312椭圆的简单几何性质-2022-2023学年高二数学讲义（人教A版2019选择性）

椭圆的简单几何性质课程标准核心素养1.掌握椭圆的简单几何性质．2.通过椭圆与方程的学习，了解椭圆的简单应用，进一步体会数形结合的思想.直观想象数学运算知识点1椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)范围－a≤x≤a且－b≤y≤b－b≤x≤b且－a≤y≤a顶点A1(－a,0)，A2(a,0),_B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a),B1(－b,0)，B2(b,0)轴长长轴长＝eq\a\vs4\al(2a)，短轴长＝eq\a\vs4\al(2b)焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距|F1F2|＝eq\a\vs4\al(2c)对称性对称轴x轴和y轴，对称中心(0,0)离心率e＝eq\f(c,a)(0<e<1)（注：e＝eq\r(1－\f(b2,a2))＝eq\r(\f(1,1＋\f(b2,c2))).）注：(1)椭圆的焦点一定在它的长轴上．(2)椭圆上到中心的距离最小的点是短轴的两个端点，到中心的距离最大的点是长轴的两个端点．(3)椭圆上到焦点的距离最大和最小的点分别是长轴的两个端点，最大值为a＋c，最小值为a－c.(4)椭圆有四个顶点、两个焦点，共六个特殊点，研究椭圆时一定要注意这六个特殊点的位置．(5)已知椭圆的四个顶点，可以使用几何作图找出其焦点，方法是：以短轴的端点为圆心，a为半径作弧交长轴于两点，这两点就是该椭圆的焦点．(6)椭圆的离心率e的大小反映椭圆的扁平程度，e越大，椭圆越扁；e越小，椭圆越圆．拓展：用离心率e＝eq\f(c,a)来刻画椭圆的扁平程度．如图所示，在Rt△BF2O中，cos∠BF2O＝eq\f(c,a)，记e＝eq\f(c,a)，则0<e<1，e越大，∠BF2O越小，椭圆越扁；e越小，∠BF2O越大，椭圆越接近于圆．(7)常用椭圆方程的设法①与椭圆共焦点的椭圆方程可设为：②有相同离心率：（，焦点在轴上）或（，焦点在轴上）【即学即练1】求椭圆x2＋9y2＝81的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标．【解析】把已知方程化成标准方程为eq\f(x2,81)＋eq\f(y2,9)＝1，于是a＝9，b＝3，c＝eq\r(81－9)＝6eq\r(2)，所以椭圆的长轴长2a＝18，短轴长2b＝6，离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2\r(2),3).两个焦点的坐标分别为F1(－6eq\r(2)，0)，F2(6eq\r(2)，0)，四个顶点的坐标分别为A1(－9,0)，A2(9,0)，B1(0，－3)，B2(0,3)．【即学即练2】椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为()A．(±10,0) B．(±eq\r(69)，0)C．(0，±13) D．(0，±eq\r(69))【解析】由题意知椭圆焦点在y轴上，且a＝13，b＝10，则c＝eq\r(a2－b2)＝eq\r(69)，故焦点坐标为(0，±eq\r(69))．故选D【即学即练3】已知椭圆的短轴长和焦距相等，则a的值为（

