2024-2025学年广西南宁市江南区八年级（上）期中数学试卷（含解析）

-2025学年广西南宁市江南区八年级（上）期中数学试卷一、选择题（共12小题，每小题3分，共36）1．（3分）实数3的相反数是A．3 B． C． D．2．（3分）下面图形分别是节水，农食产品认证，绿色食品和可回收物标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是A． B． C． D．3．（3分）2024年6月6日，嫦娥六号在距离地球约384000千米外上演“太空牵手”，完成月球轨道的交会对接．数据384000用科学记数法表示为A． B． C． D．4．（3分）2024年10月15日至20日举行环广西公路自行车世界巡回赛，如图，自行车的车架上常常会焊接一横梁，运用的数学原理是A．两点之间，线段最短 B．三角形两边之和大于第三边 C．三角形具有稳定性 D．垂线段最短5．（3分）下列长度的三条线段能构成三角形的是A．2，3，5 B．5，6，11 C．3，4，8 D．5，6，106．（3分）如图，，，则的度数是A． B． C． D．7．（3分）如图，在中，边上的高是A． B． C． D．8．（3分）下列计算正确的是A． B． C． D．9．（3分）一个多边形的每一个外角都为，那么这个多边形的边数是A．6 B．8 C．10 D．1210．（3分）我国明代数学读本《算法统宗》有一道题，其题意为：客人一起分银子，若每人7两，还剩4两；若每人9两，则差8两．若客人为人，银子为两，可列方程组A． B． C． D．11．（3分）如图，在中，已知点、分别为边、、上的中点，且，则的值为A． B． C． D．12．（3分）如图，中，，利用尺规在，上分别截取，，使；分别以，为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点．若，，，为上一动点，则的最小值为A． B． C． D．二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）13．（2分）计算：．14．（2分）比较大小：（填“”、“”、“”15．（2分）关于的方程的解是，则的值为．16．（2分）如图，在△中，是边的垂直平分线，垂足为，交于点，若，△的周长是15，则的长为．17．（2分）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，，则的度数为．18．（2分）如图，点是等边中边的中点，点，分别在，边上，且，若，，则的周长为．三、解答题（本大题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）19．（6分）计算：．20．（6分）化简求值：，其中，．21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，△在坐标系中，，．（1）在图中画出△关于轴的对称图形△；（2）分别写出对应点，，的坐标；（3）请在图中的轴上找一点，使得的值最小，并直接写出点的坐标．22．（10分）2024年3月23日下午，中国空间站“天宫课堂”再度开课，“太空老师”翟志刚、王亚平、叶光富演示了“太空冰雪”试验、液桥演示试验、水油分别试验、太空抛物试验等，以天地互动的形式演示了试验，并介绍与展示了空间科学设施．这场充溢奇思妙想的太空授课，让科学的种子在亿万青少年的心里生根发芽．某学校为了解学生对“航空航天知识”的掌握情况，从七年级随机抽取部分同学进行测试，并对成绩（百分制）进行整理、描述和分析．下面给出部分信息：．学生成绩的统计图如图（数据分为五组：，，，，．．在这一组成绩的是80808081818283848485858788898989．成绩不低于90分为优秀．根据以上信息，回答下列问题：（1）本次调查采用的方式是（选填“全面调查”或“抽样调查”，样本容量是．（2）补全频数分布直方图；（3）若七年级有400名学生，请估计该校七年级学生达到优秀的人数．23．（10分）已知：如图，点，，，在一条直线上，，，．（1）求证：△△；（2）若，，求的度数24．（10分）“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．某中学为了落实“双减”政策，丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号“文房四宝”，经过调查得知：若购买3套甲型号和2套乙型号共用420元，买5套甲型号和4套乙型号共用740元．（1）求每套甲型号、乙型号“文房四宝”的价格分别是多少元？（2）若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共120套，总费用不超过8500元，至少可以买乙型号多少套？