《数学（下册）（第二版）》 课件 第４章　积分及应用

积分及应用第4章157目录4.1积分的基本概念4.2积分法4.3定积分的应用4.4广义积分158教学要求：1.理解定积分的概念及性质，能正确使用有关术语及符号.2.了解导数（或微分）与积分的联系，理解原函数的概念，知道积分上限函数

f（t）dt可导时，就是f（x）在［a，b］上的一个原函数.3.掌握微积分学基本公式（牛顿-莱布尼兹公式）.4.理解不定积分的概念及性质，掌握不定积分的基本公式.5.熟练掌握第一换元积分法.6.掌握第二换元积分法（仅限于简单的根式代换和三角代换）.7.熟练掌握不定积分的分部积分法.1598.会查简易积分表.9.掌握用微元法解决一些实际问题，培养学生分析问题、解决问题的能力.10.掌握用定积分求平面图形的面积，能用定积分求绕坐标轴旋转生成的旋转体体积.11.了解定积分在其他方面的一些应用.12.了解广义积分的概念和计算方法.1604.１积分的基本概念161定积分的概念及性质定积分的定义要计算的量（曲边梯形的面积A及变速直线运动的路程s）的实际意义不同（前者是几何量，后者是物理量），但解决的方法是相同的，都归结为求一个和式的极限．在科学技术上有许多实际问题都可以归结为某种特定的和式极限．为此，我们给出如下定积分的定义：162163利用定积分的定义，实例考察中的两个问题可以表述如下．若f（x）≥0，由曲线y＝f（x），直线x＝a，x＝b及x轴所围成的曲边梯形的面积A等于曲边函数f（x）在其底所在的区间[a，b]上的定积分，即变速直线运动的物体从时刻T1到时刻T2这段时间内所经过的路程s等于其速度函数v＝v（t）在时间区间[T1，T2]上的定积分，即164165关于定积分的定义，做以下几点说明：（1）当和式的极限存在时，其极限值仅与被积函数f（x）及积分区间[a，b]有关，而与区间[a，b]的分法及点ξi的取法无关．（2）定积分的值与表示积分变量的字母无关，即有（3）在定积分的定义中，要求满足a＜b，为了以后计算方便起见，对于a＞b及a＝b的情形，我们给出如下的补充约定定积分的几何意义我们已经知道，如果函数y＝f（x）在[a，b]上连续，且f（x）≥0，则定积分

f（x）dx在几何上表示由曲线y＝f（x），直线x＝a，x＝b及x轴所围成的曲边梯形的面积A，即如果函数y＝f（x）在[a，b]上连续，且f（x）≤0，此时由曲线y＝f（x），直线x＝a，x＝b及x轴所围成的曲边梯形位于x轴的下方，则定积分f（x）dx在几何上表示曲边梯形面积A的相反数，即166167如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上连续，且f（x）有时为正，有时为负，则定积分

