专题03数列（分层训练）-2021年暑期高二升高三数学辅导讲义（人教A版2019）

专题03数列A组基础巩固1．（多选题）（2021·辽宁高二期末）我国古代数学名著《九章算术》中记载有“耗子穿墙”问题：今有垣厚五尺两鼠对穿大鼠日一尺，小鼠亦日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半．下列说法中正确的有（）A．大鼠与小鼠在第三天相逢 B．大鼠与小鼠在第四天相逢C．大鼠一共穿墙尺 D．大鼠和小鼠穿墙的长度比为【答案】ACD【分析】设需要天时间才能打穿，根据大鼠日穿墙尺数构成以为首项，为公比的等比数列，小鼠日穿墙尺数构成以为首项，为公比的等比数列，再根据等比数列求和公式列出不等式求出，即可判断A、B的正误；根据题意可知，第一天大鼠打了1尺，小鼠也打了1尺，第二天，大鼠打了2尺，小鼠打了尺，设第三天大鼠打了尺，则小鼠打了尺，根据时间相等列出方程，即求出，然后分别求出大鼠、小鼠穿墙的的尺数，即可判断C、D的正误.【详解】设需要天时间才能打穿，根据题意可知，大鼠日穿墙尺数构成以为首项，为公比的等比数列，小鼠日穿墙尺数构成以为首项，为公比的等比数列，则有，即，令，因为是单调增函数，且，，所以需要天时间才能打穿，故A正确；根据题意可知第一天大鼠打了1尺，小鼠也打了1尺，第二天大鼠打了2尺，小鼠打了尺，设第三天大鼠打了尺，则小鼠打了尺，则有，解得，所以三天总的来说，大鼠打了(尺)；小鼠打了(尺)，故大鼠和小鼠穿墙的长度比为，故C、D正确.故选：ACD2．（2021·河南高二期末（文））已知等比数列是递增数列，若，且，，成等差数列，则的前4项和（）A．4 B．40 C．4或40 D．15【答案】B【分析】设的公比为，由等差数列性质列方程解得，再由等比数列前项和公式计算．【详解】解：设的公比为，由于，，成等差数列，所以．因为，所以，即解得（舍去），或，所以．故选：B．3．（多选题）（2021·全国高三其他模拟）等差数列的前项和为，已知，，则（）A．B．的前项和中最小C．的最小值为49D．的最大值为0【答案】BC【分析】由已知条件先计算出和，然后计算的值对A进行判断；求出的表达式，计算出最小值即可对B进行判断；求出的表达式，运用导数求出最小值判断C选项；求出的表达式对D进行判断.【详解】设数列的公差为d，则

