专题42导数在研究函数单调性的应用

专题4.2导数在研究函数单调性的应用题型一利用导数求函数的单调区间题型二利用导函数图象确定原函数图象题型三利用原函数图象确定导函数图象题型四已知函数在区间上递增（减）求参数题型五已知函数存在单调区间求参数题型六已知函数在区间上不单调求参数题型七利用函数单调性比较大小题型八利用函数单调性解决抽象不等式题型一 利用导数求函数的单调区间例1．（2023春·甘肃兰州·高三兰大附中校考阶段练习）函数的单调递减区间为______．【答案】/【分析】利用导数求得的单调递减区间.【详解】函数的定义域为，∵，令得，∴函数的单调递减区间是．故答案为：例2．（2023春·天津南开·高三天津二十五中校考阶段练习）函数的单调减区间是（

）A． B． C．， D．【答案】D【分析】由函数的导数小于零，解不等式即可求解.【详解】，，令，解得，所以函数的单调递减区间是.故选：D练习1．（2023·全国·高三对口高考）函数的严格增区间是______．【答案】【分析】对求导,使其大于零,解得即可.【详解】解:由题知,所以,令,解得,所以的严格增区间是.故答案为:练习2．（2023春·江苏南京·高二南京市秦淮中学校考阶段练习）已知定义在区间上的函数，则的单调递增区间为______．【答案】【分析】对求导，求出的解即可求出答案.【详解】因为,则令,即,且所以,所以的单调递增区间为故答案为：练习3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则的单调递增区间为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据对数真数大于零可构造不等式组求得函数定义域；利用导数可求得函数单调递增区间.【详解】由得：，即的定义域为；，当时，；当时，；的单调递增区间为.故选：A.练习4．（2023秋·山东东营·高三东营市第一中学校考期末）函数的单调递增区间为___________．【答案】，【分析】对函数求导，判断导函数的正负，导函数分子无法判断正负，再对分子求导，利用导函数的单调性来判断导函数的正负，进而得出原函数的单调区间.【详解】因为函数，则．设，则，当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减，所以当时，，则当时，．所以的单调递增区间为，，故答案为：，.练习5．（2023·高三课时练习）函数（a、b为正数）的严格减区间是（

）．A． B．与C．与 D．【答案】C【分析】由题得，再利用导数求出函数的单调递减区间得解.【详解】解：由题得.由，令解得或．所以函数的严格减区间是与.选项D，本题的两个单调区间之间不能用“”连接，所以该选项错误.故选：C题型二 利用导函数图象确定原函数图象例3．（2023春·安徽安庆·高三安徽省宿松中学校考期中）（多选）如图是函数的导函数的图象，，则下列判断正确的是（

）A．单调递增区间为 B．C． D．【答案】ABD【分析】由导函数图象的符号判断函数在各区间的单调性，再结合函数的性质得出结果.【详解】对于A，由题图知当时，，所以在区间上，单调递增，故正确；对于B，当时，单调递减，在上，单调递增；当时，单调递减，所以，故B正确；对于C，不一定是函数的最大值，最大值可能由区间的端点产生，所以错误；对于D，当时，，单调递减，所以，故D正确；故选：ABD.例4．（2022春·安徽滁州·高三校考期末）定义在R上的函数的导函数为，且的图像如图所示，则下列结论正确的是（