f（x）dx在几何上表示曲线y＝f（x），直线x＝a，x＝b及x轴所围成的几块曲边梯形中，在x轴上方的各曲边梯形面积之和，减去在x轴下方的各曲边梯形面积之和．总之，定积分f（x）dx在各种实际问题中所代表的实际意义虽然不同，但它的数值在几何上都可用曲边梯形面积的代数和来表示，这就是定积分的几何意义．168定积分的几何意义直观地告诉我们，如果函数f（x）在区间[a，b]上连续，那么，由曲线y＝f（x），直线x＝a，x＝b及x轴所围成的各部分面积的代数和是一定存在的，即f（x）在区间[a，b]上一定是可积的．另一种情形，当函数f（x）在区间[a，b]上有界，且只有有限个间断点时，f（x）在区间[a，b]上也一定是可积的．为此，我们有下面两个定积分存在定理：定理1设函数f（x）在区间[a，b]上连续，则f（x）在区间[a，b]上可积．定理2设函数f（x）在区间[a，b]上有界，且只有有限个间断点，则f（x）在区间[a，b]上可积．169定积分的性质在下面的讨论中，各性质中积分上下限的大小，如无特别说明，均不加限制，并假设各函数在积分区间上都是可积的．性质1如果在区间[a，b]上，f（x）恒等于1，则性质1的几何解释如图所示．性质2被积函数的常数因子可以提到积分号外，即其中k为常数．170性质3两个函数代数和的定积分等于它们定积分的代数和，即这是因为性质3对于有限个可积函数代数和的定积分也是成立的．171性质4如果将积分区间分成两部分，则在整个区间上的定积分等于这两部分区间上定积分之和，即设a＜c＜b，则如图所示，性质4说明定积分对积分区间具有可加性．这个性质可以用来求分段函数的定积分．另外需要说明的是，如果a，b，c是任意三个实数，性质4同样成立．172利用性质4和定积分的几何意义，可以看出奇函数和偶函数在对称于原点的区间（简称对称区间）上的定积分有以下计算公式：（1）如果f（x）在[－a，a]上连续且为奇函数，则（2）如果f（x）在[－a，a]上连续且为偶函数，则性质5如果在区间[a，b]上，f（x）≤g（x），则性质5可以用来比较两个定积分的大小．173性质6（定积分估值定理）设M与m分别是f（x）在区间[a，b]上的最大值与最小值，则如图所示，性质6可用来估计定积分值的大致范围．174性质7（定积分中值定理）如果f（x）在[a，b]上连续，则在积分区间[a，b]上至少存在一点ξ，使下式成立：如图所示，定积分中值定理的几何意义是：在区间[a，b]上至少存在一点ξ，使得以区间[a，b]为底边，以曲线y＝f（x）为曲边的曲边梯形的面积等于同一底边而高为f（ξ）的矩形的面积．175因此，我们把f（ξ）＝（x）dx称为连续曲线f（x）在[a，b]上的平均高度，或称为连续函数f（x）在[a，b]上的平均值．这是有限个数的算数平均值概念的推广，只有应用定积分才有可能求出连续函数在闭区间上的平均值．176微积分学基本定理积分上限函数设函数y＝f（x）在区间[a，b]上连续，x为区间[a，b]上任意一点．由于y＝f（x）在[a，b]上连续，因而在[a，x]上也连续，因此，定积分（t）dt存在．这个定积分是一个变上限的定积分，对每一个x（x∈[a，b]），都有一个确定的积分值与之相对应，因此，它是上限x的函数．为此，我们给出如下定义：177积分上限函数Φ（x）＝

（t）dt，x∈[a，b]的几何意义如图所示．它具有下面重要性质．178定理1

如果函数f（x）在区间[a，b]上连续，则积分上限函数Φ（x）＝

（t）dt在[a，b]上可导，且有证明如图所示．179180因为f（x）在区间[a，b]上连续，又Δx→0时，ξ→x，所以有即定理1体现了导数（或微分）与积分的内在联系．181原函数的概念若把积分上限函数

（t）dt记为F（x），当F（x）可导时，则有F′（x）＝f（x），我们称F（x）是f（x）的一个原函数，由此给出原函数的定义．182定理2如果函数F（x）是f（x）在某一区间内的一个原函数，则可用F（x）＋C（C为任意常数）表示f（x）在该区间内的全体原函数．定理2包含两层意思：第一，F（x）＋C中的任一个都是f（x）的原函数；第二，f（x）的任一原函数都可以表示成F（x）＋C的形式．183微积分基本定理定理1的重要意义在于，一方面肯定了连续函数的原函数是存在的，另一方面揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系．因此，我们就能通过原函数来计算定积分．事实上，如果F（x）是连续函数f（x）在[a，b]上的一个原函数，而Φ（x）＝

