金融数学课件 ch7 连续时间下的期权定价

金融数学第七章连续时间下的期权定价中国人民大学出版社PAGE金融数学第七章连续时间下的期权定价中国人民大学出版社PAGE10/40第七章连续时间下的期权定价金融数学中国人民大学出版社简介简介自从期权交易产生以来，人们就一直致力于对期权定价问题的探讨。1973年美国芝加哥大学教授费希尔∙布莱克（FischerBlack,1938—1995）和迈伦∙斯科尔斯（MyronScholes1941—）发表了《期权定价与公司负债》一文，提出了有史以来的第一个期权定价模型，在学术界和实务界引起了强烈的反响。在布莱克和斯科尔斯研究的基础上，罗伯特∙默顿（RobertMerton,1944—）独立地使用随机微积分的相关方法对期权定价问题进行了研究，于同年在《贝尔经济与管理科学杂志》上发表了名为《期权的理性定价理论》的论文。三位学者三位学者这两篇论文奠定了期权定价的理论基础。他们所提出的期权定价模型称作布莱克-斯科尔斯（Black-Scholes）期权定价模型（后文简称为B-S模型1997年获得诺贝尔经济学奖。FischerBlack MyronScholes RobertC.Merton本章内容本章内容1期权的价格分析123期权与标的资产的对冲期权的风险中性定价法23欧式期权的定价两类二元期权的定价欧式看涨期权与二元期权的关系障碍期权的定价4B-S模型的不足及拓展4B-S模型的假设条件B-S模型的不足和改进看涨期权的价格分析看涨期权的价格分析期权的价格分析看涨期权(calloption)的买方在未来具有按照行权价买入标的资产的权利。假设S表示标的资产在未来期权到期时的市价；K期权的价格分析(payoff)如下：− −CV=(S K)+=max[S K,0]=S−K, S− −C0, S<KSK时，期权才有必要行权，因此行权后的回报数额即为标的资产高价与行权价之差；否则期权将放弃行权，相应的回报数额为零。看涨期权的价格分析看涨期权的价格分析(cont.)期权的价格分析− −CV=(S K)+=max[S K,0]=S−期权的价格分析− −C0, S<K当S=K时，看涨期权是平值(in-the-money,ITM)期权；当S>K时，看涨期权是实值(at-the-money,ATM)期权；当S<K时，看涨期权是虚值(out-of-the-money,OTM)期权。对于看涨期权而言，实值期权的回报数额为正；虚值和平值期权的回报数额则为零。看跌期权的价格分析看跌期权的价格分析期权的价格分析看跌期权(putoption)期权的价格分析− −PV=(K S)+=max[K S,0]=0− −PK−S, S≤K类似地，当S=K时，看跌期权是平值期权；当S<K时，看跌期权是实值期权；当S>K时，看跌期权是虚值期权。期权的价格分析总结：期权的回报数额与实虚值对应关系总结：期权的回报数额与实虚值对应关系看涨期权 回报额看跌期权 回报额实值虚值平值S>K S−KS<K 0S=K 0S<K K−SS>K 0S=K 0B-SB-S模型与几何布朗运动期权与标的资产的对冲在B-S期权与标的资产的对冲dS(t)=µS(t)dt+σS(t)dW(t)其中：µ和σ均是常数，分别是标的资产S的漂移率和波动率；W(t)是标准布朗运动。由于期权是由标的资产衍生而来，因此其价格变动受到标的资产价f[S(t)]。期权价格的随机偏微分方程期权价格的随机偏微分方程(SPDE)期权与标的资产的对冲期权与标的资产的对冲df=

∂fdt+∂f＿∂t ∂S＿

dS+

1∂2f2∂S2

l[dS]2l∂f= ∂t

+µS

∂f∂S+

12

S2∂2f∂S2

dt+σS

∂f∂S

dW(t)在在B-S模型的原始文献中，采用将期权与标的资产构成的组合进行对冲的方式，并基于无套利原理，最终得到求解期权价格的方程。金融数学第七章连续时间下的期权定价中国人民大学出版社金融数学第七章连续时间下的期权定价中国人民大学出版社/40资产组合的构建资产组合的构建期权与标的资产的对冲假设构造的组合中包含了一份期权，以及∆份标的资产，并将该组合的总价值记为Π期权与标的资产的对冲Π=f+∆S于是该资产组合的价值变动为：(t)=µ(t)t+σS()

dΠ=df+∆dSf

∂f＿∂t＿

+µS∂f+∂S+

1 2S2∂2f dtlσ2 ∂S2lσ

+σS∂fdW(t)∂S金融数学第七章连续时间下的期权定价中国人民大学出版社PAGE金融数学第七章连续时间下的期权定价中国人民大学出版社PAGE17/40资产组合的构建资产组合的构建(cont.)期权与标的资产的对冲Π=+期权与标的资产的对冲Π=+µ∂t