）A．函数在区间上单调递减 B．函数在区间上单调递减C．函数在处取得极大值 D．函数在处取得极小值【答案】D【分析】先由函数图像得到在各区间上的正负，再判断单调性及极值即可.【详解】由图像知：当时，，当时，，当时，，则函数在区间上单调递增，A错误，B错误；函数在区间上单调递减，C错误；函数在单减，在上单增，在处取得极小值，D正确.故选：D.练习6．（2022·全国·高三专题练习）函数的导函数的图象大致如下图，则可能是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】对其求导之后，由导函数的奇偶性排除CD，再由选项B中该函数的二阶导函数判定其一阶导函数应在上单调递增，即可判定答案.【详解】由图可知，的导函数是一个奇函数，其中选项CD的导函数分别为，其，都为非奇非偶函数，即可排除C,D，其中选项B的其中在显然在上单调递增，与图象不符，错误，故选：A【点睛】本题考查导数的计算，还考查了利用导数分析函数的单调性，以及函数奇偶性的几何意义，属于简单题.练习7．（2023·高二课时练习）将和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是A． B．C． D．【答案】D【分析】根据导函数与原函数图象之间的关系，结合选项进行逐一分析即可.【详解】根据，则单调递增；，单调递减，容易判断正确；对选项：取与轴的两个交点的横坐标为数形结合可知当时，，故此时函数应该在此区间单调递减，但从图象上看不是单调递减函数，故该选项错误.故选：D.【点睛】本题考查原函数与导函数图象之间的关系，属基础题.练习8．（2023·高二课时练习）（多选）已知函数的导函数的图象如图所示，那么下列图象中不可能是函数的图象的是A． B．C． D．【答案】BCD【分析】根据导函数的图像，确定函数单调性，进而可判断出结果.【详解】由导函数图像可得：当时，，即函数在上单调递增；当时，，即函数在上单调递减；当时，，即函数在上单调递增；故BCD错误，A正确.故选：BCD.【点睛】本题主要考查由导函数的图像判定原函数的大致图像，属于基础题型.练习9．（2022·全国·高三专题练习）已知定义在上的函数的图象（如图所示）与轴分别交于原点、点和点，若和3是函数的两个零点，则不等式的解集（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】B【分析】根据的图像可得在上的正负值，进而求得原函数的单调性，再结合的零点画出的简图，进而求得不等式的解集.【详解】由图，当时，故，为减函数；当时，故，为增函数；当时，故，为减函数；由图，当时，故，为增函数；又和3是函数的两个零点，画出的简图如下：故不等式的解集为.故选：B【点睛】本题主要考查了根据关于导函数的图像，分析原函数单调性从而求得不等式的问题.需要根据题意分段讨论导函数的正负,属于中档题.练习10．（2023春·北京大兴·高二北京市大兴区第一中学校考阶段练习）已知函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可以是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据导数的正负与函数单调性的关系确定正确选项（实际上排除错误选项）．【详解】根据导函数的正负与原函数的单调性的关系，结合导函数的图象可知，原函数先单调递增，再单调递减，最后缓慢单调递增，选项C符合题意，故选：C．【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性．根据导函数绝对值的大小得出原函数增减速度的快慢是解题的关键．题型三 利用原函数图象确定导函数图象例5．（2022·全国·高三专题练习）函数在定义域内可导，图像如图所示，记的导函数为，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】的解集即为单调递增区间，结合图像理解判断．【详解】的解集即为单调递增区间结合图像可得单调递增区间为则的解集为故选：C．例6．（2023·全国·高三专题练习）设是函数f（x）的导函数，若函数f（x）的图象如图所示，则下列说法错误的是（

）A．当时， B．当或时，C．当或时， D．函数f（x）在处取得极小值【答案】D【分析】根据导数的正负与函数的增减以及极值点的定义判断.【详解】A.由图象知：当时，函数f（x）递增，所以，故正确；B.由图象知：当或时，函数f（x）递增，所以，故正确；C.由图象知：当或时，函数f（x）分别取得极小值和极大值，故正确；D.由图象知：函数f（x）在处取得极大值，故错误；故选：D练习11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()的图象如图所示，则不等式的解集为_____．【答案】【分析】先由的图象得到函数的单调区间，从而可得和的解集，进而求出的解集.【详解】解：由的图象可知在和上单调递增，在上单调递减，所以的解集为，的解集为，由得或，所以的解集为，故答案为：【点睛】此题考查函数图象与其导数间的关系，属于基础题.练习12．（2023·高二课时练习）已知定义在区间上的函数的图象如图所示，若函数是的导函数，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由表示函数单调递增，根据函数图像，即可得出结果.【详解】因为时，函数单调递增，由图像可得：当时，函数单调递增，因此的解集为.故选：A.【点睛】本题主要考查由函数图像确定函数的单调区间，熟记导函数与原函数图像之间关系即可，属于基础题型.练习13．（2023春·陕西咸阳·高二校考期中）函数的图象如图所示，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】原不等式等价于或,然后根据图象分段考察导数的正负区间，即可求得答案.【详解】不等式等价于或,由函数的图象可知，在时，函数的单调递减区间为的解集为,在时，的对应区间为,∴的解集为，的解集为不等式的解集为，故选：D.【点睛】本题考查根据函数的图象求与导数有关的不等式的解集问题，涉及导数的正负与函数的单调性的关系，关键是将所求不等式转化为不等式组，结合图象观察导数为正值和负值的区间，体现了数形结合思想.练习14．（2023秋·江苏盐城·高二统考期末）设函数在定义域内可导，的图像如图所示，则导函数的图象可能为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据函数的单调性得到导数的正负，从而得到函数的图象.【详解】由函数的图象可知，当时，单调递增，则，所以A选项和C选项错误；当时，先增，再减，然后再增，则先正，再负，然后再正，所以B选项错误.故选：D.【点睛】本题主要考查函数的单调性和导数的关系，意在考查学生对该知识的掌握水平，属于基础题.一般地，函数在某个区间可导，，则在这个区间是增函数；函数在某个区间可导，，则在这个区间是减函数.练习15．（2023春·浙江·高三阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求得函数的导数，根据函数的单调性可判断A选项的正误，利用、、的符号可分别判断D、B、C选项的正误.【详解】，，令，由图象可知，函数先减后增再减，则，可得，A选项错误；，则，则，D选项错误；，则，B选项正确；，则，C选项错误.故选：B．题型四 已知函数在区间上递增（减）求参数例7．（2022春·四川绵阳·高二校考期中）若函数定义域上单调递减，则实数的最小值为（

