第八章第9节双曲线渐近线的几个常用结论-

第9节双曲线渐近线的几个常用结论知识与方法设双曲线的焦点分别为、，则有以下结论：1.双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长b.2．如图1所示，以为直径的圆与双曲线C的渐近线在第一象限的交点为.3．如图2所示，过双曲线C上任意一点P作C的两条渐近线的平行线，则它们与两条渐近线所围成的平行四边形的面积是定值.4．如图3所示，双曲线C上任意一点P处的切线与C的两条渐近线分别交于A和B两点，则P为的中点，且的面积为定值.5．如图4所示，A、B分别在双曲线C的两条渐近线上，D为的中点，若直线、的斜率都存在，则它们的斜率之积为.典型例题【例1】已知双曲线的右焦点为F，则F到双曲线C的渐近线的距离为_______.【解析】解法1：由题意，双曲线C的右焦点为，渐近线为，即，从而F到渐近线的距离.解法2：由题意，双曲线C的虚半轴长，所以F到双曲线C的渐近线的距离为1.【答案】1变式已知双曲线的右焦点为F，过F且与x轴垂直的直线与双曲线C交于A、B两点，则A、B两点到双曲线的一条渐近线的距离之和为_______.【解析】解法1：由题意，，直线的方程为，代入双曲线C的方程可求得，如图，由对称性，不妨设，，双曲线的渐近线为，即，不妨考虑渐近线，则A、B两点到该渐近线的距离乙和为.解法2：由题意，双曲线的虚半轴长，如图，分别过A、B、F作其中一条渐近线的垂线，垂足分别为I、J、K，由本节的结论1，点F到渐近线的距离，而显然是梯形的中位线，所以.【答案】2【反思】①梯形中位线的长等于；②双曲线焦点到渐近线的距离等于虚半轴长b.【例2】如下图所示，双曲线的左、右焦点分别为、，以为直径的圆与双曲线C的渐近线交于A、B、D、E四点，则四边形的面积为_______.【解析】解法1：由题意，，，双曲线的渐近线为以为直径的圆的方程为，联立，可解得：或，所以，由对称性可得四边形是矩形，且，，所以四边形的面积为.解法2：由本节结论2知点A的坐标为，显然四边形是矩形，且，，所以四边形的面积为.【答案】变式（2019·新课标Ⅰ卷）已知双曲线的左、右焦点分别为、，过的直线与C的两条渐近线分别交于A、B两点，若，，则C的离心率为_______.【解析】解法1：如图，可设，，，则，，所以，解得：或（舍去），从而，由知A为中点，所以，代入得：，整理得：，即双曲线C的离心率.解法2：如图，由知，又O为中点，所以，由知A为中点，所以，又，所以从而双曲线C的一条渐近线的斜率，即，所以，从而，故.解法3：如图，由知，所以点B是以为直径的圆与渐近线在第一象限的交点，由本节的结论2知，又，所以A为中点，因为，所以因为点A在另一条渐近线上，所以，化简得离心率.【答案】2【例3】已知双曲线的右焦点为F，点A为双曲线C在第一象限上的一点，且轴，过A作C的两条渐近线的平行线与双曲线的渐近线交于M、N两点，则四边形的面积为_______.【解析】解法1：如图，由双曲线的通径公式易得点A的坐标为，双曲线C的两条渐近线为，所以图中直线的方程为，与联立可解得：，从而，直线的方程为，与联立可解得：，所以，显然，故，从而平行四边形的面积.解法2：如图，双曲线C的两条渐近线为，不妨设，，因为是平行四边形，所以，故，代入可得：，化简得：，由原点三角形面积公式，所以平行四边形的面积.解法3：由本节的结论3，四边形的面积.【答案】【反思】①原点三角形面积公式：设，，则；②过双曲线上一点A作两条渐近线的平行线，他们与渐近线围成的平行四边形的面积为定值，上面的解法2就是该结论的证明过程.变式已知A为双曲线的右顶点，过A作C的两条渐近线的平行线，分别与双曲线的渐近线交于M、N两点，若四边形的面积为，则双曲线C的离心率为_______.【解析】解法1：由题意，，双曲线的两条渐近线分别为如图，直线的方程为与联立可解得：，，所以由对称性可得点N的坐标为，显然四边形是菱形，其面积，由题意，，所以，故双曲线C的离心率.解法2：由本节的结论3，四边形的面积所以，离心率.【答案】2【例4】已知双曲线，过点的直线l与双曲线C有且仅有1个公共点，且直线l与双曲线的两条渐近线分别交于点A和B，则的面积为_______.