《数学（下册）（第二版）》 课件 第６章　多元函数微积分基础

多元函数微积分基础第6章259目录6.1空间曲面6.2多元函数的极限与连续6.3偏导数6.4二元函数的极值与最值6.5二重积分及应用260教学要求：1.正确理解空间直角坐标系的概念及空间点的坐标表示方法；会求空间两点间的距离.2.理解空间曲面方程的概念，能求出空间动点的轨迹方程；了解几种常见曲面的曲面方程.3.理解多元函数的概念，会求二元函数的定义域；了解二元函数的极限和连续的概念；了解闭区域上二元函数的性质.2614.理解偏导数概念，掌握偏导数的求法.5.理解二元函数极值与最值的概念，会判定并求出简单的二元函数的极值；会利用拉格朗日乘数法求简单的条件极值.6.理解二重积分的概念和性质；掌握二重积分在直角坐标系中的计算方法，会计算一些简单的二重积分.262６.１空间曲面263空间直角坐标系空间直角坐标系的概念在空间中三条相互垂直且相交于O点的数轴构成空间直角坐标系．这三条数轴依次称为x轴（横轴）、y轴（纵轴）、z轴（竖轴），三条轴统称为坐标轴，点O称为坐标原点．习惯上，我们把x轴、y轴置于水平面上，而z轴取垂直向上方向，如图所示．264观察下图，我们可以想象，y轴和z轴是落在纸面上的，而x轴是垂直于纸面指向我们，它们的方向满足右手法则．所谓右手法则，指的是：伸出右手，使拇指的指向与其他四指垂直，当四指从x轴的正向转向y轴正向时，拇指的指向就是z轴的正向．按右手法则确定的坐标系称为右手系．本章用的坐标系都是右手系．265任意两条坐标轴所确定的平面称为坐标平面．空间直角坐标系共有三个坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面．三个坐标平面把空间分成八个部分，每一部分称为一个卦限．含有x轴、y轴、z轴正半轴的卦限叫作第一卦限，其他第二、三、四卦限在xOy平面的上方，按逆时针方向确定；第五至八卦限在xOy平面的下方，由第一卦限之下的第五卦限，按逆时针方向确定，如图所示．266267建立了空间直角坐标系后，就可以像平面直角坐标系那样在空间确定点的直角坐标．设点M是空间任一点，过点M分别作平行于yOz平面、zOx平面、xOy平面的三个平面，交x轴、y轴、z轴于P，Q，R三点，这三点在x轴、y轴、z轴上的坐标依次为x，y，z，这组有序的实数（x，y，z）称为点M的坐标，记作M（x，y，z）．x，y，z分别称为点M的横坐标、纵坐标和竖坐标（或称x

坐标、y

坐标、z坐标）．八个卦限里以及原点、坐标轴、坐标面上点的坐标的特征列表如下．268空间两点间的距离与平面解析几何相类似，空间两点间的距离可用这两点的坐标来表示．如图所示，设空间两点M1，M2坐标分别为（x1，y1，z1），（x2，y2，z2），过点M1，M2分别作三个垂直于坐标轴的平面，这六个平面围成一个以M1M2为对角线的长方体，这个长方体的长、宽、高分别为丨AB丨，丨AM1丨，丨BM2丨，容易得出：269根据勾股定理，有所以，点M1，M2的距离为上式称为空间两点间的距离公式．特别地，点M（x，y，z）到坐标原点O（0，0，0）的距离为270曲面与方程在平面解析几何中，我们把平面曲线视作动点的轨迹．同样，在空间解析几何中，任何曲面（包括平面）都可以看作是动点的运动轨迹（或点的集合），如图所示．在这个意义下，曲面所具有的性质是它的一切点所共有的．设（x，y，z）是曲面上的任意一点，我们用x，y，z的一个方程F（x，y，z）＝0来表达这个曲面上所有点的共同性质．271建立了空间曲面与其方程的联系之后，我们就可以通过方程的性质来讨论曲面的几何性质了．关于曲面与方程，我们讨论如下两类问题：（1）已知曲面，建立该曲面的方程；（2）已知曲面的方程，作出该方程所表示的函数的图形．272空间平面的方程空间曲面的最简单形式是平面，因此，我们首先来讨论空间平面的方程．由立体几何可知，过空间一点作与已知直线垂直的平面是唯一的．因此，如果已知平面上一个点和垂直于该平面的一个非零向量，那么这个平面的位置可以由这个已知点和这个非零向量唯一确定．垂直于平面的任一非零向量称为这个平面的法向量．273设点M0