）A．0 B． C．1 D．2【答案】C【分析】根据单调性可得在上恒成立，即，构造，求导数分析单调性求最大值即可得解.【详解】由函数定义域上单调递减，得在上恒成立，即，令，，在上，，单调递增；在上，，单调递减；所以，所以.故选：C.例8．（2022·全国·高三专题练习）若函数在区间是增函数，则的取值范围是_________．【答案】【分析】先求导，根据题意在上恒成立，整理即得在上恒成立，再求的值域即得结果.【详解】由知，,时，是增函数，，又，∴在上恒成立，而，．故答案为：．【点睛】思路点睛：已知函数单调性求参数取值范围通常有以下思路：函数在区间I上递增，则恒成立；函数在区间I上递减，则恒成立.练习16．（2023春·陕西延安·高二校考期末）若函数在上单调递增，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用导数，通过构造法，结合余弦函数的性质、反比练习函数的性质进行求解即可.【详解】，因为函数在上单调递增，所以当时，恒成立，因为，所以，于是有，设，因为函数在是单调递增函数，所以，因此当时，恒成立，只需，故选：D练习17．（2023·全国·高三专题练习）若函数在区间内单调递减，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出导数，由题意得在上恒成立，由分离参数思想可得结果.【详解】由得，由于函数在区间内单调递减，即在上恒成立，即，即得在恒成立，所以，故选：D.练习18．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在上是增函数，在上是减函数，且方程有3个实数根，它们分别是，，2，则的最小值是（

）A．5 B．6 C．1 D．8【答案】A【分析】根据已知条件求得，则转化为，然后根据的范围求值域即可.【详解】由得，因为在上是增函数，在上是减函数，所以，所以，此时的另外一个根，所以，因为方程有3个实数根，它们分别是，，2，所以，所以且，所以则所以，因为，所以，所以的最小值是5.故选：A．练习19．（2023·全国·高三专题练习）设函数.（1）若，求函数的单调区间；（2）若在定义域上是增函数，求实数a的取值范围.【答案】（1）单调递增区间为和，单调递减区间为；（2）.【分析】（1）根据，解得，得到，利用导数的符号，即可求得函数的单调区间；（2）把在定义域上是增函数，转化为当时，不等式恒成立，分类参数，转化为对恒成立，结合基本不等式，即可求解.【详解】（1）由题意，函数的定义域为，且，因为，解得，所以，令，即，解得或；令，即，解得，所以函数的单调递增区间为和，单调递减区间为.（2）若在定义域上是增函数，则对恒成立，因为，即时，不等式恒成立，即对恒成立，因为，当且仅当时取等号，所以，即实数a的取值范围是.【点睛】对于已知函数的单调性求参数问题：（1）已知可导函数在区间上单调递增，转化为区间上恒成立；（2）已知可导函数在区间上单调递减，转化为区间上恒成立；（3）已知可导函数在区间上存在增区间，转化为在区间上有解；（4）已知可导函数在区间上存在减区间，转化为在区间上有解.练习20．（2023春·山东枣庄·高二校考阶段练习）已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据在上单调速增，由在上恒成立求解.【详解】因为函数在上单调速增，所以在上恒成立，即所以在上恒成立，因为，所以，经检验等号成立，所以实数a的取值范围是，故选：D【点睛】方法点睛：若可导函数f(x)在指定的区间D上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到．题型五 已知函数存在单调区间求参数例9．（2020春·四川绵阳·高三绵阳南山中学实验学校校考开学考试）若函数存在单调递增区间，则实数的取值范围为____________.【答案】【解析】由题意知，存在使得，利用参变量分离法得出，利用基本不等式求出在时的最小值，即可得出实数的取值范围.【详解】，定义域为，，由题意可知，存在使得，即.由基本不等式可知，当时，，当且仅当时，等号成立.所以，，因此，实数的取值范围是.故答案为：.【点睛】本题考查利用函数单调区间的存在性求参数，考查参变量分离法的应用，考查计算能力，属于中等题.例10．（2011秋·山东济宁·高三阶段练习）函数在上存在单调递增区间的充要条件是______【答案】【分析】先将函数在上存在单调递增区间的问题转化为其导函数在上能成立问题，利用分离参数思想在上能成立，，通过导数判断的单调性，求出范围即可.【详解】，∵函数在上存在单调递增区间∴在上能成立，即，化简得在上能成立，设，则在恒成立，∴在上单调递减，且∴，即函数在上存在单调递增区间的充要条件是故答案为：.练习21．（2022春·全国·高二期末）已知函数(1)若，求的增区间；(2)若，且函数存在单调递减区间，求的取值范围；【答案】(1)(2)【分析】（1）根据函数的定义域以及即可求出的增区间；（2）根据题意可知，在上有解区间，再分参转化为求最值，即可求出的取值范围；(1)的定义域是，时，，令，得，∴函数的增区间是.(2)，由函数存在单调递减区间，知在上有解区间，∴，即，而，当且仅当时取等号，∴，（当时，不等式只有唯一的解，不符题意舍去），又，∴的取值范围是．练习22．（2023·全国·高二周测）已知，若对任意两个不等的正实数都有恒成立，则的取值范围是___，若在区间上存在单调递增区间，则的取值范围是________．【答案】【分析】将不等式等价变形成，构造函数，利用函数单调性得解；由函数的导函数大于0在上有解即可作答.【详解】因对任意两个不等的正实数都有，则不妨令，于是有，设函数，依题意，是定义域上的增函数，则有，而当时，取得最大值1，从而得，所以的取值范围是；因在区间上存在单调递增区间，则不等式，即在上有解，而时，，于是得，所以的取值范围是.故答案为：；练习23．（2022春·黑龙江哈尔滨·高二校考期末）若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是(