）A．1 B． C． D．【解析】由题设易知：椭圆参数，即有，可得．故选：A【即学即练4】比较椭圆①x2＋9y2＝36与②eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1的形状，则________更扁(填序号)．【解析】x2＋9y2＝36化为标准方程为eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,4)＝1，故离心率e1＝eq\f(4\r(2),6)＝eq\f(2\r(2),3)；eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1的离心率e2＝eq\f(2,3).因为e1＞e2，故①更扁．【即学即练5】焦点在x轴上，右焦点到短轴端点的距离为2，到左顶点的距离为3的椭圆的标准方程为()A.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1 B.eq\f(x2,4)＋y2＝1C.eq\f(y2,4)＋eq\f(x2,3)＝1 D．x2＋eq\f(y2,4)＝1【解析】依题意，得a＝2，a＋c＝3，故c＝1，b＝eq\r(22－12)＝eq\r(3)，故所求椭圆的标准方程是eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.故选A【即学即练6】与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为()A.eq\f(x2,2)＋eq\f(y2,4)＝1 B．x2＋eq\f(y2,6)＝1C.eq\f(x2,6)＋y2＝1 D.eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,5)＝1【解析】椭圆9x2＋4y2＝36可化为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,9)＝1，可知焦点在y轴上，焦点坐标为(0，±eq\r(5))，故可设所求椭圆方程为eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)，则c＝eq\r(5).又2b＝2，即b＝1，所以a2＝b2＋c2＝6，则所求椭圆的标准方程为x2＋eq\f(y2,6)＝1.故选B【即学即练7】若椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，且长轴长是短轴长的2倍，则m的值为________．【解析】∵椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，∴eq\r(\f(1,m))＝2，∴m＝eq\f(1,4).【即学即练8】椭圆：的左、右焦点分别为，，经过点的直线与椭圆相交于A，两点，若的周长为16，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【解析】由题可知，即，所以椭圆的离心率.故选：A.【即学即练9】已知椭圆上存在点，使得，其中，分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．【解析】由椭圆的定义得，又∵，∴，，而，当且仅当点在椭圆右顶点时等号成立，即，即，则，即.故选：D．知识点2点与椭圆的位置关系点P(x0，y0)与椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的位置关系：点P在椭圆上⇔eq\f(x\o\al(2,0),a2)＋eq\f(y\o\al(2,0),b2)＝1；点P在椭圆内部⇔eq\f(x\o\al(2,0),a2)＋eq\f(y\o\al(2,0),b2)<1；点P在椭圆外部⇔eq\f(x\o\al(2,0),a2)＋eq\f(y\o\al(2,0),b2)>1.【即学即练10】已知点(2,3)在椭圆eq\f(x2,m2)＋eq\f(y2,n2)＝1上，则下列说法正确的是()A．点(－2,3)在椭圆外 B．点(3,2)在椭圆上C．点(－2，－3)在椭圆内 D．点(2，－3)在椭圆上【解析】D【即学即练11】已知直线l过点(3，－1)，且椭圆C：eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,36)＝1，则直线l与椭圆C的公共点的个数为()A．1 B．1或2C．2 D．0【解析】因为直线过定点(3，－1)且eq\f(32,25)＋eq\f(－12,36)＜1，所以点(3，－1)在椭圆的内部，故直线l与椭圆有2个公共点．故选C知识点3直线与椭圆的位置关系直线y＝kx＋m与椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的位置关系，判断方法：联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m，,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1，))消y得一元二次方程．当Δ>0时，方程有两解，直线与椭圆相交；当Δ＝0时，方程有一解，直线与椭圆相切；当Δ<0时，方程无解，直线与椭圆相离．【即学即练12】对不同的实数值m，讨论直线y＝x＋m与椭圆eq\f(x2,4)＋y2＝1的位置关系．【解析】由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x＋m，,\f(x2,4)＋y2＝1，))消去y，得eq\f(x2,4)＋(x＋m)2＝1，整理得5x2＋8mx＋4m2－4＝0.Δ＝(8m)2－4×5(4m2－4)＝16(5－m2)．当－eq\r(5)<m<eq\r(5)时，Δ>0，直线与椭圆相交；当m＝－eq\r(5)或m＝eq\r(5)时，Δ＝0，直线与椭圆相切；当m<－eq\r(5)或m>eq\r(5)时，Δ<0，直线与椭圆相离．【即学即练13】若直线y＝kx＋2与椭圆eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1相切，则斜率k的值是()A.eq\f(\r(6),3) B．－eq\f(\r(6),3)C．±eq\f(\r(6),3) D．±eq\f(\r(3),3)【解析】把y＝kx＋2代入eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1，得(2＋3k2)x2＋12kx＋6＝0，由题意知Δ＝0，∴k2＝eq\f(2,3)，∴k＝±eq\f(\r(6),3).故选C知识点4直线与椭圆相交的弦长公式1．定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦．2．求弦长的方法(1)交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求．(2)根与系数的关系法：如果直线的斜率为k，被椭圆截得弦AB两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则弦长公式为：|AB|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(1＋\f(1,k2))·eq\r(y1＋y22－4y1y2).注：（1）已知弦是椭圆（）的一条弦，中点坐标为，则的斜率为，运用点差法求的斜率，设，；、都在椭圆上，两式相减得：，即，故（2）弦的斜率与弦中心和椭圆中心的连线的斜率之积为定值：【即学即练14】已知椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1，过椭圆的右焦点F且垂直于x轴的直线与椭圆交于A，B两点，则|AB|＝________.【解析】易求得a＝5，b＝4，所以|AB|＝eq\f(2b2,a)＝eq\f(2×42,5)＝eq\f(32,5).【即学即练15】已知F是椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1的一个焦点，AB为过椭圆中心的一条弦，则△ABF的面积最大值为()A．6 B．15C．20 D．12【解析】由题意知，S△ABF＝eq\f(1,2)|OF|·|y1－y2|≤eq\f(1,2)|OF|·2b＝12.故选D【即学即练16】已知椭圆的左焦点为，过作一条倾斜角为的直线与椭圆交于两点，若为线段的中点，则椭圆的离心率是（

）A． B． C． D．【解析】设点，依题意，，相减得，因直线AB的倾斜角为，即直线AB的斜率为，又为线段的中点，则，，因此有，即，所以椭圆的离心率.故选：A【即学即练17】已知椭圆的离心率为，直线与椭圆交于，两点且线段的中点为，则直线的斜率为________.【解析】由题意可得，整理可得，设，则，两式相减可得，的中点为，，则直线斜率.故答案为：.考点一由标准方程研究几何性质解题方略：用标准方程研究几何性质的步骤(1)将椭圆方程化为标准形式；(2)确定焦点位置；(3)求出a，b，c；(4)写出椭圆的几何性质．注：长轴长、短轴长、焦距不是a，b，c，而应是a，b，c的两倍．【例11】已知椭圆C1：eq\f(x2,100)＋eq\f(y2,64)＝1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上．(1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；(2)写出椭圆C2的方程，并研究其性质．【解析】(1)由椭圆C1：eq\f(x2,100)＋eq\f(y2,64)＝1可得其长半轴长为10，短半轴长为8，焦点坐标(6,0)，(－6,0)，离心率e＝eq\f(3,5)；(2)椭圆C2：eq\f(y2,100)＋eq\f(x2,64)＝1，性质：①范围：－8≤x≤8，－10≤y≤10；②对称性：关于x轴、y轴、原点对称；③顶点：长轴端点(0,10)，(0，－10)，短轴端点(－8,0)，(8,0)；④焦点：(0,6)，(0，－6)；⑤离心率：e＝eq\f(3,5).【例12】椭圆的一个焦点坐标为，则实数m的值为（

）A．2 B．4 C． D．【解析】根据焦点坐标可知，椭圆焦点在y轴上，所以有，解得．故选：C.变式1：已知椭圆的焦距为，则m的值不可能为（

）A．1 B．7 C． D．【解析】由题知，.若，则，，所以，即；若，则，，即.故选：D【例13】【多选】已知椭圆，则（

）A．的焦点都在x轴上 B．的焦距相等C．没有公共点 D．比更接近圆【解析】对于A，因为椭圆的标准方程为，所以的焦点在y上，所以A不正确；对于B，因为椭圆的焦距为，椭圆的焦距为，所以B正确；对于C，作出椭圆的图象，由图象可知，椭圆没有公共点，所以C正确；对于D，因为椭圆的离心率为，的离心率为，所以，所以D正确.故选：BCD.变式1：已知椭圆与椭圆，则下列结论正确的是（