25．（10分）【问题背景】在学习了等腰三角形等有关知识后，数学活动小组对如图所示的课本上的一道例题进行了深入探究，发现：当角平分线遇上平行线时一般可得等腰三角形，有角平分线时，常过角平分线上一点作角的平行线构造等腰三角形．如图1，为的角平分线上一点，过点作交于点，易证为等腰三角形．【基本运用】（1）如图2，把长方形纸片沿对角线折叠，点落在点处，重合部分是等腰三角形吗？为什么？【类比探究】（2）如图3，中，与外角的角平分线交于点，过点作分别交、于点、点，试探究线段、、之间的数量关系并说明理由；【拓展提升】（3）如图4，四边形中，，为边的中点，且平分，连接，求证：．26．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，，，直线交坐标轴于和．（1）若和满足，则点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为；（2）如图2，点，点分别在轴正半轴和轴负半轴上，其中，满足，点在第四象限，过点作轴于点，求的值；（3）如图3，若轴恰好平分，与轴交于点，过点作轴于点，问与有怎样的数量关系？请说明理由．

参考答案一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分）1．（3分）实数3的相反数是A．3 B． C． D．解：实数3的相反数是：．故选：．2．（3分）下面图形分别是节水，农食产品认证，绿色食品和可回收物标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是A． B． C． D．解：、选项图形中没有对称轴，不是轴对称图形，不符合题意；、选项图形中没有对称轴，不是轴对称图形，不符合题意；、选项图形中有1条对称轴，是轴对称图形，符合题意；、选项图形中没有对称轴，不是轴对称图形，不符合题意．故选：．3．（3分）2024年6月6日，嫦娥六号在距离地球约384000千米外上演“太空牵手”，完成月球轨道的交会对接．数据384000用科学记数法表示为A． B． C． D．解：．故选：．4．（3分）2024年10月15日至20日举行环广西公路自行车世界巡回赛，如图，自行车的车架上常常会焊接一横梁，运用的数学原理是A．两点之间，线段最短 B．三角形两边之和大于第三边 C．三角形具有稳定性 D．垂线段最短解：自行车的车架上常常会焊接一横梁，运用的数学原理是三角形具有稳定性．故选：．5．（3分）下列长度的三条线段能构成三角形的是A．2，3，5 B．5，6，11 C．3，4，8 D．5，6，10解：．，不能组成三角形，故不符合题意；．，不能组成三角形，故不符合题意；．，不能组成三角形，故不符合题意；．，能组成三角形，故符合题意．故选：．6．（3分）如图，，，则的度数是A． B． C． D．【解答】解；，，．故选：．7．（3分）如图，在中，边上的高是A． B． C． D．解：在中，边上的高是：．故选：．8．（3分）下列计算正确的是A． B． C． D．解：．，故此选项符合题意；．与无法合并，故此选项不合题意；．与无法合并，故此选项不合题意；．，故此选项不合题意．故选：．9．（3分）一个多边形的每一个外角都为，那么这个多边形的边数是A．6 B．8 C．10 D．12解：该正多边形的一个外角为，多边形的外角和为，边数，该正多边形的边数是8．故选：．10．（3分）我国明代数学读本《算法统宗》有一道题，其题意为：客人一起分银子，若每人7两，还剩4两；若每人9两，则差8两．若客人为人，银子为两，可列方程组A． B． C． D．解：设客人为人，银子为两，根据题意得，．故选：．11．（3分）如图，在中，已知点、分别为边、、上的中点，且，则的值为A． B． C． D．解：为的中点，、分别是、的中线，、，，即的值为．故选：．12．（3分）如图，中，，利用尺规在，上分别截取，，使；分别以，为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点．若，，，为上一动点，则的最小值为A． B． C． D．解：如图，过点作于点．，，，，由作图过程可知：平分，，，，设，则有，，，为上一动点，则的最小值为，故选：．二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）13．（2分）计算：2．解：，的算术平方根是2，即．故答案为：2．14．（2分）比较大小：（填“”、“”、“”解：，，故答案为：．15．（2分）关于的方程的解是，则的值为．解：把代入方程中，得，解得，故答案为：．16．（2分）如图，在△中，是边的垂直平分线，垂足为，交于点，若，△的周长是15，则的长为9．解：是的垂直平分线，，，△的周长为15，，，，故答案为：9．