)A． B．C． D．【答案】D【分析】利用导数研究函数的单调性，f(x)在内存在单调增区间，等价于在上有有解，然后参变分离即可求解﹒【详解】∵函数在区间内存在单调递增区间，∴在区间上有解(成立)，即在区间上成立，又函数在上单调递增，∴函数在上单调递增，故当时，取最小值，即，即，得．故选：D﹒练习24．（2023·高二课时练习）若函数在上存在单调递减区间，则m的取值范围是______．【答案】【分析】先对求导，将问题转化为在上有解，即在上有解，利用换元法与基本不等式求出的最大值即可得解.【详解】因为，所以，则原向题等价于在上有解，即在上有解，即在上有解，令，则，，所以，当且仅当，即时，等号成立，此时，所以，则，所以，即.故答案为：.练习25．（2023·四川乐山·统考三模）已知函数．(1)若在区间(0，1)上存在单调递增区间，求a的取值范围；【答案】(1)【分析】（1）求出，对分类讨论确定是否在上可能成立即可得；【详解】（1）由，得，①若，则，此时f（x）在区间(0,1)上单调递增，满足条件；②若，令，可知时，g(x)单调递增，由于f（x）在区间(0,1)上存在单调递增区间，则即在(0,1)上有解，由于在(0,1)上单调递减，则，此时．综上所述，若f（x）在区间(0,1)上存在单调递增区间，则a的取值范围是．题型六 已知函数在区间上不单调求参数例11．（2022秋·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考阶段练习）若函数在上不单调，则实数a的取值范围是______.【答案】【分析】转化为导函数在存在变号零点，求出导函数的零点，列式可解得结果.【详解】因为函数在上不单调，所以函数在存在变号零点，由可得：，，于是，解得：5.故答案为：例12．（2023·全国·高三专题练习）若函数在定义域上不单调，则正整数的最小值是______．【答案】3【分析】求导，令，得到，再根据，且求解.【详解】解：因为函数，所以，令，得，因为，且，所以，当时，，则单调递增，当时，当时，；当时，，所以不单调递增，所以正整数的最小值是3，故答案为：3练习26．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在区间上不是单调函数，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】把题意转化为在内应有异号实数根，利用零点存在定理列不等式即可求得.【详解】∵，∴∵函数在区间上不是单调函数∴在区间上有根∴当a＝0时，x＝－1不满足条件当时，∵，∴，∴.故选：D．练习27．（2022·江苏·高二专题练习）已知函数(1)求的单调区间；(2)若函数在区间上不单调，则t的取值范围．【答案】(1)在和上单调递减，在上单调递增(2)【分析】（1）求导分析导函数的正负区间，进而确定的单调区间即可；（2）求导得到函数的极值点，利用极值点在区间（t，t＋1）内可满足条件，再建立不等式即可求解.【详解】（1）由题意知，由得x＝1或x＝3，时，；时，或，所以在和上单调递减，在上单调递增，（2）由（1）函数f(x)的极值点为x＝1,3.因为函数f(x)在区间[t，t＋1]上不单调，所以或解得或，即t的取值范围为练习28．（2022春·四川成都·高二校考期中）函数在区间上不单调，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出的解，根据该解在上可求实数的取值范围.【详解】，令，则或（舍），因为在区间上不单调，故即，故选：A.练习29．（2023·全国·高二专题练习）已知函数在其定义域内的一个子区间上不单调，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用导数求得的单调性和极值点，由题意得极值点在区间内，结合定义域，即可得答案.【详解】由题意得，令，解得或（舍），当时，，则为减函数，当时，，则为增函数，所以在处取得极小值，所以，解得，又为定义域的一个子区间，所以，解得，所以实数的取值范围是.故选：A练习30．（2022秋·山西·高三统考阶段练习）函数在R上不单调，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】对求导，根据定义域上有正有负及三角函数的性质确定参数范围.