两条直线之间的距离依次为2,3,4，…，10．求：(1)c10；(2)x－y＋c10＝0与x轴、y轴围成的图形的面积．【解析】(1)原点O到l1的距离为d1＝eq\f(|0－0＋\r(2)|,\r(12＋－12))＝1，原点O到l2的距离为d2＝1＋2，原点O到l3的距离为d3＝1＋2＋3，…原点O到l10的距离为d10＝1＋2＋3＋…＋10＝55．因为d10＝eq\f(c10,\r(2))，所以c10＝55eq\r(2)．(2)由(1)知，直线l10的方程为x－y＋55eq\r(2)＝0，其与x轴交于点M(－55eq\r(2)，0)，与y轴交于点N(0,55eq\r(2))，则△OMN的面积为S△OMN＝eq\f(1,2)×|OM|×|ON|＝eq\f(1,2)×(55eq\r(2))2＝3025．22．(本小题满分12分)在平面直角坐标系中，射线OA：x－y＝0(x≥0)，OB：x＋2y＝0(x≥0)，过点P(1,0)作直线分别交射线OA，OB于A，B两点．(1)当AB中点为P时，求直线AB的方程；(2)当AB中点在直线y＝eq\f(1,2)x上时，求直线AB的方程．【解析】(1)因为A，B分别为直线与射线OA：x－y＝0(x≥0)及OB：x＋2y＝0(x≥0)的交点，所以可设A(a，a)，B(－2b，b)，又点P(1,0)是AB的中点，所以有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a－2b,2)＝1，,\f(a＋b,2)＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\