17．（2分）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，，则的度数为．解：光线与主光轴平行，，，，，，．故答案为：．18．（2分）如图，点是等边中边的中点，点，分别在，边上，且，若，，则的周长为30．解：过点作于点，于点，是等边三角形，，为的中点，，，，，，，，，，，，，，，，，，，的周长为．故答案为：30．三、解答题（本大题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）19．（6分）计算：．解：．20．（6分）化简求值：，其中，．解：原式，当，时，原式．21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，△在坐标系中，，．（1）在图中画出△关于轴的对称图形△；（2）分别写出对应点，，的坐标；（3）请在图中的轴上找一点，使得的值最小，并直接写出点的坐标．解：（1）如图，△即为所求．（2）由图可得，点，，．（3）如图，连接交轴于点，连接，此时，则点即为所求．由图可得，点的坐标为．22．（10分）2024年3月23日下午，中国空间站“天宫课堂”再度开课，“太空老师”翟志刚、王亚平、叶光富演示了“太空冰雪”试验、液桥演示试验、水油分别试验、太空抛物试验等，以天地互动的形式演示了试验，并介绍与展示了空间科学设施．这场充溢奇思妙想的太空授课，让科学的种子在亿万青少年的心里生根发芽．某学校为了解学生对“航空航天知识”的掌握情况，从七年级随机抽取部分同学进行测试，并对成绩（百分制）进行整理、描述和分析．下面给出部分信息：．学生成绩的统计图如图（数据分为五组：，，，，．．在这一组成绩的是80808081818283848485858788898989．成绩不低于90分为优秀．根据以上信息，回答下列问题：（1）本次调查采用的方式是抽样调查（选填“全面调查”或“抽样调查”，样本容量是．（2）补全频数分布直方图；（3）若七年级有400名学生，请估计该校七年级学生达到优秀的人数．解：（1）本次调查采用的方式是抽样调查，样本容量是：；故答案为：抽样调查，50；（2）成绩在这一组的共有16名，成绩在这一组的有（名，补全频数分布直方图如下：（3）（名，答：该校七年级学生达到优秀的大约有104名．23．（10分）已知：如图，点，，，在一条直线上，，，．（1）求证：△△；（2）若，，求的度数【解答】（1）证明：，，即，在△与△中，，△△；（2）解：△△，，，．24．（10分）“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．某中学为了落实“双减”政策，丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号“文房四宝”，经过调查得知：若购买3套甲型号和2套乙型号共用420元，买5套甲型号和4套乙型号共用740元．（1）求每套甲型号、乙型号“文房四宝”的价格分别是多少元？（2）若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共120套，总费用不超过8500元，至少可以买乙型号多少套？解：（1）设每套甲型号“文房四宝”的价格是元，每套乙型号“文房四宝”的价格是元，根据题意得：，解得：．答：每套甲型号“文房四宝”的价格是100元，每套乙型号“文房四宝”的价格是60元；（2）设购买乙型号“文房四宝”套，则购买甲型号“文房四宝”套，根据题意得：，解得：，又为正整数，的最小值为88．答：至少可以买乙型号“文房四宝”88套．25．（10分）【问题背景】在学习了等腰三角形等有关知识后，数学活动小组对如图所示的课本上的一道例题进行了深入探究，发现：当角平分线遇上平行线时一般可得等腰三角形，有角平分线时，常过角平分线上一点作角的平行线构造等腰三角形．如图1，为的角平分线上一点，过点作交于点，易证为等腰三角形．【基本运用】（1）如图2，把长方形纸片沿对角线折叠，点落在点处，重合部分是等腰三角形吗？为什么？【类比探究】（2）如图3，中，与外角的角平分线交于点，过点作分别交、于点、点，试探究线段、、之间的数量关系并说明理由；【拓展提升】（3）如图4，四边形中，，为边的中点，且平分，连接，求证：．【解答】【基本运用】（1）解：是等腰三角形．理由如下：在长方形中，，，由折叠性质可知：，，，是等腰三角形；【类比探究】（2）解：；理由如下：平分，，，，，，同理：，又，；【拓展提升】（3）证明：如图4，延长、交于点，，，，平分，，，，在和中，，，，又，．26．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，，，直线交坐标轴于和．（1）若和满足，则点的坐标为，点的坐标为