解得，，A错误；

，当n=5时取得最小值，故B正确；

，设函数，

则，当时，，

当时，，

所以，，且，，

所以最小值为49，C正确；，没有最大值，D错误．故选：BC4．（2020·海伦市第一中学高三月考）已知等比数列中，各项都是正数，且成等差数列，则A． B． C． D．【答案】C【详解】试题分析：由已知，所以，因为数列的各项均为正，所以，．故选C．考点：等差数列与等比数列的性质．5．（2019·全国高三专题练习）已知等差数列前项和为，若，，则（）A．110 B．150 C．210 D．280【答案】D【分析】由等差数列的性质可得，，，也成等差数列，由此求得的值.【详解】解：等差数列前项和为，，，也成等差数列故，又故选D.【点睛】本题主要考查了等差数列的定义和性质，等差数列前n项和公式的应用.6．（2021·四川遂宁市·射洪中学高一月考）已知数列满足，，则（）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先利用累加法求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法求出数列的和.【详解】由题知，数列满足，（），所以，，…，，上述式子相加得，，解得又符合上式，所以，.所以，，所以.故选：D.7．（理科数学2021年高三1月大联考（新课标Ⅲ卷））已知数列的通项公式为，，为其前项和，则当时，正整数的最大值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】由求出，并分别分析及的正负，进行判断即可.【详解】因为数列的通项公式为，，所以数列是首项为，公差为1的等差数列，所以．当时，，当时，．当时，，当时，．所以时，．故选：C．8．（2021·四川高三二模（文））已知数列的前项和为，且满足，则（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知递推关系构造数列，结合等比数列的定义判断其为等比数列，进而求得、，即可求.【详解】∵，∴，而当时，，即，则，∴数列是以为首项，为公比的等比数列，∴，即有，而，∴，故选：A.【点睛】关键点点睛：通过的递推关系构造数列，并确定其为等比数列，进而求、.9．（2021·贵州贵阳一中高三月考（理））记，分别为等差数列，的前项和，若，则__________.【答案】【分析】，分别为等差数列，的前项和，，不妨设，，可得时，；，即可得出结论．【详解】解：，分别为等差数列，的前项和，，不妨设，，时，；，则．故答案为：．10．（专题03判断或证明一个数列是等差数列或等比数列20202021学年高二数学数列专题复习课（人教A版2019选择性必修第二册））已知等比数列的前项和，其中是常数，则__________.【答案】【分析】由公式得,,进而根据题意得,解方程即可得答案.【详解】由于等比数列的前项和.当时，；当时，.由题意可知，满足，即，解得.故答案为：11．（2021·江苏高三期末）朱载堉（15361611）是中国明代一位杰出的音乐家、数学家和天文历算家，他的著作《律学新说》中制作了最早的“十二平均律”．十二平均律是目前世界上通用的把一组音（八度）分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的频率之比完全相等，亦称“十二等程律”，即一个八度13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音是最初那个音的频率的2倍．设第三个音的频率为，第七个音的频率为，则______．【答案】【分析】将每个音的频率看作等比数列，利用等比数列知识可求得结果.【详解】由题知：一个八度13个音，且相邻两个音之间的频率之比相等，可以将每个音的频率看作等比数列，一共13项，且，最后一个音是最初那个音的频率的2倍，，，，．故答案为：【点睛】关键点点睛：构造等比数列求解是解题关键.12．（2020·榆林市第一中学高二月考）设等比数列的前项和为，若，则______.【答案】【分析】由题意公比不为1，利用等比数列的求和公式求解即可.【详解】，否则.∴，∴.∴.故答案为：【点睛】本题主要考查了等比数列的求和公式，考查了计算能力，属于中档题.

B组能力提升13．（2021·福建高二期中）杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家，其著作《详解九章算术》中画了一张表示二项式展开式后的系数构成的三角形数阵(如图)，称做“开方做法本源”，现简称为“杨辉三角”，比西方的"帕斯卡三角形”早了300多年，若用表示三角形数阵中的第行第个数，则按照自上而下，从左到右顺次逐个将杨辉三角中二项式系数相加，加到这个数所得结果为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】用表示第行中所有数字的和，由图可得，要求前所的数的和，先求出前99行的所有数的和，再由杨辉三角发现，，从而可得，从而可得，观察每行的第3个数发现当时，，从而可求出，进而可求得结果【详解】解：由杨辉三角可知，第行中有个数，用表示第行中所有数字的和，因为时，，当时，，当时，，……所以由此可知，所以，由图可知，，所以,因为，所以，再观察每行的第3个数，,……，所以当时，，所以，所以所求的总和为故选：B14．（2021·河南洛阳市·高二期末（理））已知数列满足，为其前项和，若，则（）A． B． C． D．【答案】C【分析】已知等式中用替换得，两式相减得数列的递推关系，用分类讨论思想求得数列通项公式，然后分组求和．【详解】因为①，所以②由②－①得：，所以数列奇数项与偶数项均成公差为的等差数列当为奇数时，；当为偶数时，，又因为，所以，得，所以，所以．故选：C．15．（理科数学押第6题线性规划备战2021年高考数学（理）临考题号押题（新课标Ⅲ卷））设数列为等差数列，为数列的前项和，若，，，则的最大值为（）.A．B．C．D．【答案】D【分析】由题结合等差数列前n项和公式可得，转化为线性规划问题，画出不等式组表示的平面区域，数形结合可求出.【详解】可将此题看成关于和的线性规划问题，根据题意可知化简为，求的最大值，将其转化为求的最大值问题，作图，由，得，平移直线，由图可知，当直线过点时，有最大值，∴，即的最大值为.故选：D.【点睛】方法点睛：线性规划常见类型，（1）可看作是可行域内的点到点的斜率；（2），可看作直线的截距问题；（3）可看作可行域内的点到点的距离的平方.16．（2020·重庆高一期末）已知实数，，是与的等比中项，则的最小值是______.【