【解析】解法1：设直线l的方程为，代入消去x整理得：，显然，因为直线l与双曲线C只有1个交点，所以，解得：，所以直线l的方程为，由对称性，不妨考虑，即，双曲线C的渐近线为，联立解得：，所以联立解得：，所以，如图，.解法2：由题意，直线l是双曲线C的切线，根据本节的结论4，..【答案】5【例5】已知直线与双曲线的渐近线交于A、B两点，若的中点为，则双曲线C的渐近线方程为_______.【解析】解法1：如图，双曲线C的两条渐近线为联立，解得：，所以，联立，解得：，所以，因为中点为，所以，从而，化简得：，所以双曲线C的渐近线方程为.解法2：如图，由题意，直线的斜率为1，直线的斜率为，由本节的结论5，双曲线C的渐近线方程为【答案】变式（2014·浙江）设直线与双曲线的两条渐近线分别交于点A、B，若点满足，则该双曲线的离心率是_______.【解析】解法1：如图，双曲线的两条渐近线，联立可解得：，所以，联立可解得：，所以，从而中点M的坐标为，因为点满足，所以，显然直线的斜率为，所以，化简得：，不妨设，，则半焦距，所以双曲线的离心率.解法2：如图，取中点M，因为点满足，所以，显然直线的斜率为，所以的斜率为，故直线的方程为，联立可解得：，所以，从而直线的斜率，由本节的结论5，，所以，进一步可求得离心率.解法3：如图，取中点M，设直线与x轴交于点Q，记，则，因为点满，所以，显然中点为原点，所以，故，从而，所以，由本节的结论5，所以，进一步可求得离心率.【答案】强化训练1.（★）已知双曲线的一个焦点为F，则F到双曲线C的渐近线的距离为_______.【解析】由题意，双曲线C的虚半轴长，所以F到双曲线C的渐近线的距离为2.【答案】22.（2018·天津·★★★）已知双曲线的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点.设A、B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的方程为（）A. B. C. D.【解析】解法1：渐近线为，过右焦点且垂直于x轴的直线为，即，联立解得：，不妨设，，由对称性，渐近线不妨取，则，所以，故双曲线为.解法2：如图，由对称性，中点为右焦点F，F到渐近线的距离为3，所以，又所以，故双曲线C的方程为【答案】C3.（★★★）己知双曲线的左、右焦点分别为、，过的直线与双曲线C的一条渐近线交于点P，且，直线与双曲线的另一渐近线交于点Q，若，则双曲线C的离心率为_______.【解析】点P在以为直径的圆上，如图，由本节的结论2，点P的坐标为，又，且，所以，故，因为点Q在双曲线的另一条渐近线上，所以，化简得双曲线C的离心率.【答案】44.（★★★）已知双曲线的左、右焦点分别为、，过且斜率为的直线与双曲线C的渐近线在第一象限交于点P，若，则双曲线C的离心率为_______.【解析】如图，设，，则，直线的方程为，联立，解得：，故，因为，所以直线的斜率为，从而，整理得：，不妨设，，则，所以双曲线C的离心率.解法2：如图，设，则，因为，O为的中点，所以，从而，故，所以，即直线的斜率为，直线是双曲线C的渐近线，其方程为，所以，不妨设，，则，所以双曲线C的离心率.解法3：如图，由题意，，根据本节的结论3可得点P的坐标为，又，且直线的斜率为，所以，从而，故，所以，从而，两端同除以可得：，解得：或（舍去）.【答案】5.（★★★）己知P为双曲线上一点，过P作C的两条渐近线的平行线，与两条渐近线分别交于M、N两点，则平行四边形的面积为_______.【解析】由本节的结论3，四边形的面积为.【答案】16.（★★★）已知直线与双曲线的两条渐近线分别交于A、B两点，若的中点为，则_______.【解析】由题意，直线的斜率为1，直线的斜率为4，如图，根据本节的结论5，，结合可得.【答案】27.（★★★★）已知双曲线的右焦点为，左、右顶点分别为A和B，且P为C上不与A、B重合的一点，直线、的斜率之积为3.（1）求双曲线C的方程；（2）过点P的直线l与双曲线C有且仅有1个交点，与C的渐近线交于M、N两点，求的面积.【解析】（1）由题意，，