【详解】由，而，要使在R上不单调，则.故选：D题型七 利用函数单调性比较大小例13．（2023春·河南洛阳·高三统考期中）已知，，，且，，，其中是自然对数的底数，则实数，，的大小关系是____________.（用“<”连接）【答案】【分析】构造函数，，，，，分别利用导数研究函数在上的单调性和在上的单调性，即可比较大小.【详解】设，，则，，由题意知，，，，因为在上恒成立，所以在上单调递增，所以，即，因为在上恒成立，所以在上单调递减，所以.故答案为：例14．（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）已知，，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据给定条件，构造函数，，再利用导数探讨单调性，即可比较大小作答.【详解】设，则，从而在上单调递增，则，即，设，则，从而在上单调递增，则，即，所以．故选：D练习31．（2022·全国·高二期末）已知，，，则，，的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据已知，通过构造函数，利用导数研究函数的单调性，再利用单调性比较函数值的大小.【详解】因为，，，所以构造函数，因为，由有：，由有：，所以在上单调递减，因为，，,因为，所以，故A，B，D错误.故选：C.练习32．（山东省德州市20222023学年高二下学期期中数学试题）（多选）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】BD【分析】移项可得，，根据函数的单调性可得，再根据指对幂函数的单调性即可判断各选项的真假．【详解】由题可得，，设，，所以，即函数在上递增，所以由可得：．对于A，由函数在上递减，所以当时，，A错误；对于B，易知函数在上递增，所以当时，，即，B正确；对于C，当时，若，则，C错误；对于D，因为函数在上递增，所以当时，，D正确．故选：BD．练习33．（2023春·山东青岛·高二青岛市即墨区第一中学统考期中）已知，，．其中为自然对数的底数，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据给定条件，构造函数，借助导数探讨单调性，再比较大小作答.【详解】当时，令，求导得，因此函数在上递增，函数在上递增，于是，即有，，即有，所以.故选：D练习34．（2023·安徽·校联考模拟预测）已知实数，且，，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由已知可得，，，故考虑构造函数，利用导数研究函数的单调性，结合单调性可得，由此比较的大小.【详解】由，，，可得，，．令，则，当时，，则在上单调递减，当时，，则在上单调递增，所以，所以，又，．故选：D．练习35．（山西省大同市2023届高三下学期5月质量检测数学试题）已知，，，则a，b，c的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】通过构造函数，利用导数求函数的单调性，比较各式的大小.【详解】，设，函数定义域为，则，故在上为增函数，有，即，所以，故.设，函数定义域为，则，，解得；，解得，所以函数在上单调递增，在上单调递减.当时，取最大值，所以，即，时等号成立，所以，即，又，所以.故选：D．题型八 利用函数单调性解决抽象不等式例15．（2023春·上海浦东新·高三上海市川沙中学校考期中）已知定义在上的函数，其导函数为，若，，则不等式的解集是______．【答案】【分析】不等式转化为，令，利用导数说明函数的单调性，结合单调性解函数不等式.【详解】不等式转化为，令，则，在上单调递减，，，的解集为，即不等式的解集为.故答案为：例16．（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中统考三模）已知函数，对任意的，都有，当时，，若，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】令，求得，得到为上的奇函数，根据题意求得，进而得到函数在上为减函数，把不等式，转化为，即可求解.【详