S∂f

2S2∂2f

lt

＿S∂f

lWt+ σ∂S 2∂S2+∆µ+σ+∆σ+ σ∂S 2∂S2+∆µ+σ+∆σ∂S()∂f∆=−∂S此时，组合Π的价格变动不受随机因素的影响，对应地：Π=+ σ∂t 2∂S2d ＿f 2S2∂2Π=+ σ∂t 2∂S2投资组合的价值变动仅与时间t的变动有关，该组合已经消除了随机因素带来的不确定性。无风险资产组合无风险资产组合期权与标的资产的对冲根据无套利定价原理，该投资组合的收益率应该等于无风险利率r期权与标的资产的对冲Π(T)=Π(t)er(T−t)与之对应的微分方程如下：dΠ=rΠdt与dΠ∂f与dΠ∂f1σ2S2∂2fldt联立，可得：dt=rf−∂SSdt

＿

∂S2+ σ∂t 2S∂S+ σ∂t 2S∂S2

22∂2fl

＿ ∂flB-SB-S偏微分方程期权与标的资产的对冲＿∂f 期权与标的资产的对冲

2∂2fl

＿ ∂fl整理可得：

+ σS∂t 2

∂S2

dt=r

f−∂SS dt+∂f+rS∂f+∂t ∂S

1σ22

S2∂2f∂S2

=rf上式就是著名的B-S偏微分方程(PartialDifferentialEquation,PDE)。求解该方程，最终得到的f[S(t)]就是期权的合理价格。B-SB-S偏微分方程期权与标的资产的对冲+∂f+rS∂f期权与标的资产的对冲+∂t ∂S

1σ22

S2∂2f∂S2

=rf这个偏微分方程有很多解，为此需要添加必要的边界条件(BoundaryCondition)才有可能得到唯一的解。对于到期时间为T的欧式看涨期权来说，该边界条件是f[S(t)]=maxS(T)−K,0l；对于欧式看跌期权来说，边界条件则为f[S(t)]=maxK−S(T),0l。倒向偏微分方程倒向偏微分方程期权与标的资产的对冲这个偏微分方程的边界条件与自然科学领域常见问题的边界条件有所区别。从严格意义上说，B-S期权与标的资产的对冲（backwardE。物理学领域：初始条件已知→

？ → ··· →

？时间0 t T衍生品定价领域： ？ ← ？ ← ··· 终值条件已知风险中性定价法风险中性定价法期权的风险中性定价法风险中性概率测度Q期权的风险中性定价法对于服从几何布朗运动的标的资产而言，在测度Q下，其价格演化的随机微分方程当中的漂移项即为无风险利率r，因此：(t)=S()dt+σ(t)-(t)＿（ 12＼ - (＿（ 12＼ - (t)=(0)exp r σ t+σW(t)22=(0)exp＿（r−σ2＼t+σ√tl2其中：Z∼N(0,1)。金融数学第七章连续时间下的期权定价中国人民大学出版社18/金融数学第七章连续时间下的期权定价中国人民大学出版社18/40欧式看涨期权的定价欧式看涨期权的定价欧式期权的定价欧式期权的定价期权的风险中性定价法max[S(TK[S(T1V(0)=e−rTEQ[V(T)|S(0)=S]=e−rTEQ(S(T)−K)+S(0)=Sl1于是：r （V(0)=e−rT r （−∞

Sexp

＿（r−

σ2＼2＼

T+σz

√Tl

+＼−K fZ(z)dz＼z02=e−Tr∞（Sexp＿（r−1σ2＼T+σz√Tl−K＼fZ(z)z02金融数学第七章连续时间下的期权定价中国人民大学出版社PAGE金融数学第七章连续时间下的期权定价中国人民大学出版社PAGE25/40欧式看涨期权的定价欧式看涨期权的定价(cont.)欧式期权的定价期权的风险中性定价法fZ(z欧式期权的定价期权的风险中性定价法σ√T2z0计算过程如下：σ√T2