）A．长轴长相等 B．短轴长相等C．焦距相等 D．离心率相等【解析】∵，且，椭圆与椭圆的关系是有相等的焦距．故选：C．考点二利用几何性质求标准方程解题方略：利用椭圆的几何性质求标准方程的思路利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是：(1)确定焦点位置；(2)设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)；(3)根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数．列方程(组)时常用的关系式有b2＝a2－c2，e＝eq\f(c,a)等．注：（1）与椭圆共焦点的椭圆方程可设为：（2）有相同离心率：（，焦点在轴上）或（，焦点在轴上）【例21】求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)长轴长是10，离心率是eq\f(4,5)；(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.【解析】(1)设椭圆的方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)或eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)．由已知得2a＝10，a＝5.又∵e＝eq\f(c,a)＝eq\f(4,5)，∴c＝4.∴b2＝a2－c2＝25－16＝9.∴椭圆方程为eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1或eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,9)＝1.(2)依题意可设椭圆方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)．如图所示，△A1FA2为一等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，则c＝b＝3，a2＝b2＋c2＝18，故所求椭圆的方程为eq\f(x2,18)＋eq\f(y2,9)＝1.变式1：已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为eq\f(\r(5),5)，且过P(－5,4)，则椭圆的方程为________________．【解析】∵e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(5),5)，∴eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2－b2,a2)＝eq\f(1,5)，∴5a2－5b2＝a2即4a2＝5b2.设椭圆的标准方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(5y2,4a2)＝1(a>0)，∵椭圆过点P(－5,4)，∴eq\f(25,a2)＋eq\f(5×16,4a2)＝1.解得a2＝45.∴椭圆方程为eq\f(x2,45)＋eq\f(y2,36)＝1.答案：eq\f(x2,45)＋eq\f(y2,36)＝1变式2：若直线过椭圆短轴端点和左顶点，则椭圆方程为（

）A． B． C． D．【解析】直线交x轴于，交y轴于，依题意，，所以椭圆方程为.故选：B变式3：古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C的中心为原点，焦点，均在y轴上，椭圆C的面积为，且短轴长为，则椭圆C的标准方程为（）A． B． C． D．【解析】因为椭圆的焦点在轴上，故可设其方程为，根据题意可得，，故可得，故所求椭圆方程为：.故选：C.变式4：已知F(3,0)是椭圆的一个焦点，过F且垂直x轴的弦长为，则该椭圆的方程为（

）A．+=1 B．+=1C．+=1 D．+=1【解析】依题意，所以椭圆方程为.故选：C考点三点与椭圆的位置关系解题方略：点P(x0，y0)与椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的位置关系：点P在椭圆上⇔eq\f(x\o\al(2,0),a2)＋eq\f(y\o\al(2,0),b2)＝1；点P在椭圆内部⇔eq\f(x\o\al(2,0),a2)＋eq\f(y\o\al(2,0),b2)<1；点P在椭圆外部⇔eq\f(x\o\al(2,0),a2)＋eq\f(y\o\al(2,0),b2)>1.（一）点和椭圆位置关系的判断【例31】点与椭圆的位置关系为（

）A．在椭圆上 B．在椭圆内 C．在椭圆外 D．不能确定【解析】，可知点在椭圆内．故选：B.（二）根据点和椭圆位置关系求参数【例32】点在椭圆的外部，则a的取值范围是（

）A． B．C． D．【解析】因为点在椭圆的外部，所以,解得,故选：B.变式1：若点在椭圆的内部，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【解析】，所以，故选：B.（三）点和椭圆位置关系的应用【例33】若直线和圆没有公共点，则过点的直线与椭圆的交点个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．不确定【解析】因为直线和圆没有交点，所以圆心到直线的距离，可得：，即点在圆内，又因为圆内切于椭圆，所以点在椭圆内，即过点的直线与椭圆有两个交点.故选：C.变式1：已知椭圆经过点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【解析】因为椭圆经过点，所以，所以，则．因为椭圆经过点，所以，即，故的取值范围是．故选：D．考点四求椭圆的离心率解题方略：求椭圆离心率及范围的两种方法(1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝eq\f(c,a)求解．若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝eq\f(c,a)求解．(2)方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围．（一）求椭圆的离心率【例41】若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(3),2)C.eq\f(\r(3),4) D.eq\f(\r(6),4)【解析】如图，△BF1F2是正三角形，∵在Rt△OBF2中，|OF2|＝c，|BF2|＝a，∠OF2B＝60°，∴cos60°＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，即椭圆的离心率e＝eq\f(1,2)，故选A.变式1：若椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，线段F1F2被点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,2)，0))分成5∶3的两段，则此椭圆的离心率为()A.eq\f(16,17) B.eq\f(4\r(17),17)C.eq\f(4,5) D.eq\f(2\r(5),5)【解析】依题意得eq\f(c＋\f(b,2),c－\f(b,2))＝eq\f(5,3)，∴c＝2b，∴a＝eq\r(b2＋c2)＝eq\r(5)b，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2b,\r(5)b)＝eq\f(2\r(5),5).故选D.变式2：已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P，若eq\o(AP,\s\up7(→))＝2eq\o(PB,\s\up7(→))，则椭圆的离心率是()A.eq\f(\r(3),2) B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,2)【解析】如图，∵eq\o(AP,\s\up7(→))＝2eq\o(PB,\s\up7(→))，∴OA＝2OF，∴a＝2c，∴e＝eq\f(1,2).故选D变式3：已知椭圆E：eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)与直线y＝b相交于A，B两点，O是坐标原点，如果△AOB是等边三角形，那么椭圆E的离心率等于()A.eq\f(\r(3),6) B.eq\f(\r(3),4)C.eq\f(\r(3),3) D.eq\f(\r(3),2)【解析】不妨设点B在第一象限，则Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(bc,a)，b))，由题意知OB的倾斜角是60°，所以eq\f(b,\f(bc,a))＝eq\f(a,c)＝eq\r(3)，则椭圆的离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),3).故选C.变式4：F是椭圆的左焦点，A，B分别是其在x轴正半轴和y轴正半轴的顶点，P是椭圆上一点，且PF⊥x轴，OP∥AB，那么该椭圆的离心率为()A.eq\f(\r(2),2) B.eq\f(\r(2),4)C.eq\f(1,2) D.eq\f(\r(3),2)【解析】如图所示，设椭圆的方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，P(－c，m)．∵OP∥AB，∴△PFO∽△BOA，∴eq\f(c,a)＝eq\f(m,b)，①又∵P(－c，m)在椭圆上，∴eq\f(c2,a2)＋eq\f(m2,b2)＝1，②将①代入②得eq\f(2c2,a2)＝1，即e2＝eq\f(1,2)，∴e＝eq\f(\r(2),2)，故选A.变式5：已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，的延长线交于，，则的离心率（

