第1讲直线与圆综合问题原卷版

第1讲直线与圆综合问题目录第一部分：知识强化第二部分：重难点题型突破突破一：直线倾斜角与斜率突破二：两条直线平行与垂直突破三：直线方程突破四：距离问题突破五：圆的方程突破六：与圆上点有关的距离最值问题突破七：圆的切线问题突破八：两圆的公共弦问题突破九：圆的弦长问题第三部分：冲刺重难点特训第一部分：知识强化1、直线斜率的坐标公式如果直线经过两点，（），那么可得到如下斜率公式：（1）当时，直线与轴垂直，直线的倾斜角，斜率不存在；（2）斜率公式与两点坐标的顺序无关，横纵坐标的次序可以同时调换；（3）当时，斜率，直线的倾斜角，直线与轴重合或者平行。2、两条不重合直线平行的判定的一般结论是：或，斜率都不存在.3、两条直线垂直的一般结论为：或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零．4、直线方程①直线过点和斜率（已知一点+斜率）：②直线的斜率为且在轴上的纵截距为（已知斜率+纵截距）：③直线在轴上的截距为，在轴上的截距为：④直线的一般式方程：5、直线系方程（1）平行直线系方程把平面内具有相同方向的直线的全体称为平行直线系.一般地，与直线平行的直线系方程都可表示为(其中为参数且≠C)，然后依据题设中另一个条件来确定的值.（2）垂直直线系方程一般地，与直线垂直的直线系方程都可表示为(其中为参数），然后依据题设中的另一个条件来确定的值.6、点到直线的距离平面上任意一点到直线：的距离.7、对称问题（1）点关于点对称问题(方法：中点坐标公式)求点关于点的对称点由：（2）点关于直线对称问题（联立两个方程）求点关于直线：的对称点①设中点为利用中点坐标公式得，将代入直线：中；②整理得：（3）直线关于点对称问题(求关于点的对称直线，则）方法一：在直线上找一点，求点关于点对称的点，根据，再由点斜式求解；方法二：由，设出的直线方程，由点到两直线的距离相等求参数.方法三：在直线任意一点，求该点关于点对称的点，则该点在直线上.（4）直线关于直线对称问题4.1直线：（）和：（）相交,求关于直线的对称直线①求出与的交点②在上任意取一点(非点），求出关于直线的对称点③根据，两点求出直线4.2直线：（）和：（）平行,求关于直线的对称直线①②在直线上任取一点，求点关于直线的对称点，利用点斜式求直线.8、圆的标准方程我们把方程称为圆心为半径为的圆的标准方程.9、圆上的点到定点的最大、最小距离设的方程，圆心，点是上的动点，点为平面内一点；记;①若点在外，则;②若点在上，则;③若点在内，则;10、圆的一般方程对于方程（为常数），当时，方程叫做圆的一般方程.①当时，方程表示以为圆心，以为半径的圆；②当时，方程表示一个点③当时，方程不表示任何图形说明：圆的一般式方程特点：①和前系数相等（注意相等，不一定要是1）且不为0；②没有项；③.11、直线与圆相交记直线被圆截得的弦长为的常用方法（1）几何法（优先推荐）①弦心距（圆心到直线的距离）②弦长公式：（2）代数法直线：；圆联立消去“”得到关于“”的一元二次函数弦长公式：12、圆上点到直线的最大（小）距离设圆心到直线的距离为，圆的半径为①当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为：，最小距离为：；②当直线与圆相切时，圆上的点到直线的最大距离为：，最小距离为：；③当直线与圆相交时，圆上的点到直线的最大距离为：，最小距离为：；13、圆与圆的公共弦（1）圆与圆的公共弦圆与圆相交得到的两个交点，这两点之间的线段就是两圆的公共弦.（2）公共弦所在直线的方程设::联立作差得到：即为两圆共线方程（3）公共弦长的求法代数法：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求其长．几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长．第二部分：重难点题型突破突破一：直线倾斜角与斜率1．（2022·湖南·怀化市湖天中学高二阶段练习）已知、，直线过点，且与线段相交，则直线的斜率取值范围是（

）A． B．C． D．2．（2022·辽宁·大连市第二十三中学高二期中）已知直线和以，为端点的线段相交，则实数的取值范围为（

）A． B．C．或 D．或3．（2022·广东·深圳中学高二期中）已知点，，若点在线段AB上，则的取值范围（

）A． B．C． D．4．（2022·四川省泸县第四中学高二期中（文））已知直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是________.突破二：两条直线平行与垂直1．（2022·江苏南通·高二期中）是直线与直线平行的（