（t）dt也是f（x）在[a，b]上的一个原函数，则有F（x）－Φ（x）＝C，即184将x＝a，x＝b分别代入上式，得两式相减，整理得把积分变量t换成x，得由此，我们得到微积分基本定理．185微积分基本定理设函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，F（x）是f（x）在[a，b]上的一个原函数，则有上式称为牛顿-莱布尼茨公式，也称为微积分基本公式．微积分基本定理揭示了定积分与原函数之间的关系．它表明：一个连续函数在区间[a，b]上的定积分等于它的一个原函数在区间[a，b]上的增量．这就给定积分提供了一个简便的计算方法，大大简化了定积分的计算．为了简便，公式常采用下面的格式：186不定积分的概念及性质不定积分的定义我们知道，如果函数F（x）是f（x）在某一区间上的一个原函数，则F（x）＋C（C为任意常数）可以表示f（x）的全体原函数．由此给出不定积分的定义．187求不定积分∫f（x）dx就是求被积函数f（x）的全体原函数，为此，只需求得f（x）的一个原函数，然后再加上积分常数C即可．今后在不致引起混淆的情况下，不定积分简称为积分，求不定积分的运算和方法分别称为积分运算和积分法．由不定积分的定义可以看出，导数运算或微分运算与积分运算互为逆运算，它们的关系为：此式表明，若先求积分后求导数（或微分），则两者的作用互相抵消．188此式表明，若先求导数（或微分）后求积分，则两者的作用互相抵消后还相差一个常数．特别地，有∫dx＝x＋C．189不定积分的几何意义设函数F（x）是f（x）的一个原函数，则f（x）的不定积分是函数f（x）的全体原函数．其中C每取一个值C0，就确定f（x）的一个原函数，在直角坐标系中确定一条曲线y＝F（x）＋C0，这条曲线称为函数f（x）的一条积分曲线．所有这些积分曲线y＝F（x）＋C构成一个曲线族，称为函数f（x）的积分曲线族，如图所示．这就是不定积分的几何意义．190191如上图所示，积分曲线族y＝F（x）＋C的特点如下：（1）积分曲线中任意一条曲线，可由其中任一条沿y轴平移若干个单位得到，即积分曲线族中任意两条曲线上，具有相同的横坐标x的点，它们对应的纵坐标y的差是一个常数．（2）由于[F（x）＋C]′＝F′（x）＝f（x），即横坐标相同点x处，每条积分曲线上相应点处的切线斜率相等，都等于f（x），从而使相应点处的切线互相平行．192积分的基本公式由于积分运算是导数运算的逆运算，因此，从基本导数公式，可以直接得到相应的基本积分公式．类似地，可以得到其他积分公式，常用的基本积分公式有：193194积分的基本运算法则法则1两个函数加或减的不定积分等于各个函数不定积分的加或减，即法则1对于有限多个函数加或减的不定积分也是成立的，即法则2被积函数中不为零的常数因子可以移到积分号的前面，即1954.2积分法196第一换元积分法定理若∫f（x）dx＝F（x）＋C，则∫f（u）du＝F（u）＋C，其中u＝φ（x）是可导函数．这个定理表明，在基本积分公式中，把自变量x换成任何一可导函数u＝φ（x）后公式仍成立．应用定理我们可以得到以下的积分方法．通常把这样的积分方法称为第一换元积分法，也称凑微分法．197把不定积分中的哪一部分凑成dφ（x）是凑微分法的关键，这是一种技巧，需要熟记以下结论，例如：方法熟悉后，换元的中间步骤可以省略．用凑微分法可计算一些定积分．在计算时，一般不引入中间变量，只需将不定积分的结果（只取一个原函数）代入积分上、下限作差即可．198第二换元积分法不定积分的问题是分母含有根式，我们可以先做变换，将根式去掉．为此，令t＝，则x＝t2，dx＝2tdt，于是199由此可见，如果不定积分∫f（x）dx不易求出，但在做变换x＝φ（t）后，∫f（φ（t））φ′（t）dt可求，则可以按以下的方法计算不定积分．设x＝φ（t）单调且可导（φ′（t）≠0），则x＝φ（t）的反函数为t＝φ－1（x），若F（t）是f（φ（t））φ′（t）的一个原函数，即∫f（φ（t））φ′（t）dt＝F（t）＋C，则∫f（x）dx＝F（φ－1（x））＋C．通常把这样的积分法称为第二换元积分法．200一般地说，应用三角换元法计算积分时，一般有如下三种情形：（1）含