）A． B． C． D．【解析】由椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，可得：.如图示：.设，则.由椭圆的定义可得：，即，解得：.所以在中，，所以.在中，，所以.所以，即，所以，所以（舍去）.故选：D变式6：椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（

）A． B． C． D．【解析】设而不求设，则则由得：，由，得，所以，即，所以椭圆的离心率，故选A.变式7：已知直线l：过椭圆的左焦点F，与椭圆在x轴上方的交点为P，Q为线段PF的中点，若，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【解析】直线：过椭圆的左焦点，设椭圆的右焦点为，所以，又是的中点，是的中点，所以，又，所以，又，所以是等边三角形，所以，又在椭圆上，所以，所以，所以离心率为，故选：．（二）求椭圆的离心率的取值范围【例42】已知椭圆的焦距不小于短轴长，则椭圆的离心率的取值范围为________．【解析】依题意可得2c≥2b，即c≥b.所以c2≥b2，从而c2≥a2－c2，即2c2≥a2，e2＝eq\f(c2,a2)≥eq\f(1,2)，所以e≥eq\f(\r(2),2).又因为0<e<1，所以椭圆离心率的取值范围是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1)).变式1：椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右顶点是A(a,0)，其上存在一点P，使∠APO＝90°，求椭圆离心率的取值范围．【解析】设P(x，y)，由∠APO＝90°知，点P在以OA为直径的圆上，圆的方程是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a,2)))2＋y2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))2.∴y2＝ax－x2.①又P点在椭圆上，故eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1.②把①代入②化简，得(a2－b2)x2－a3x＋a2b2＝0，即(x－a)[(a2－b2)x－ab2]＝0，∵x≠a，x≠0，∴x＝eq\f(ab2,a2－b2)，又0<x<a，∴0<eq\f(ab2,a2－b2)<a，即2b2<a2.由b2＝a2－c2，得a2<2c2，∴e>eq\f(\r(2),2).又∵0<e<1，∴eq\f(\r(2),2)<e<1.变式2：已知椭圆，对于C上的任意一点P，圆上均存在点M，N使得，则C的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．【解析】如上图，当P位于右端点（做端点也相同），如果，则对于C上任意的点P，在圆O上总存在M，N点使得，此时，

，

；故选：A.变式3：已知椭圆C：（）的左､右顶点分别为，，且以线段为直径的圆与直线相交，则椭圆C的离心率的取值范围为（

）A． B． C． D．.【解析】由题设，以线段为直径的圆为，与直线相交，所以，可得，即，又，所以.故选：B变式4：已知，是椭圆C：的左、右焦点，O为坐标原点，点M是C上点（不在坐标轴上），点N是的中点，若MN平分，则椭圆C的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．【解析】因为是的中点，是的中点，所以，因为平分，所以，因为，所以，，由（或），得椭圆的离心率，又，所以椭圆的离心率的取值范围是．故选：A．（三）由椭圆的离心率求参数（范围）【例43】已知椭圆eq\f(x2,k＋8)＋eq\f(y2,9)＝1的离心率e＝eq\f(1,2).求k的值．【解析】分两种情况进行讨论．(1)当椭圆的焦点在x轴上时，由a2＝k＋8，b2＝9，得c2＝k－1.∵e＝eq\f(1,2)，∴eq\f(k－1,k＋8)＝eq\f(1,4)，解得k＝4.(2)当椭圆的焦点在y轴上时，由a2＝9，b2＝k＋8，得c2＝1－k.∵e＝eq\f(1,2)，∴eq\f(1－k,9)＝eq\f(1,4).解得k＝－eq\f(5,4).综上可得，k＝4或k＝－eq\f(5,4).变式1：已知椭圆的离心率为，则（

）A． B． C． D．【解析】因为，则，所以.故选：D变式2：设e是椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,k)＝1的离心率，且e∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，则实数k的取值范围是()A．(0,3) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(16,3)))C．(0,3)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,3)，＋∞)) D．(0,2)【解析】当0＜k＜4时，e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(4－k),2)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，即eq\f(1,2)＜eq\f(\r(4－k),2)＜1⇒1＜4－k＜4，即0＜k＜3；当k＞4时，e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(k－4),\r(k))∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，即eq\f(1,2)＜eq\f(\r(k－4),\r(k))＜1⇒eq\f(1,4)＜eq\f(k－4,k)＜1⇒eq\f(1,4)＜1－eq\f(4,k)＜1⇒0＜eq\f(4,k)＜eq\f(3,4)⇒k＞eq\f(16,3).综上，实数k的取值范围为(0,3)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,3)，＋∞)).故选C考点五直线与椭圆的位置关系解题方略：判断直线与椭圆的位置关系，通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组，消去方程组中的一个变量，得到关于另一个变量的一元二次方程，则Δ>0⇔直线与椭圆相交；Δ＝0⇔直线与椭圆相切；Δ<0⇔直线与椭圆相离．【例51】直线与椭圆的位置关系是（