（x0

，y0

，z0

）是平面α上的一个定点，向量n＝（A，B，C）（A，B，C不全为零）是这个平面的一个法向量，点M（x，y，z）为平面α上的动点．274由于向量

＝（x－x0，y－y0，z－z0）必定位于平面α内，而向量n＝（A，B，C）垂直于平面α，因此必定与平面α内的任一向量垂直，因而有

，所以有由两个向量的数量积的坐标表示法可得A（x－x0）＋B（y－y0）＋C（z－z0）＝0．上述方程即为过点M0（x0，y0，z0），且以向量n＝（A，B，C）为法向量的平面方程，习惯上称为平面的点法式方程．275将平面的点法式方程A（x－x0）＋B（y－y0）＋C（z－z0）＝0展开并整理，并记D＝－Ax0－By0－Cz0，则方程可化为Ax＋By＋Cz＋D＝0（A，B，C不全为零）．这表明过点M0垂直于一已知向量的平面总可以表示为x，y，z的三元一次方程．因此，上式又称为平面的一般式方程．276几种常见平面的方程及几何特性列表如下．其他平行于x轴、y轴，经过x轴、y轴等几种平面的方程同理可得．277几种常见曲面的方程球面到一定点的距离为定长的空间点的轨迹称为球面．这个定点称为这个球面的球心，定长称为这个球面的半径．设一个球的球心在点M0（x0，y0，z0），半径为R．下面建立这个球面的方程．设M（x，y，z）是球面上的任意一点，则有丨MM0

丨＝R，即278这个方程称为球心在点M0（x0，y0，z0），半径为R的球面方程．特别地，球心在原点，半径为R的球面方程为x2＋y2＋z2＝R2．一般地，方程x2＋y2＋z2＋Dx＋Ey＋Fz＋G＝0（D2＋E2＋F2－4G＞0）．称为球面的一般方程．279柱面动直线L沿已知曲线C平行移动所形成的曲面称为柱面，其中，L称为柱面的母线，C称为柱面的准线．280准线是二次曲线的柱面称为二次柱面．常见的母线平行于z轴的二次柱面有以下几种：（1）圆柱面：x2＋y2＝R2；（2）椭圆柱面：281（3）双曲柱面：282（4）抛物柱面：y2＝2px（p＞0）．类似地，方程F（y，z）＝0（不含x）表示以yOz面内的曲线F（y，z）＝0为准线，母线平行于x轴的柱面；方程F（x，z）＝0（不含y）表示以xOz面内的曲线F（x，z）＝0为准线，母线平行于y轴的柱面．母线平行于坐标轴的柱面方程的特点是：母线平行于哪条坐标轴，方程中就不含有表示该坐标变量．283旋转曲面一条平面曲线C绕其平面内的一条定直线L旋转一周所形成的曲面称为旋转曲面，其中，曲线C称为旋转曲面的母线，定直线L称为旋转曲面的旋转轴（或中轴）．球面、圆柱面都是旋转曲面．设在yOz面内有一条曲线C，其方程为F（y，z）＝0．将曲线C绕z轴旋转一周，就得到一个以z轴为旋转轴的旋转曲面，它的方程可以按如下方法得到：设M1（0，y1，z1）为曲线C上的任一点，则有F（y1，z1）＝0．284当曲线C绕z轴旋转时，点M1绕z轴转到另一点M（x，y，z），这时z＝z1保持不变，且点M到z轴的距离把z1＝z，y1＝±