时，作三角代换x＝asint或x＝acost；（2）含

时，作三角代换x＝atant或x＝acott；（3）含

时，作三角代换x＝asect或x＝acsct．用第二换元法计算定积分时，由于引入了新变量，应相应地变换积分上、下限，即“换元必换限”．设函数f（x）在积分区间[a，b]上连续，函数x＝φ（t）在区间[α，β]上是单调的，且有连续导数φ′（t）．当t在α和β之间变化时，x＝φ（t）的值在[a，b]上变化，并且φ（α）＝a，φ（β）＝b，则定积分201分部积分法设函数u＝u（x），v＝v（x）有连续的导数u′＝u′（x），v′＝v′（x）．根据函数乘积的微分法则（uv）′＝u′v＋uv′或

d（uv）＝vdu＋udv，移项后，得uv′＝（uv）′－u′v或udv＝d（uv）－vdu．对上式两边求不定积分，得202上式称为分部积分公式，利用分部积分公式计算不定积分的方法称为分部积分法．应用分部积分公式的作用在于把不容易求出的积分∫uv′dx或∫udv转化为容易求出的积分∫u′vdx或∫vdu．运用分部积分法的关键是如何选择u和v′（或dv），一般原则是：（1）使v容易求出；（2）新积分∫u′vdx（或∫vdu）要比原积分∫uv′dx（或∫udv）容易求出．203一般情况下，u与v′可按以下规律选择．（1）形如∫xnsinkxdx，∫xncoskxdx，∫xnekxdx（其中n为正整数）的不定积分，在被积函数中，选取u＝xn，v′＝sinkx（或v′＝coskx或v′＝ekx）．（2）形如∫xnlnxdx，∫xnarctanxdx，∫xnarcsinxdx（其中n为自然数）的不定积分，在被积函数中，选取u＝lnx（或u＝arctanx或u＝arcsinx），令v′＝xn．（3）形如∫eaxsinbxdx，∫eaxcosbxdx的不定积分，可以任意选择u和v′，但因为要使用两次分部积分公式，两次选择的u和v′应分别保持一致，即如果第一次令u＝eax，则第二次也须令u＝eax，这样才能出现循环公式，然后用解方程的方法求出原积分．204用分部积分法计算定积分时，可以由不定积分的分部积分法直接得来，但要先把积出来的那一部分代入上、下限求值，余下的部分继续积分．设函数u＝u（x），v＝v（x）在区间[a，b]上有连续的导数u′，v′，则即若同时使用了换元积分法，则要根据引入的变量相应地变换积分上、下限．205简易积分表的应用通过前面的讨论可以看出，积分计算要比导数计算灵活、复杂．为了使用方便，人们已将一些函数的不定积分汇编成表，这种表称为简易积分表．本书附录列出的简易积分表是按照被积函数的类型编排的，其中包括一些常用的积分公式．一般地，查积分表可节省计算积分的时间，但是只有在掌握了前面学过的基本积分方法后才能灵活地使用积分表，而且对一些比较简单的积分，应用基本积分方法来计算比查表更快．2064.3定积分的应用207定积分的微元法在用定积分方法计算某个量时，关键是如何把所求的量用定积分表示出来，常用的方法就是“微元法”．为了分析这种方法，我们先回顾一下引入定积分概念时讨论的曲边梯形的面积问题．若f（x）≥0，我们把由曲线y＝f（x），直线x＝a，x＝b及x轴所围成的曲边梯形的面积A表示成定积分，即208其基本步骤是：（1）分割用任意一组分点把区间[a，b]分成长度为Δxi（i＝１，２，···，n）的n个小区间，相应地把曲边梯形分成n个小曲边梯形，第i个小曲边梯形的面积为ΔAi．（2）取近似得到第i个小曲边梯形的面积ΔAi的近似值ΔAi≈f（ξi）Δxi（xi－1≤ξi≤xi）．（3）求和得到曲边梯形面积A的近似值209（4）取极限得到曲边梯形面积A的精确值其中λ＝不难发现，在表示定积分