）A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定【解析】，在椭圆内，恒过点，直线与椭圆相交.故选：A.变式1：若直线y＝kx＋1与焦点在x轴上的椭圆eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,m)＝1总有公共点，求m的取值范围．【解析】∵直线y＝kx＋1过定点A(0,1)．由题意知，点A在椭圆eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,m)＝1内或椭圆上，∴eq\f(02,5)＋eq\f(12,m)≤1，∴m≥1.又椭圆焦点在x轴上∴m<5，故m的取值范围为[1,5).变式2：若直线与焦点在轴的椭圆恒有两个公共点，则实数的范围_____．【解析】直线恒过定点，要保证直线与椭圆有两个公共点，定点需在椭圆内，∴，又∵椭圆的焦点在轴上，∴．故答案为：(2，4)﹒变式3：已知过圆锥曲线上一点的切线方程为.过椭圆上的点作椭圆的切线，则过点且与直线垂直的直线方程为（

）A． B．C． D．【解析】过椭圆上的点的切线的方程为，即，切线的斜率为.与直线垂直的直线的斜率为，过点且与直线垂直的直线方程为，即.故选：B考点六弦长及中点弦问题解题方略：解决椭圆中点弦问题的两种方法(1)根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；(2)点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)上的两个不同的点，M(x0，y0)是线段AB的中点，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x\o\al(2,1),a2)＋\f(y\o\al(2,1),b2)＝1，①,\f(x\o\al(2,2),a2)＋\f(y\o\al(2,2),b2)＝1，②))由①－②，得eq\f(1,a2)(xeq\o\al(2,1)－xeq\o\al(2,2))＋eq\f(1,b2)(yeq\o\al(2,1)－yeq\o\al(2,2))＝0，变形得eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－eq\f(b2,a2)·eq\f(x1＋x2,y1＋y2)＝－eq\f(b2,a2)·eq\f(x0,y0)，即kAB＝－eq\f(b2x0,a2y0).（一）弦长问题【例61】已知斜率为1的直线l过椭圆的右焦点，交椭圆于A，B两点，则弦AB的长为（

）A． B． C． D．【解析】由椭圆知，，所以，所以右焦点坐标为，则直线的方程为，设，联立，消y得，，则，所以.即弦AB长为.故选：C.变式1：已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，左焦点、右顶点和下顶点分别为，坐标原点到直线的距离为，则的面积为（

）A． B．4 C． D．【解析】设，由题意可知，其中，所以的方程为，即所以原点到直线的距离为，所以，即，；所以直线的方程为，所以到直线的距离为；又，所以的面积为.故选：C.变式2：已知直线l：y＝kx＋1与椭圆eq\f(x2,2)＋y2＝1交于M，N两点，且|MN|＝eq\f(4\r(2),3)，求k的值．【解析】设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1，,\f(x2,2)＋y2＝1，))消去y并化简得(1＋2k2)x2＋4kx＝0，所以x1＋x2＝－eq\f(4k,1＋2k2)，x1x2＝0.由|MN|＝eq\f(4\r(2),3)，得(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝eq\f(32,9)，所以(1＋k2)(x1－x2)2＝eq\f(32,9)，所以(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2]＝eq\f(32,9)，即(1＋k2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－4k,1＋2k2)))2＝eq\f(32,9).化简得k4＋k2－2＝0，所以k2＝1，所以k＝±1.变式3：过椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的焦点的最长弦和最短弦的长分别为________．【解析】过椭圆焦点的最长弦为长轴，其长度为2a＝4；最短弦为垂直于长轴的弦，因为c＝1，将x＝1代入eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，得eq\f(12,4)＋eq\f(y2,3)＝1，解得y2＝eq\f(9,4)，即y＝±eq\f(3,2)，所以最短弦的长为2×eq\f(3,2)＝3.答案：4,3（二）中点弦问题【例62】若直线l与椭圆交于点A、B,线段的中点为,则直线l的方程为(

)A． B． C． D．【解析】设.则两式相减得即因为,线段AB的中点为,所以所以所以直线的方程为,即故选:A变式1：若过椭圆内一点的弦被该点平分，则该弦所在的直线方程为（

）A． B．C． D．【解析】设弦被点平分，弦的两个端点,为，则，，两式作差变形可得,即，而，故，即弦的斜率为1，所以弦的方程为，即，故选：B.变式2：已知椭圆的离心率为，直线与椭圆交于，两点且线段的中点为，则直线的斜率为________.【解析】由题意可得，整理可得，设，则，两式相减可得，的中点为，，则直线斜率.故答案为：.变式3：直线过椭圆内一点，若点为弦的中点，设为直线的斜率，为直线的斜率，则的值为（

）A． B． C． D．【解析】设点与，则，，所以，，又点与在椭圆上，所以，，作差可得，即，所以，故选：A.考点七求椭圆的参数或范围问题【例71】已知椭圆上存在关于直线对称的点，则实数m的取值范围为（

）A． B． C． D．【解析】设椭圆上关于直线的对称的两点分别为，的中点为，直线的方程为，联立直线与椭圆的方程，得，消元可得，，，，，，，又点在直线上，，，，解得，所以实数m的取值范围为.故选：C变式1：已知点P是椭圆上的一点，，是椭圆的两个焦点，则当为钝角时，点P的横坐标可以为______．【解析】设，由题意可知，即．因为点P在椭圆上，所以，所以，解得，可以取1（只要在内即可）．故答案为：1（答案不唯一）．变式2：已知椭圆：的左、右焦点分别为、，若上存在无数个点，满足：，则的取值范围为（

）A．

B．

C．

D．【解析】设椭圆的半焦距为，因为上存在无数个点满足：，所以以为直径的圆与椭圆有4个交点，所以，所以，所以.故选：D变式3：椭圆的左、右顶点分别为，，点在上且直线的斜率的取值范围是，，那么直线斜率的取值范围是（