代入F（y1，z1）＝0，就有这就是所求旋转曲面的方程．285同样地，yOz面内的曲线C：F（y，z）＝0绕y轴旋转一周得到的旋转曲面（以y轴为旋转轴）的方程为以坐标平面内的曲线为母线，以坐标轴为旋转轴的旋转曲面的方程一般求法：已知某坐标平面内的曲线C绕某坐标轴旋转，为了求此旋转曲面的方程，只要使曲线方程中与旋转轴同名的坐标变量保持不变，而以其他两个坐标变量平方和的平方根来代替方程中的另一个变量即可．2866.2多元函数的极限与连续287多元函数的概念实例考察中得到的两个函数S＝xy和V＝πr2h有共同的特点，即它们都是二元函数．由此，我们给出二元函数的定义．288289当二元函数的自变量x，y分别取x0，y0时，函数z对应的函数值记作f（x0，y0），称为二元函数z＝f（x，y）当x＝x0，y＝y0时的函数值．类似地，可以定义三元函数u＝f（x，y，z）以及三元以上的函数．定义n个自变量的函数u＝f（x1，x2，···，xn），称为n元函数．自变量的个数大于或等于2的函数统称为多元函数．与一元函数一样，二元函数的两个要素是定义域和对应法则．所以当定义域和对应法则都给定时，才能确定一个二元函数．换句话说，当且仅当定义域和对应法则分别相同的两个二元函数才称为相等的（或同一个）函数．290在讨论二元函数z＝f（x，y）的定义域时，如果函数是由实际问题得到的，其定义域根据它的实际意义来确定．对于用解析式表示的二元函数，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围．二元函数z＝f（x，y）的定义域一般是xOy平面上的平面区域．如果区域延伸到无限远处，就称区域是无界的；否则，就称区域是有界的．围成区域的曲线称为该区域的边界．包含边界的区域为闭区域，不包含边界的区域为开区域．二元函数的几何表示我们知道，一元函数y＝f（x）在xOy平面上的图像一般是一条曲线．对于二元函数z＝f（x，y），设定义域为D，P（x，y）为D中的任意一点，把它对应的函数值z＝f（x，y）作为竖坐标，就有空间直角坐标系中的一点M（x，y，z）对应．当点P（x，y）在D内变动时，点M（x，y，z）的轨迹就是二元函数z＝f（x，y）的几何图形．一般来说，它是一个曲面．291二元函数的极限在平面上，点P（x，y）趋向于定点P0（x0，y0）的方式可以是多种多样的，我们以P→P0表示点P以任意方式趋向于P0，也就是点P与点P0间的距离趋向于零，即我们把以点P0（x0，y0）为圆心，δ＞0为半径的开圆域，称为点P0的δ邻域，记作U（P0，δ）．如图a所示，该邻域内的点P（x，y），满足不等式292点P0的去心δ邻域，记作（P0，δ）．如图b所示，该邻域内的点P（x，y），满足不等式293294上述对于二元函数的极限的描述，有以下两点须注意：（1）函数在一个点的某个去心邻域内有定义，是指函数在该邻域内的所有点上都有定义．（2）二元函数的极限

f（x，y）＝A，是指当P（x，y）以任意方式无限趋于定点P0（x0，y0）时，函数都无限接近于同一个常数A，即常数A与点P趋于点P0的方式无关．若当P（x，y）以不同路径趋于点P0（x0，y0）时，函数值接近于不同的值，则可以断定函数在点P0（x0，y0）的极限不存在．此外，由于二元函数极限的定义与一元函数极限的定义形式是相同的，因此，关于一元函数的极限运算法则可推广到二元函数，这里我们就不详述而直接使用．295二元函数的连续性类似于一元函数连续的定义，我们利用二元函数的极限，给出二元函数连续的定义．296连续函数z＝f（x，y）的图形是一个无孔、无缝的连续曲面．如果函数z＝f（x，y）在点P0（x0，y0）不连续，则称点P0（x0，y0）是函数f（x，y）的不连续点，或称间断点．与一元函数情形类似，函数z＝f（x，y）在点P0（x0，y0）不连续有三种情形：（1）函数z＝f（x，y）在点P0（x0，y0）处无定义．（2）函数z＝f（x，y）在点P0（x0，y0）处有定义，但