f（x）dx的和式极限中，f（ξi）Δxi为曲边梯形的面积A在代表性小区间[xi－1，xi]上的部分（即第i个小曲边梯形）面积ΔAi的近似值．因此，我们只要把ξi换成x，把Δxi换成dx，就可以把f（ξi）Δxi写成f（x）dx的形式．这就是说，f（x）dx是曲边梯形的面积A在代表性小区间[x，x＋dx]上的部分面积ΔA（代替ΔAi）的近似值，而f（x）dx正是将曲边梯形的面积A表示成定积分f（x）dx的被积式．210因此，今后我们可以把实际问题中的“待求量”A通过如下步骤表示成定积分：第一步根据问题的实际情况，选取积分变量x及变化区间（即积分区间）[a，b]．第二步在积分区间[a，b]上任取一个小区间[x，x＋dx]，然后求出这个小区间上所对应的待求量A的部分量ΔA的近似值，记为dA＝f（x）dx，把它称为待求量A的微元．第三步将待求量A的微元dA＝f（x）dx在积分区间[a，b]上积分（也就是无限累加），即得上述这种解决问题的方法称为定积分的微元法．211关于微元dA＝f（x）dx，要注意以下两点：（1）f（x）dx作为ΔA的近似表达式，应该足够准确．确切地说，就是要求它们的差ΔA－f（x）dx是比Δx高阶的无穷小，且所有小区间上差的总和还是无穷小．（2）利用微元法解决问题的关键是如何求出微元．要分析问题的实际意义及数量关系，一般可在某一小区间[x，x＋dx]上，采用“以常代变”“以匀代变”“以直代曲”等思路，写出小区间上所求量的近似值，即为微元dA＝f（x）dx．212求平面图形的面积若f（x）≥0，曲线y＝f（x），直线x＝a，x＝b及x轴所围成的平面图形的面积微元为dA＝f（x）dx，则面积213一般地，曲线y＝f（x），直线x＝a，x＝b及x轴所围成的平面图形的面积微元为dA＝丨f（x）丨dx，则面积214若g（x）≤

f（x），由上下两条曲线y＝f（x），y＝g（x）与直线x＝a，x＝b（a＜b）所围成的平面图形的面积微元为dA＝[f（x）－g（x）]dx，则面积215若ψ（y）≤φ（y），由左右两条曲线x＝φ（y），x＝ψ（y）与直线y＝c，y＝d（c＜d）所围成的平面图形的面积微元为dA＝[φ（y）－ψ（y）]dy，则面积216求旋转体的体积如图所示的旋转体是由连续曲线y＝f（x），直线x＝a，x＝b（a＜b）及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的．它的主要特征是用垂直于曲边梯形底边的平面截旋转体所得的截面都是圆．217下面我们采用定积分的微元法来分析旋转体体积的计算方法．第一步取x为积分变量，它的变化区间为[a，b]．第二步在区间[a，b]上任取一小区间[x，x＋dx]，设此小区间对应的那部分旋转体的体积为ΔV，则ΔV近似于以f（x）为底，以dx为高的小圆柱体的体积，从而得到体积微元为218第三步以π[f（x）]2dx为被积表达式，在区间[a，b]上作定积分，就是所求的旋转体的体积，即类似地，由连续曲线x＝φ（y），直线y＝c，y＝d（c＜d）及y轴所围成的曲边梯形绕y轴旋转一周所成的旋转体的体积为219求平面曲线的弧长设曲线y＝f（x）在区间[a，b]上有一阶连续导数f′（x），现在我们用微元法来计算从x＝a到x＝b的一段弧的长度l．第一步取x为积分变量，x∈[a，b]．第二步在区间[a，b]上任取一小区间[x，x＋dx]，则此小区间对应的那段弧长Δl可用相应的切线段近似代替，从而得到弧长微元为220第三步

以

dx为被积表达式，在区间[a，b]上求定积分，就是所求的弧长，即如果曲线是由参数方程