）A．， B．， C．， D．，【解析】由题意得：由椭圆可知其左顶点，右顶点．设，，则得．记直线的斜率为，直线的斜率为，则直线斜率的取值范围是，，直线斜率的取值范围是，故选：A考点八求椭圆的最值问题解题方略：求与椭圆有关的最值、范围问题的方法(1)定义法：利用定义转化为几何问题处理．(2)数形结合法：利用数与形的结合，挖掘几何特征，进而求解．(3)函数法：探求函数模型，转化为函数的最值问题，借助函数的单调性、基本不等式等求解，注意椭圆的范围．【例81】椭圆上的点到直线：的距离的最小值为（

）A． B． C． D．【解析】由，设，设点到直线：的距离，所以有，其中，所以当时，有最小值，故选：C变式1：已知动点在椭圆上，若点坐标为，，且，则的最小值为（

）A． B． C． D．【解析】因为，所以，即为直角三角形，即，要使得最小，则最小，，则的最小值为，即的最小值为.故选：D变式2：已知为椭圆的右焦点，为椭圆上两个动点，且满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．【解析】由题意得，由,得，则,设()，由，得，则，又，由二次函数的性质可知，，所以的最小值为.故选：C.考点九椭圆的定点、定值问题【例91】已知椭圆经过点，离心率为，过点的直线l与椭圆C交于不同的两点M，N.(1)求椭圆C的方程；(2)设直线AM和直线AN的斜率分别为和，求证：为定值【解析】（1）由题意椭圆经过点，离心率为，可得，解得，故椭圆C的方程为（2）由题意可知直线l的斜率一定存在，设直线l的方程为，由，可得，由于直线l与椭圆C交于不同的两点M，N，则，解得，设,则，，故，即为定值.变式1：已知椭圆：的左焦点为，上、下顶点分别为，，．(1)求椭圆的方程；(2)若椭圆上有三点，，满足，证明：四边形的面积为定值．【解析】（1）依题意，又，所以，所以，所以椭圆方程为.（2）证明：设，，，因为，所以四边形为平行四边形，且，所以，即，又，，所以，若直线的斜率不存在，与左顶点或右顶点重合，则，所以，所以，若直线的斜率存在，设直线的方程为，代入椭圆方程整理得，所以，，，所以所以，整理得，又，又原点到的距离，所以，将代入得，所以，综上可得，四边形的面积为定值.变式2：已知椭圆C：的右顶点是M（2，0），离心率为．(1)求椭圆C的标准方程．(2)过点T（4，0）作直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，点B关于x轴的对称点为D，问直线AD是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．【解析】（1）由右顶点是M（2，0），得a＝2，又离心率，所以，所以，所以椭圆C的标准方程为．（2）设，，显然直线l的斜率存在．直线l的方程为，联立方程组消去y得，由，得，所以，．因为点，所以直线AD的方程为．又，所以直线AD的方程可化为，即，所以直线AD恒过点（1，0）．（方法二）设，，直线l的方程为，联立方程组消去x得，由，得或，所以，．因为点，则直线AD的方程为．又，所以直线AD的方程可化为，此时直线AD恒过点（1,0），当直线l的斜率为0时，直线l的方程为y＝0，也过点（1，0）．综上，直线AD恒过点（1，0）．考点十椭圆的实际应用问题解题方略：解决和椭圆有关的实际问题的思路(数学抽象)(1)通过数学抽象，找出实际问题中涉及的椭圆，将原问题转化为数学问题．(2)确定椭圆的位置及要素，并利用椭圆的方程或几何性质求出数学问题的解．(3)用解得的结果说明原来的实际问题．【例101】(多选)中国的嫦娥四号探测器，简称“四号星”，是世界首个在月球背面软着陆和巡视探测的航天器.2019年9月25日，中国科研人员利用嫦娥四号数据精确定位了嫦娥四号的着陆位置，并再现了嫦娥四号的落月过程，该成果由国际科学期刊《自然·通讯》在线发表．如图所示，现假设“四号星”沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行．若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，则下列式子正确的是()A．a1＋c1＝a2＋c2 B．a1－c1＝a2－c2C.eq\f(c1,a1)<eq\f(c2,a2) D.eq\f(c1,a1)>eq\f(c2,a2)【解析】由图可知，a1>a2，c1>c2，所以a1＋c1>a2＋c2，所以A不正确；在椭圆轨道Ⅰ中可得，a1－c1＝|PF|，在椭圆轨道Ⅱ中可得，|PF|＝a2－c2，所以a1－c1＝a2－c2，所以B正确；a1＋c2＝a2＋c1，两边同时平方得，aeq\o\al(2,1)＋ceq\o\al(2,2)＋2a1c2＝aeq\o\al(2,2)＋ceq\o\al(2,1)＋2a2c1，所以aeq\o\al(2,1)－ceq\o\al(2,1)＋2a1c2＝aeq\o\al(2,2)－ceq\o\al(2,2)＋2a2c1，即beq\o\al(2,1)＋2a1c2＝beq\o\al(2,2)＋2a2c1，由图可得，beq\o\al(2,1)>beq\o\al(2,2)，所以2a1c2<2a2c1，eq\f(c2,a2)<eq\f(c1,a1)，所以C错误，D正确．故选BD变式1：神舟五号飞船成功完成了第一次载人航天飞行，实现了中国人民的航天梦想．某段时间飞船在太空中运行的轨道是一个椭圆，地心为椭圆的一个焦点，如图所示．假设航天员到地球的最近距离为d1，最远距离为d2，地球的半径为R，我们想象存在一个镜像地球，其中心在神舟飞船运行轨道的另外一个焦点上，上面住着一个神秘生物发射某种神秘信号，需要飞行中的航天员中转后地球人才能接收到，则传送神秘信号的最短距离为()A．d1＋d2＋R B．d2－d1＋2RC．d2＋d1－2R D．d1＋d2【解析】设椭圆的方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，半焦距为c，两焦点分别为F1，F2，飞行中的航天员为点P，由已知可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(d1＋R＝a－c，,d2＋R＝a＋c，))则2a＝d1＋d2＋2R，故传送神秘信号的最短距离为|PF1|＋|PF2|－2R＝2a－2R＝d1＋d2.故选D变式2：某宇宙飞船的运行轨道是以地球中心F为焦点的椭圆(地球看作是球体)，测得近地点A距离地面mkm，远地点B距离地面nkm，地球半径为Rkm，关于这个椭圆有下列说法：①焦距为n－m；②短轴长为eq\r(m＋Rn＋R)；③离心率e＝eq\f(n－m,m＋n＋2R).其中正确说法的序号为________．解析：由题意，得n＋R＝a＋c，m＋R＝a－c，可解得2c＝n－m，a＝eq\f(m＋n＋2R,2)，∴2b＝2eq\r(a2－c2)＝2eq\r(m＋Rn＋R)，e＝eq\f(n－m,m＋n＋2R)，故①③正确，②不正确．答案：①③考点十一与椭圆有关的综合问题解题方略：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、定点定值、弦长、斜率、三角形的面积等问题．【例111】已知椭圆的左右焦点分别为，，点，均在椭圆上，且均在轴上方，满足条件，，则（