f（x，y）不存在．（3）

f（x，y）≠f（x0，y0）．297需要说明的是，二元函数除了有间断点外，还可能有间断线．由二元函数连续的定义及极限的运算法则可知，二元连续函数的和、差、积、商（当分母不为零时）在其公共定义域内仍为连续函数；二元连续函数的复合函数仍为连续函数．由于二元初等函数是由常数及基本初等函数经过有限次四则运算和复合运算并用一个解析式表示的函数，因此有以下结论：一切二元初等函数在其定义域内均为连续函数．298与一元函数类似，在闭区域上的二元连续函数也有如下性质．性质1（最值存在定理）

如果二元函数f（x，y）在有界闭区域D上连续，则函数f（x，y）在D上必有最大值和最小值，即在D上曲面z＝f（x，y）必定存在最高点和最低点．性质2（介值定理）

如果二元函数f（x，y）在有界闭区域D上连续，则函数f（x，y）在D上必能取到介于最小值与最大值之间的任何数值．2996.3偏导数300二元函数的偏导数对于二元函数z＝f（x，y），如果固定其中一个自变量，则z＝f（x，y）便是关于另一个自变量的一元函数，这样按一元函数求出的导数就是二元函数的偏导数．由此我们给出如下定义．301同样，可以定义函数z＝f（x，y）在点P0处对y的偏导数为如果函数z＝f（x，y）在其区域D内每一点P（x，y）处对x的偏导数存在，那么这个偏导数就是x，y的函数，称为函数z＝f（x，y）对自变量x的偏导函数，记作同样，可以定义函数z＝f（x，y）对自变量y的偏导函数，记作302由偏导函数的定义可知，f（x，y）在点P0（x0，y0）处对x的偏导数fx（x0，y0）显然就是偏导函数fx（x，y）在点（x0，y0）处的函数值；fy（x0，y0）就是偏导函数fy（x，y）在点P0（x0，y0）处的函数值．就像一元函数的导函数一样，以后在不致混淆的情况下，我们简称偏导函数为偏导数．类似地，可以定义二元以上的多元函数的偏导数．n元函数的偏导数（有n个）实质上就是一元函数的导数．因此，可用一元函数求导数的方法求多元函数的偏导数．303高阶偏导数二元函数z＝f（x，y）在区域D内的两个偏导数一般仍是x，y的函数，如果这两个偏导数的偏导数仍然存在，则称它们是函数z＝f（x，y）的二阶偏导数．依照对自变量求偏导数的次序不同，有四个二阶偏导数，分别记作304其中，fxy（x，y），fyx（x，y）称为二阶混合偏导数．如果二阶混合偏导数

与在区域D内连续，则在D内恒有类似地，可以定义二元函数z＝f（x，y）的三阶、四阶······n阶偏导数，二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数．显然，二元函数z＝f（x，y）的n阶偏导数共有2n个．为了求出z＝f（x，y）的n阶偏导数，必须先求出n－1阶偏导数，即求z＝f（x，y）的高阶偏导数就是从它的一阶偏导数开始逐阶求偏导数．同样，还可以定义二元以上的多元函数的各阶偏导数．3056.4二元函数的极值与最值306二元函数的极值按照定义可以直接求出一些简单的二元函数的极值和极值点，或者判断出二元函数有没有极值．307二元函数的极值问题，在一定条件下可以利用偏导数来解决，下面我们给出关于二元函数极值的两个定理．定理1（极值存在的必要条件）