）条件A．充分不必要 B．必要不充分C．充要 D．既非充分又非必要2．（2022·湖北宜昌·高二期中）若直线：与：平行，则实数（

）A．2 B．－2 C． D．3．（2022·福建省福州第十一中学高三期中）已知，，直线与直线垂直，则的最小值是___________.4．（2022·浙江·元济高级中学高二期中）已知直线：，：，若，则实数_________．突破三：直线方程1．（2022·北京四中高二期中）与直线平行，且与圆相切的直线方程为______.2．（2022·福建·晋江市季延中学高二期中）直线被圆截得的弦长为定值，则直线l的方程为_________________________．3．（2022·辽宁沈阳·高二期中）直线l过点，若点到直线的距离为3，则直线的方程为______.4．（2022·广东湛江·高三阶段练习）写出与直线垂直且和圆相切的一条直线的方程：__________．突破四：距离问题1．（2022·浙江·高二期中）点到直线的距离的最大值为（

）A． B． C．3 D．2．（2022·湖北宜昌·高二期中）函数的最小值是（

）A．5 B．4 C． D．3．（2022·北京工业大学附属中学高二期中）著名数学家华罗庚曾说过：“数无形时少直觉，形少数时难入微.”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离.结合上述观点，可得的最小值为（

）A． B． C． D．4．（2022·福建省厦门第二中学高二阶段练习）点到直线（为任意实数）的距离的最大值为（

）A． B． C． D．5．（2022·山东青岛·高二期中）直线过点，和两点到直线l的距离相等，则直线l的方程为（

）A．或 B．或C．或 D．或6．（2022·辽宁省康平县高级中学高二期中）若圆M：上至少有3个点到直线l：的距离为，则k的取值范围是（

）A． B．C． D．7．（2022·河北·石家庄市第十八中学高二阶段练习）若第一象限内的点关于直线的对称点在直线上，则的最小值是（

）A．25 B． C．17 D．8．（2022·湖北·高二阶段练习）平面直角坐标系中有点，，直线经过点，且点到直线的距离是，则直线的方程是__________．9．（2022·河南·宜阳县第一高级中学高二阶段练习）已知直线与平行，则，间的距离为___________.10．（2022·黑龙江省饶河县高级中学高二阶段练习）已知直线，，则直线与之间的距离最大值为______.11．（2022·江苏·苏州市相城区陆慕高级中学高二阶段练习）实数满足：，则的最小值为________12．（2022·辽宁·东北育才学校高二阶段练习）若实数，，，满足，则的最小值为______.13．（2022·上海市嘉定区第二中学高二期中）已知为直线上的动点，，则m的最小值为___________.突破五：圆的方程1．（2022·北京丰台二中高三阶段练习）若直线截取圆所得弦长为2，则（

）A． B． C．1 D．2．（2022·全国·高二课时练习）已知直线恒过定点P，则与圆C：有公共的圆心且过点P的圆的标准方程为（）A． B．C． D．3．（2022·安徽·合肥市第七中学高二期中）已知方程表示圆，则k的取值范围是（

）A． B．C． D．4．（2022·全国·高二课时练习）已知，则的外接圆的方程是___________．5．（2022·江西·高三阶段练习（文））设圆心在直线与直线上，点在上，则的方程为______．突破六：与圆上点有关的距离最值问题1．（2022·黑龙江·绥棱县第一中学高三阶段练习）已知圆C：上的点到直线l：的最大距离为M､最小距离为m，若，则实数k的值是（

）A． B．1 C．或1 D．或12．（2022·贵州贵阳·高二阶段练习）直线被圆截得的最短弦长为（

）A． B． C． D．3．（2022·全国·模拟预测）已知点P是曲线上的动点，则点P到直线的距离的最大值为（

）A． B．C． D．4．（2022·吉林吉林·高二期中）已知是圆上的一点，则的最小值是（

）A． B． C． D．5．（2022·安徽省泗县第一中学高二期中）直线分别与轴，轴交于两点，点在圆上，则面积的取值范围是（

）A． B． C． D．6．（2022·河南·民权县第一高级中学模拟预测（文））已知圆的方程为，是圆上一动点，点，为线段的中点，则的最小值为__________.7．（2022·北京市第五十七中学高三阶段练习）若点在半径为1，且圆心为坐标原点的圆上，过点作圆的切线，切点为，则的最小值为___________.8．（2022·湖南·衡阳市一中高二期中）已知是曲线上两个不同的点，，则的最大值与最小值的比值是__________．9．（2022·上海市青浦高级中学高二阶段练习）一束光线从点射出，经轴上一点反射后到达圆上一点，则的最小值为_____．10．（2022·贵州·高三阶段练习（文））已知O是坐标原点，A，B是圆O：上两点，且，若弦的中点为，则的最小值为___________.突破七：圆的切线问题1．（2022·江苏连云港·高二期末）从圆外一点向圆引切线，则此切线的长为（

）A．1 B． C．2 D．32．（2022·全国·高三专题练习）已知直线是圆：的对称轴，过点作圆的一条切线，切点为，则等于（

）A．2 B． C． D．3．（2022·辽宁鞍山·高二期中）过点引圆的切线，则切线的方程为（

）A．或 B．C．或 D．4．（2022·四川省南充高级中学高二阶段练习（理））若圆C:上任意一点关于直线的对称点都在圆上，由点向圆作切线，则切线段长的最小值为（