）A． B． C． D．【解析】设，由，得，解得（舍），，则，即，设，则，因为，所以，解得，因为，，所以（舍）.故选：D变式1：设分别是椭圆的左、右焦点，点为椭圆上任意一点，则使得成立的点的个数为（

）A． B． C． D．【解析】设，∵分别为椭圆的左、右焦点，点P为椭圆上任意一点，∴，，∵，∴，即①，又∵为椭圆上任意一点，∴②，联立①②得，或，∴使得成立的点P的个数为2.故选：B.变式2：如图，已知、分别是椭圆的左、右焦点，点、在椭圆上，四边形是梯形，，且，则的面积为（

）A． B． C． D．【解析】设点关于原点的对称点为点，连接、，如下图所示：因为为、的中点，则四边形为平行四边形，可得且，因为，故、、三点共线，设、，易知点，，，由题意可知，，可得，若直线与轴重合，设，，则，不合乎题意；设直线的方程为，联立，可得，由韦达定理可得，得，，则，可得，故，因此，.故选：A.变式3：阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积．当我们垂直地缩小一个圆时，我们得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，已知椭圆的面积为，两个焦点分别为，点P为椭圆C的上顶点．直线与椭圆C交于A，B两点，若的斜率之积为，则椭圆C的长轴长为（

）A．3 B．6 C． D．【解析】椭圆的面积，即①.因为点P为椭圆C的上项点，所以.因为直线与椭圆C交于A，B两点，不妨设，则且，所以.因为的斜率之积为，所以，把代入整理化简得：②①②联立解得：.所以椭圆C的长轴长为2a=6.故选：B题组A基础过关练1、椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为()A．(±10,0) B．(±eq\r(69)，0)C．(0，±13) D．(0，±eq\r(69))【解析】由题意知椭圆焦点在y轴上，且a＝13，b＝10，则c＝eq\r(a2－b2)＝eq\r(69)，故焦点坐标为(0，±eq\r(69))．故选D2、椭圆以坐标轴为对称轴，经过点，且长轴长是短轴长的倍，则椭圆的标准方程为（

）A． B．C．或 D．或【解析】当椭圆的焦点在轴上时，由题意过点，故，，椭圆方程为，当椭圆的焦点在轴上时，，，椭圆方程为，故选：C.3、求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)过点(3,0)，离心率e＝eq\f(\r(6),3)；(2)过点M(1,2)，且与椭圆eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,6)＝1有相同离心率．【解析】(1)当椭圆的焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，由题意，得a＝3，因为e＝eq\f(\r(6),3)，所以c＝eq\r(6)，从而b2＝a2－c2＝3，所以椭圆的标准方程为eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,3)＝1；当椭圆的焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)，由题意，得b＝3，因为e＝eq\f(\r(6),3)，所以eq\f(\r(a2－b2),a)＝eq\f(\r(6),3)，把b＝3代入，得a2＝27，所以椭圆的标准方程为eq\f(y2,27)＋eq\f(x2,9)＝1.综上可知，所求椭圆的标准方程为eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,3)＝1或eq\f(y2,27)＋eq\f(x2,9)＝1.(2)设所求椭圆方程为eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,6)＝k1(k1>0)或eq\f(y2,12)＋eq\f(x2,6)＝k2(k2>0)，将点M的坐标代入可得eq\f(1,12)＋eq\f(4,6)＝k1或eq\f(4,12)＋eq\f(1,6)＝k2，解得k1＝eq\f(3,4)，k2＝eq\f(1,2)，故eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,6)＝eq\f(3,4)或eq\f(y2,12)＋eq\f(x2,6)＝eq\f(1,2)，即所求椭圆的标准方程为eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,\f(9,2))＝1或eq\f(y2,6)＋eq\f(x2,3)＝1.4、若一个椭圆长轴的长度与焦距的和等于短轴长的2倍，则该椭圆的离心率是()A.eq\f(4,5) B.eq\f(3,5)C.eq\f(2,5) D.eq\f(1,5)【解析】由题意可得4b＝2a＋2c，平方得4b2＝(a＋c)2，∴4(a2－c2)＝a2＋2ac＋c2,3a2－2ac－5c2＝0,5e2＋2e－3＝0，解得e＝eq\f(3,5)(负值舍去)．故选B5、已知椭圆的离心率为，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【解析】因为椭圆的离心率为，所以，解得，则椭圆的离心率.故选：C.6、圆锥曲线的焦点在轴上，离心率为，则实数的值是__________.【解析】因为圆锥曲线的焦点在轴上，离心率为，所以曲线为椭圆，且，所以，解得，故答案为：7、直线与椭圆的交点个数为（