设函数z＝f（x，y）在点P0（x0，y0）处有极值，且在点P0（x0，y0）处的偏导数存在，则函数z＝f（x，y）在该点处的偏导数必为零，即fx（x0，y0）＝0，fy（x0，y0）＝0．仿照一元函数，凡是满足方程组的点（x0，y0），称为函数z＝f（x，y）的驻点．定理１说明，具有偏导数的函数的极值点必定是驻点．308定理2（极值存在的充分条件）设函数z＝f（x，y）在点P0（x0，y0）的某个邻域内连续，而且具有一阶及二阶连续偏导数，又fx（x0，y0）＝0，fy（x0，y0）＝0，记fxx（x0，y0）＝A，fxy（x0，y0）＝fyx（x0，y0）＝B，fyy（x0，y0）＝C，则f（x，y）在点P0（x0，y0）处是否取得极值的条件如下：309（1）当B2－AC＜0时，函数f（x，y）在点P0（x0，y0）处有极值，且当A＜0时，函数f（x，y）取得极大值；当A＞0时，函数f（x，y）取得极小值．（2）当B2－AC＞0时，函数f（x，y）在点P0（x0，y0）处没有极值，即P0（x0，y0）不是极值点．（3）当B2－AC＝0时，函数f（x，y）在点P0（x0，y0）处可能有极值，也有可能没有极值．310利用定理1和定理2，我们把具有二阶连续偏导数的函数z＝f（x，y）的极值的求法步骤归纳如下．第一步解方程组

求出所有实数解，即二元函数的所有驻点．第二步对于每一个驻点（x0，y0），求出相应的二阶偏导数的值A，B和C．第三步确定B2－AC的符号，按定理2的结论判定（x0，y0）是否为极值点，进一步结合A的符号判定f（x0，y0）是极大值还是极小值．311二元函数的最大值与最小值与一元函数一样，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值．一般地，如果函数z＝f（x，y）在有界闭区域D上连续，则函数z＝f（x，y）在闭区域D上必定能取得最大值和最小值．求函数z＝f（x，y）在闭区域D上的最大（小）值的步骤如下．第一步解方程组求出二元函数的所有驻点（x0，y0），并计算函数在这些驻点上的函数值．312第二步求出函数在区域D的边界上的最大（小）值．一般地，区域D的边界是由一条或几条曲线所围成的，而当二元函数限制在边界上时就成为一个一元函数，在这一步可用求一元函数最大（小）值的方法来完成．第三步

将上面两步所得各点的函数值进行比较，最大（小）者即为所求函数的最大（小）值．通常，对于我们遇到的实际问题，如果知道函数z＝f（x，y）的最大值或最小值一定在区域内部取得，而函数在区域D内只有一个极值点，则可以断定该点处的函数值就是f（x，y）在区域D上的最大值或最小值．313条件极值与拉格朗日乘数法前面所讨论的极值问题，自变量的变化是在函数的定义域范围内，除此之外没有其他附加条件的限制，因此，这种极限有时又称为无条件极值．但在许多实际问题中，函数的自变量还要满足某些附加条件，这种对自变量有附加条件的极值称为条件极值．条件极限有以下两种求法．转化为无条件极值对一些简单的条件极值问题，可以利用附加条件，消去函数中的某些自变量，将条件极值问题转化为无条件极值问题．314拉格朗日乘数法求函数z＝f（x，y）在条件φ（x，y）＝0下的可能极值点的方法———拉格朗日乘数法可按以下步骤进行：（1）构造拉格朗日函数F（x，y，λ）＝f（x，y）＋λφ（x，y），其中，λ称为拉格朗日乘数；（2）求F（x，y，λ）的偏导数，并建立方程组（3）解方程组得x，y，λ，这样得到的（x，y）就是函数f（x，y）在条件φ（x，y）＝0下的可能极值点．3156.5二重积分及应用316二重积分的概念317由二重积分的定义可知，曲顶柱体的体积是函数f（x，y）在底D上的二重积分，即平面薄片的质量是它的面密度ρ（x，y）在薄片所占闭区域D上的二重积分，即一般地，如果f（x，y）≥０，被积函数f（x，y）可解释为曲顶柱体的顶面在点（x，y）处的竖坐标，所以二重积分

（x，y）dσ的几何意义是以曲面z＝f（x，y）为顶，区域D为底的曲顶柱体的体积．二重