）A．2 B．3 C．4 D．65．（2022·全国·高二课时练习）过点作圆的切线，则切线的方程为_________．6．（2022·全国·高二课时练习）曲线与直线l：y＝k（x－2）＋4有两个交点，则实数k的取值范围是________．突破八：两圆的公共弦问题1．（2022·四川·成都七中高二期中（文））圆​与圆​公共弦所在直线方程为___________．2．（2022·四川成都·高二期中（文））圆与圆的公共弦长为______．3．（2022·天津·耀华中学高二期中）两圆和相交于两点，则公共弦的长为__________.4．（2022·四川省绵阳南山中学高二阶段练习（理））过点作圆的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为_____．（请用直线方程的一般式作答）突破九：圆的弦长问题1．（2022·天津市第二耀华中学高三阶段练习）若直线被圆截得线段的长为6，则实数的值为__________.2．（2022·四川省绵阳江油中学模拟预测（理））若直线过，且被圆截得的弦长为，则直线方程为______3．（2022·广东·模拟预测）若斜率为的直线与轴交于点，与圆相交于点两点，若，则______．4．（2022·河南·高二阶段练习（文））过点作一条直线与圆分别交于M，N两点.若弦MN的长为，则直线MN的方程为______.5．（2022·山西运城·高二阶段练习）已知圆过平面内三点，，．(1)求圆的标准方程；(2)若点B也在圆上，且弦AB长为，求直线AB的方程．6．（2022·福建·厦门外国语学校石狮分校高二期中）已知圆:，点坐标为，为圆上动点，中点为.(1)当点在圆上动时，求点的轨迹方程；(2)过点的直线与的轨迹相交于两点，且，求直线的方程.7．（2022·北京市师达中学高二阶段练习）已知圆，直线.(1)若直线与圆交于两点，，求的值.(2)求证：无论取什么实数，直线与圆恒交于两点；(3)求直线被圆截得的最短弦长，以及此时直线的方程.8．（2022·辽宁·本溪满族自治县高级中学高二阶段练习）已知直线经过直线和的交点，且与直线垂直.(1)求直线的方程；(2)若圆过点，且圆心在轴的负半轴上，直线被圆所截得的弦长为，求圆的标准方程.9．（2022·山东省济南市莱钢高级中学高二期中）已知圆和点．(1)过点M向圆O引切线，求切线的方程；(2)求以点M为圆心，且被直线截得的弦长为8的圆M的方程；10．（2022·贵州贵阳·高二阶段练习）已知圆的圆心在直线上，且与直线相切于点.(1)求圆的方程；(2)若过点的直线被圆截得的弦的长为4，求直线的方程.第三部分：冲刺重难点特训一、单选题1．（2022·浙江省杭州第九中学高二期中）直线的倾斜角为（

）A． B． C． D．2．（2022·浙江·杭州市源清中学高二期中）已知直线的方程为，则该直线的倾斜角为（

）A． B． C． D．3．（2022·浙江大学附属中学高二期中）已知x，y满足，若不等式恒成立，则c的取值范围是（

）A． B． C． D．4．（2022·浙江大学附属中学高二期中）若直线与互相垂直，则实数（

）A． B． C．或0 D．或05．（2022·河北·任丘市第一中学高二阶段练习）已知圆与圆的公共弦所在直线恒过点，且点在直线上，则的取值范围是（

）A． B． C． D．6．（2022·河北·涉县第一中学高三期中）过点作圆的切线，则切线方程为（

）A． B． C． D．7．（2022·河南·马店第一高级中学模拟预测（理））已知动点M，N分别在抛物线：和圆：上，则的最小值为（

）A． B． C．5 D．68．（2022·湖南长沙·高二阶段练习）已知直线：和圆：交于A，B两点，则弦AB所对的圆心角的余弦值为（

）A． B． C． D．9．（2022·四川·威远中学校高二期中（文））一条光线从点射出，经x轴反射后，与圆相切，则反射后光线所在的直线方程为（

）A．或 B．或C．或 D．10．（2022·四川省遂宁高级实验学校高二期中（理））已知圆，圆，过圆上任意一点作圆的两条切线、切点分别为、，则的最小值是（

）A． B．3 C． D．11．（2022·江苏·南京市天印高级中学高二阶段练习）若圆与圆关于直线对称，圆上任意一点均满足，其中，为坐标原点，则圆和圆的公切线有（

）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条二、多选题12．（2022·浙江·杭州市源清中学高二期中）已知圆，则下列说法正确的是（

）A．点在圆内 B．圆M关于对称C．直线与截圆M的弦长为 D．直线与圆M相切13．（2022·浙江大学附属中学高二期中）设动直线交圆于A，B两点（C为圆心），则下列说法正确的有（

）