专题11解三角形-常规型

专题1.1解三角形常规型1．解三角形一般需要三个条件，如果条件不齐，则只能求角或者求范围．2．解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值．3．在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．4．针对查利用正余弦定理解三角形，及利用基本不等式求三角形周长的最值，利用条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值，考查学生的转化能力与运算解能力，属于中档题．1．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．（1）求；（2）若，求的面积．【试题来源】安徽省芜湖市20212022学年高三上学期期末【答案】（1）；（2）14．【分析】（1）利用正弦定理及和角公式即得；（2）利用同角关系式及正弦定理可得，然后利用和角公式及三角形面积公式即求．【解析】（1）由正弦定理及，得，又，所以，代入上式得，又，故．（2）由（1）知，又，所以，由得到，所以的面积为14．2．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．（1）求角C；（2）若的外接圆半径为2，求面积的最大值．【试题来源】安徽省亳州市普通高中20212022学年高三上学期期末【答案】（1），（2）【分析】（1）利用正弦定理得到，从而得到；（2）利用正弦定理得到，根据余弦定理和基本不等式求出，进而求出面积的最大值．【解析】（1）因为，所以，由正弦定理得，因为，所以，故，，因为，所以；（2）根据正弦定理得，解得，根据余弦定理得，由基本不等式得，即，解得，当且仅当时等号成立，此时，所以面积的最大值为.3．在中，已知，．（1）若，求的面积；（2）若，求的周长．（参考数据：．）【试题来源】湖南省娄底市20212022学年高三上学期期末教学质量检测【答案】（1），（2）【分析】（1）首先利用正弦定理得到，再利用面积公式求解即可．（2）首先设，，利用余弦定理得到，再求周长即可．【解析】（1）在中，由正弦定理得，，所以，所以三角形面积为．（2）因为，所以可设，，在中，由余弦定理得，，因为，，所以，解得，所以三角形的周长为．4．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且的面积为．（1）求角A；（2）若，求的周长．【试题来源】安徽省阜阳市20212022学年高三上学期期末教学质量统测【答案】（1），（2）【分析】（1）利用余弦定理进行求解；（2）利用正弦定理得到，结合面积公式得到，进而求出，进而求出的周长．【解析】（1）因为，所以，由余弦定理得，又，所以．（2）由及正弦定理可得，又的面积为．所以，则，解得，所以，所以的周长为．5．在平面四边形ABCD中，∠BAD＝2∠ACB＝4∠BAC，AB＝2，BC＝－，CD＝．（1）求∠ACB的大小；（2）求四边形ABCD的面积．【试题来源】江苏省南通市海安市20212022学年高三上学期期末【答案】（1），（2）【分析】（1）根据正弦定理及二倍角公式即可求解；（2）由（1），分别运用正弦定理和余弦定理求出相关边长，再由面积公式计算即可．【解析】（1）由题意，设，则，，在中，由正弦定理有，即，解得．所以，因为，所以．（2）由（1），可知，由正弦定理有，即，解得，在中，由余弦定理有，即，解得，四边形ABCD的面积．6．在△ABC中，已知．（1）求cosB的值；（2）若D在AB边上，且满足AD＝BC，∠BDC＝2B，求tanA的值．【试题来源】江苏省南通市海门区20212022学年高三上学期期末【答案】（1），（2）【分析】（1）首先根据正弦定理得到，再利用余弦定理求解即可．（2）首先根据正弦定理得到，从而得到，再结合求解即可．【解析】（1）因为，得，即，由余弦定理．（2）设，在中，，①，在△ACD中，，因为，所以②，由①②得，，所以，因为，所以所以．由（1）知，，又，所以，所以，，则＝．7．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足A，B，C成等差数列，且．（1）求的值；（2）若，求的面积．【试题来源】江西省赣州市2022届高三上学期期末【答案】（1）1，（2）【分析】（1）根据A，B，C成等差数列可求出，再结合余弦定理即可求出；（2）由题意结合两角和的正弦公式可求出，再根据正弦定理以及（1）中结果可求出，然后根据即可求出的面积．【解析】（1）由A，B，C成等差数列，即，结合内角和定理得，由余弦定理知，把代入得．（2）由，，从而，再由正弦定理：，结合，解得，故的面积为．8．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求角C的大小；（2）若的面积，求ab的最小值．【试题来源】海南省2022届高三学业水平诊断（二）【答案】（1）；（2）48．【分析】（1）由正弦定理及三角形内角的性质可得，即可得C的大小；（2）根据三角形面积公式、余弦定理，结合基本不等式即可求ab的最小值，注意等号成立条件．【解析】（1）由已知及正弦定理得，又，所以，即且，所以．（2）由题意知，即，由余弦定理知，即，因此，当且仅当时取等号，所以ab的最小值为48．9．若的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，，且．（1）求c；（2）若，过点C作，垂足为H，若，求的面积S．【试题来源】安徽省示范高中20212022学年高三上学期冬季联赛【答案】（1），（2）【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理变形可求出结果；（2）在两个直角三角形中利用勾股定理列式求出和，再根据三角形的面积公式可求出结果．