）．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【解析】由题意，椭圆，可得，则椭圆的右顶点为，上顶点为，又由直线恰好过点，所以直线与椭圆有且仅有2个公共点.故选：C.8、已知椭圆与坐标轴依次交于A，B，C，D四点，则四边形ABCD的面积为_____.【解析】由题意，椭圆，可得，可得，所以椭圆与坐标轴的交点分别为，此时构成的四边形为菱形，则面积为.故答案为：.9、在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为eq\f(\r(2),2)，过点F1的直线l交椭圆C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，求椭圆C的标准方程．【解析】设椭圆C的标准方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)．由e＝eq\f(\r(2),2)知eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2)，故eq\f(c2,a2)＝eq\f(1,2)，从而eq\f(a2－b2,a2)＝eq\f(1,2)，eq\f(b2,a2)＝eq\f(1,2).由△ABF2的周长为|AB|＋|BF2|＋|AF2|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝16，得a＝4，∴b2＝8.故椭圆C的标准方程为eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,8)＝1.题组B能力提升练10、(多选)已知椭圆的标准方程为eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,m2)＝1(m＞0)，并且焦距为6，则实数m的值为()A．4 B.eq\r(34)C．6 D.eq\r(33)【解析】∵2c＝6，∴c＝3.当椭圆的焦点在x轴上时，由椭圆的标准方程知a2＝25，b2＝m2.由a2＝b2＋c2，得25＝m2＋9，∴m2＝16，又m＞0，故m＝4；当椭圆的焦点在y轴上时，由椭圆的标准方程知a2＝m2，b2＝25.由a2＝b2＋c2，得m2＝25＋9＝34，又m＞0，故m＝eq\r(34).综上可知，实数m的值为4或eq\r(34).11、已知直线，椭圆．若直线l与椭圆C交于A，B两点，则线段AB的中点的坐标为（

）A． B．C． D．【解析】由题意知，，消去y，得，则，，所以A、B两点中点的横坐标为：，所以中点的纵坐标为：，即线段AB的中点的坐标为.故选：B12、过点(3,0)且斜率为eq\f(4,5)的直线被椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1所截线段的中点坐标为________．【解析】过点(3,0)且斜率为eq\f(4,5)的直线l方程为y＝eq\f(4,5)(x－3)，联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(4,5)x－3，,\f(x2,25)＋\f(y2,16)＝1))得x2－3x－8＝0.设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝3，y1＋y2＝eq\f(4,5)(x1＋x2)－eq\f(24,5)＝－eq\f(12,5)，∴直线被椭圆所截线段的中点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，－\f(6,5))).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，－\f(6,5)))13、已知正方形的四个顶点都在椭圆上，若的焦点F在正方形的外面，则的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．【解析】如图根据对称性，点D在直线y=x上，可设，则，∴，可得，，即，又解得.故选：C.14、椭圆＝1的一个焦点为F，过原点O作直线（不经过焦点F）与椭圆交于A，B两点，若△ABF的面积是20，则直线AB的斜率为（）A． B． C． D．【解析】由椭圆＝1，则焦点分别为F1(－5,0)，F2(5,0)，不妨取F(5,0)．①当直线AB的斜率不存在时，直线AB的方程为x＝0，此时AB＝4，＝AB•5＝×5＝10，不符合题意；②可设直线AB的方程y＝kx，由，可得(4+9k2)x2＝180，∴xA＝6，yA＝，∴△ABF2的面积为S＝2＝2××5×＝20，∴k＝±．故选：A．15、若点(x，y)在椭圆4x2＋y2＝4上，则eq\f(y,x－2)的最小值为()A．1 B．－1C．－eq\f(2\r(3),3) D．以上都不对【解析】设eq\f(y,x－2)＝k，则y＝k(x－2)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x2＋y2＝4，,y＝kx－2))消去y，整理得(k2＋4)x2－4k2x＋4(k2－1)＝0，Δ＝16k4－4×4(k2－1)(k2＋4)＝0，解得k＝±eq\f(2\r(3),3)，∴kmin＝－eq\f(2\r(3),3).选C.16、过椭圆的焦点的弦中最短弦长是（

）A． B． C． D．【解析】显然过椭圆焦点的最短弦所在直线l不垂直y轴，设l的方程为：x=my+c，由消去x并整理得：，设直线l与椭圆交于点，则有，则有，当且仅当时取“=”，于是，当，即直线l垂直于x轴时，，所以过椭圆的焦点的最短弦是与焦点所在坐标轴垂直的弦，最短弦长是.故选：A17、已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m，若直线被椭圆截得的弦长为eq\f(2\r(10),5)，求直线的方程．【解析】把直线方程y＝x＋m代入椭圆方程4x2＋y2＝1，得4x2＋(x＋m)2＝1，即5x2＋2mx＋m2－1＝0.(*)则Δ＝(2m)2－4×5×(m2－1)＝－16m2＋20＞0，解得－eq\f(\r(5),2)＜m＜eq\f(\r(5),2).设直线与椭圆的两个交点的横坐标为x1，x2，则x1＋x2＝－eq\f(2m,5)，x1x2＝eq\f(m2－1,5).根据弦长公式，得eq\r(1＋12)·eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2m,5)))2－4×\f(m2－1,5))＝eq\f(2\r(10),5)，解得m＝0.因此，所求直线的方程为y＝x.18、已知点P(4,2)是直线l被椭圆eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,9)＝1所截得的线段的中点，求直线l的方程．【解析】(法一：根与系数关系法)由题意可设直线l的方程为y－2＝k(x－4)，而椭圆的方程可以化为x2＋4y2－36＝0.将直线方程代入椭圆方程有(4k2＋1)x2－8k(4k－2)x＋4(4k－2)2－36＝0.所以x1＋x2＝eq\f(8k4k－2,4k2＋1)＝8，解得k＝－eq\f(1,2