1 z2l＿fZ(z)=√2πexp−2l＿2Sexpr−σ2T+σz0T2Sexpr−σ2T+σz0T=K⇒z0=

l(KS)−（−1σ2)T欧式看涨期权的定价欧式看涨期权的定价(cont.)欧式期权的定价期权的风险中性定价法V(0)=e−Tr∞（Sexp＿（r−1σ2＼T+σz√l−K＼fZ(z)d欧式期权的定价期权的风险中性定价法z0 2V(0)可进一步拆分成两项：z02z0(0)=Se−Tr∞exp＿（r−1σ2＼T+σz√TlfZ(z)dz−K−Tr∞fZ(z)dz02z0=Se−rTI1−Ke−rTN(−z0)II1=?欧式期权的定价期权的风险中性定价法l1z2Zr−2σT+σTz√2πexp−2zdz＿ −I=r∞exp＿（r−1σ2＼T欧式期权的定价期权的风险中性定价法l1z2Zr−2σT+σTz√2πexp−2zdz＿ −00=expr∞ ＿（=expzz0

√l1

＿12lzz0r1 rz0=√2πz0

exp

(z σ√T)2− 2

exp[rT]dzu=z−σT→=e√2πz0−σu=z−σT→=e√2πz0−σexpT−2du

＿u2l 1√√=erTN(−z0+σ√T)欧式看涨期权的定价欧式看涨期权的定价(cont.)欧式期权的定价欧式期权的定价期权的风险中性定价法√V(0)=SNT2（ln(S/K)+(r+1σ√V(0)=SNT2σσ

−rT

（ln(S/K)+(r−1σ2)T＼σσσ σσσ√−KeNT2=SN(d1)−Ke−rTN(√−KeNT2其中：√√d1=σT2, d2=σT2ln(SK)+（r+1σ2)T ln(SK)+（r−√√d1=σT2, d2=σT2一类二元期权一类二元期权两类二元期权的定价期权的风险中性定价法K时，1两类二元期权的定价期权的风险中性定价法1{S(T)>K}

=1, S(T)>K0, S(T)≤K对此可以给出当前时刻期权的价格计算公式如下：(0)=e−TEQ{S(T)>}|(0)=l一类二元期权一类二元期权(cont.)两类二元期权的定价两类二元期权的定价期权的风险中性定价法V(0)=e−rTQ[S(T)>K|S(0)=S]2=e−TQ-()>1＿ln（K＼−（r−1σ22=e−TQ-()>1＿ln（K＼−（r−1σ2＼l1=eQ−=eQ

σZ>σ√T(lnZ>σ√T(ln（S)+（r−1σ2)T＼

Sln−（K＼ （ln−K2SK2S

2r−2σTr−2σT因此：

=e−rTN

σ√TV(0)=e−rTN(d2)二元期权的分类二元期权的分类两类二元期权的定价期权的风险中性定价法刚才所提到的二元期权，从严格意义上说，属于或有现金形式两类二元期权的定价期权的风险中性定价法实际上还有一类或有资产形式(asset-or-nothing)的二元期权，即期权到期时支付标的资产或者不支付任何实物。或有资产形式二元期权的看涨期权，当未来到期时，若标的资产价S(TX时，则期权的买方将得到该标的资产，否则买方则一无所获。因此这类期权的回报函数如下：

=S(T), S(T)>K0, S(T)≤K或有资产形式的二元期权定价或有资产形式的二元期权定价两类二元期权的定价两类二元期权的定价期权的风险中性定价法(0)=e−TEQ(T)1{S(T)>}|(0)=l根据示性函数的性质，可得：2−∞V(0)=e−Tr∞Sexp＿（r−1σ2＼T+σ√zl12−∞

fZ(z)dz=e−Tr∞Sexp＿（r−σ2＼T+σ√zlZ()dz其中：

z0 2z0=√T2l(KS)−（−1σ2)z0=√T2σσσσ金融数学第七章连续时间下的期权定价中国人民大学出版社27/金融数学第七章连续时间下的期权定价中国人民大学出版社27/40或有资产形式的二元期权定价或有资产形式的二元期权定价(cont.)z0 2两类二元期权的定价期权的风险中性定价法V两类二元期权的定价期权的风险中性定价法V(0)=Se−Tr∞exp＿（r−1σ2＼T+σ√zlfZ(z)z=S−TI1l1z2Zr−2σT+σTz√2πexp−2zdz＿ −I=r∞exp＿（r−1σ2＼T+l1z2Zr−2σT+σTz√2πexp−2zdz＿ −00=expr∞ ＿（=expzz0