【解析】（1）由，得，所以，因为，所以，所以．（2）如图所示：因为，又，故，所以，所以，所以，所以，所以的面积为，故的面积为3．10．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．（1）求A；（2）若的周长为15，且，求的面积．【试题来源】安徽省芜湖市20212022学年高三上学期期末【答案】（1），（2）【分析】（1）利用二倍角公式化简，结合三角函数间的关系，可求得答案；（2）利用正弦定理化简，再结合余弦定理，得到边之间的关系，解方程组得边长，求得答案．【解析】（1）因为，所以，故，因为，故；（2）由得，由余弦定理得，因为，解得，所以．11．在中，角、、所对的边分别为、、，向量，向量，且．（1）求角的大小；（2）若，求面积的最大值．【试题来源】甘肃省金昌市20212022学年高三上学期第一次联考【答案】（1），（2）【分析】（1）由向量共线的坐标表示得到，利用正弦定理和余弦定理可得答案；（2）由利用基本不等式可得的范围，再由面积公式可得答案．【解析】（1）因为，所以，由正弦定理得即，由余弦定理得所以，所以．（2）因为，，所以，当且仅当等号成立，所以，所以面积的最大值为．12．已知a，b，c分别为锐角三个内角A，B，C的对边，．（1）求；（2）若，求的周长．【试题来源】安徽省部分学校20212022学年高三上学期期末联考【答案】（1），（2）【分析】（1）根据正弦定理，边化为角，利用两角和的正弦公式化简，即可得答案；（2）根据已知，利用余弦定理求得，即可求得答案．【解析】（1）在中，由正弦定理得，又，所以，因为是锐角三角形，所以，故．（2）在中，由余弦定理得，又，代入上式得所以，故，又，所以的周长为．13．在四边形ABCD中，已知，，．（1）求四边形ABCD的面积；（2）求的值．【试题来源】安徽省淮南市2022届高三上学期一模【答案】（1）；（2）．【分析】（1）由已知及向量数量积的定义可得，根据余弦定理求，再由勾股定理及已知条件得、，最后由面积公式求ABCD的面积即可．（2）△中应用正余弦定理求即可．【解析】（1），，，可得，，则，，，，故，又，，故，所以四边形ABCD的面积．（2）在△中，，，．14．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．（1）求C；（2）若，，点D在边AB上，且，求CD的长．【试题来源】重庆市2022届高三第一次联合诊断【答案】（1），（2）【分析】（1）由已知借助正弦定理进行边角转化，然后再使用余弦定理，即可求解出C；（2）借助第（1）问角C及已知条件，利用余弦定理先求解出b，然后通过找到与b之间的关系，即可完成求解．【解析】（1）由已知借助正弦定理可得，即，即，，故；（2）由余弦定理知，所以，由知，，即．15．在中，角，，的对边分别为，，，的面积为．（1）求角的大小；（2）若，，求的面积．【试题来源】江西省八一中学等名校2022届高三上学期期末联考【答案】（1），（2）【分析】（1）根据三角形面积公式和余弦定理得，进而得；（2）由题知，进而结合正弦定理得，再计算面积即可得答案．【解析】（1）因为的面积为，所以，又，所以，所以，又，所以．（2）因为，，所以．由正弦定理，得，所以，所以的面积为．16．设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，点M为AC的中点，且．（1）求角的大小；（2）若，求的面积．【试题来源】上虞区20212022学年高三上学期期末【答案】（1）．（2）【分析】（1）利用正弦定理转化得，即可求出；（2）利用向量法求出边长，代入面积公式即可求出．【解析】（1）在中，因为，由正弦定理得．因为，所以，所以可化为．因为，所以，消去得．当时，不成立，所以，所以，所以．因为，所以．（2）因为M为AC的中点，所以，所以，即．因为，，代入得，解得（舍去）．所以的面积为．17．已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求A；（2）若，求a的最小值．【试题来源】湖北省十堰市20212022学年高三上学期元月期末【答案】（1），（2）【分析】（1）化成含的一元二次方程求解；（2）利用余弦定理和基本不等式求最小值．【解析】（1）因为，所以，所以，或（舍去）．又为锐角三角形，所以．（2）因为，当且仅当时，等号成立，所以．故a的最小值为．18．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求角C；（2）若，且的面积为，求的周长．【试题来源】广东省2022届高三一轮复习质量检测【答案】（1），（2）30【分析】（1）由正弦定理边角互化得，进而得；（2）根据面积公式得，进而结合已知得，，再根据余弦定理得，进而得周长．【解析】（1）由正弦定理得，因为，所以，即，因为，所以．（2）由（1）得，，所以，所以，又，解得，，由余弦定理可得，所以，所以的周长为．19．锐角中，角、、所对的边分别为、、，且．（1）求角的大小；（2）若边，边的中点为，求中线长的取值范围．【试题来源】安徽省江淮十校20212022学年高三上学期11月第二次联考【答案】（1）；（2）．【分析】（1）利用正弦定理化简可得出，结合角为锐角可求得结果；（2）由余弦定理可得出，利用平面向量的线性运算可得出，由平面向量数量积的运算可得出，利用正弦定理结合正弦型函数的基本性质可求得的取值范围，可得出的取值范围，即可得解【解析】（1）由正弦定理得因角、为锐角，所以，，于是，即，又角为锐角，则．（2）由余弦定理得，于是，因，两边同时平方得，由正弦定理得，所以，因0<B<π2C+B>π2，解得，则，，