√l1

＿12lzz0r1 ∞rz0=√2πz0

exp

(z σ√T)2− 2

exp[rT]dz=erTN(−z0+σ√T)金融数学第七章连续时间下的期权定价中国人民大学出版社PAGE金融数学第七章连续时间下的期权定价中国人民大学出版社PAGE28/40或有资产形式的二元期权定价或有资产形式的二元期权定价(cont.)两类二元期权的定价两类二元期权的定价期权的风险中性定价法

V(0)=SN(−z0+σ√T)（ln(S/K)+(r+1σ2)T＼√√=SN 2oT=SN(d1)欧式看涨期权与二元期权的关系欧式看涨期权与二元期权的关系欧式看涨期权与二元期权的关系期权的风险中性定价法−期权种类 定价公式欧式看涨期权与二元期权的关系期权的风险中性定价法−欧式看涨期权 SN(d1) Ke−rTN(d2)或有现金形式的看涨二元期权 e−rTN(d2)或有资产形式的看涨二元期权 SN(d1)对于普通的欧式看涨期权买方而言，其相当于对于普通的欧式看涨期权买方而言，其相当于买入了一份或有资产形式的看涨二元期权，同时卖出了K份或有现金形式的看涨二元期权的组合。障碍期权的概念和分类障碍期权的概念和分类障碍期权的定价期权的风险中性定价法障碍期权的定价期权的风险中性定价法在障碍期权中，除了行权价外，还增设了一个障碍价格。障碍期权总是比普通期权便宜。障碍期权的收益依赖于标的资产的价格在一段特定时间内是否达到一个特定水平。其与标准期权不同的是，在期权有效期内，当标的资产的价格达到某一水平时，期权就生效或失效。障碍期权一般分为两类，即敲出期权和敲入期权。敲出期权是指当标的资产价格达到一个特定障碍水平时，该期权作废。敲入期权是指只有当标的资产价格达到一个特定障碍水平时，该期权才有效。敲出期权既可向上敲出（up-and-outdown-and-out（up-and-i，又可向下敲入down-and-i。于是，障碍期权可分为四种。障碍期权的敲入障碍期权的敲入/敲出示意图期权的风险中性定价法期权的风险中性定价法障碍期权的定价123028262422201816140 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100金融数学第七章连续时间下的期权定价中国人民大学出版社金融数学第七章连续时间下的期权定价中国人民大学出版社32/40障碍期权的回报函数障碍期权的回报函数障碍期权的定价期权的风险中性定价法对于障碍期权而言，由于存在一个障碍价格，因此其回报函数要比之前所/KB，否则该期权将一直生效（敲入）或失效（敲出障碍期权的定价期权的风险中性定价法max(ST−K,0)=(ST−K)+(T−(T−K)+,t>Bt(ST−K)+1{S>B}=t

0, St≤B

, t∈[0,T]金融数学第七章连续时间下的期权定价中国人民大学出版社PAGE金融数学第七章连续时间下的期权定价中国人民大学出版社PAGE34/40障碍期权的回报函数表障碍期权的回报函数表类型 欧式看涨期权 欧式看跌期权 约束条件障碍期权的定价期权的风险中性定价法tt向上敲入 (ST−K)+1{S>B} (K−ST)+1{S>B} K<障碍期权的定价期权的风险中性定价法tttt向上敲出 (ST−K)+1{S<B} (K−ST)+1{S<B} K<Btttt向下敲入 (ST−K)+1{S<B} (K−ST)+1{S<B} K>Btt向下敲出 (ST−K)+1{St>B} (K−ST)+1{St>B} K>B障碍期权定价的基本原理障碍期权定价的基本原理障碍期权的定价期权的风险中性定价法 l利用风险中性定价法，也可以对障碍期权进行定价。以向上敲入欧障碍期权的定价期权的风险中性定价法 lt(0)=e−TEQ(T−)+{S>B}|S(0)=St要对上式进行进一步的求解，还需对障碍期权回报函数中的示性函数项进行进一步的化简。根据向上敲入期权的特点可知，一旦在期权有效期B，该期权就会生效。正因如此，下式必须成立：{St>B}=（tmax]St>B1, ∀t∈[0,于是原先的问