考点04 不等式及性质（解析版）高中数学

考点04不等式及性质

在考点详解

【命题解读】

不等式的性质是新高考常考查的知识点，主要常见于单选题或者多选题中出现。考查不等式的比较大

小，常用的方法一是运用不等式的性质进行判断，二是运用特殊化进行排除。

【基础知识回顾】

1、两个实数比较大小的依据

Wa-b>0^a>b.

(2)〃-Z?=0=a=b.

(3)a—b<0<^a<b.

2、不等式的性质

(1)对称性：a>bob<a；

(2)传递性：a>b>b>c^a>c；

(3)可加性：a>b^a+c>b+c；公攵九念4三@±C次土直

(4)可乘性：6浊?)之Q3acNbc;〜一

a>b>0,c>d>0=>ac>bd；c<0时应变号.

(5)可乘方性：。>比>0今/>V(〃£N,〃21)；

(6)可开方性：a>b>0y[a>9(〃£N,〃22).

3、常见的结论

(1)«>/?,而>0今；<^.

(2)〃<0<6今]<£

ah

(3)a>b>0,0<c<d

4、两个重要不等式

若a>b>0fm>0,则

bb-\~mbb-m

(1)-<.；­>----

'Jaa+maa—nv7

aa+maa-m

(2)7>7";-；工----S—〃7>0).

bb+mbb-m

t热身训练

0,

1、下列四个命题中，为真命题的是（）

A.若a>b,贝ijac2>bc2

B.若c>d,则a—

C.若a>\b\,则cr>tr

D.若a>b,则

【答案】C

【解析】当c=0时，A不成立；2>1,3>-1,而2—3<1—（-1）,故B不成立；a=2,8=一1时，D不

成立；由。>|用知。>0,所以。2>〃，故选C.

2、（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）（多选题）设〃>1>/?>一1,b^O,则下列不等式中恒成

立的是（）

1111,,,

A.B.—>—C.a>b~D.a~>b~

abab

【答案】CD

【解析】

当“=2力=-,，满足条件.但！〈工不成立，故A错误，

2ab

当a>b>0时，—<—,故B错误，

ab

,/.0</?2<1>则<>/，故C正确，

a>\>h>-l,:.a+b>0,a-b>0,：.a2-b2=（a+b\a-Z?）>0,故D正确.

故选：CD.

3、（2020江苏盐城中学月考）（多选题）下列命题为真命题的是（）.

A.若a>b,则:〉一

ba

ab

B.若c<d<0,则一<一

dc

C.若Q〉力>（）,且eV。，则一2>—T-

ah

D.若a>b,且则成<0

ab

【答案】BCD

【解析】

选项A：当取a=l,b=—1时，—<—，，本命题是假命题.

ba

选项B：已知。cvdvO,所以—>—>0»

dc

—;>—，故二<一,1•本命题是真命题，

acac

11

选项c：tz>/?>0=>tz9->/7?->0=>0<—<—,

a~b

\*C<0,/.—>yy,「・本命题是真命题.

ab

-1111八b-a八

选项D：—>—----->0----->0»

ababab

•：a>b,—6Z<0»<0,本命题是真命题.

故选：BCD

4、若。=竽，人=野，则a尔填或

【答案】<

【解析】：易知”，〃都是正数，~=^^7=logs9>I,所以〃>4

5、已知一1令<4,2勺<3,则X-），的取值范围是,3x+2y的取值范围是

【答案】：（-4,2）（1,18）

【解析】•.,一1令<4,2<），<3,，一3〈一产一2,

—4<x—><2.

由一l<x<4,2<y<3,得一3<3A<12,4<2><6,

l<3x+2y<18.

t

0典例剖析

考向一不等式的性质

例1、（2020届山东省泰安市高三上期末）已知a,4c,△均为实数，则下列命题正确的是（）

A.若a>b,c>d,则ac>仇Z

Qd

B.若aZ?>0,力c-ad>0,则----->0

ah

C.若Q>"c>d,则

D.若a>b,c>d>0,则q>2

dc

【答案】BC

【解析】

若。>()>b,0>c>dy^\ac<bd>故A错；

若必>0,bc-ad>0,则竺且>0,化简得£一4>0,故B对；

abab

若c>d,则-d>-c,又a>b,则a-d>〃-c,故C对；

若。=—1,b=-2,c=2,d=l,则4=-1,—=—1»—=—=—1,故D错；

dcdc

故选：BC.

111111

变式1、若£<3<0,给出下列不等式：①言与<益；②|a|+b>0；③。一£>8—1④In/Ainb?.其中正确

的不等式是()

A.①④B.②③C.①③D.②④

【答案】C

11

【解析】方法一因为^VgVO，故可取Q=—1,b=-2.

显然|a|+b=l—2=-1V0,所以②错误；因为Ino2=|n(一1]=0,Inb2=ln(-2)2=ln4>0,所以④错

误.综上所述，可排除A,B,D.

111111

方法二由£VgV。，可知bVa〈O.①中，因为o+bVO,ab>0,所以立1VO,益>。•故有丁豆〈益，

即①正确；

②中，因为bVaVO,所以一b>—a>0.故一b>|°|,BP|a|+fa<0,故②错误；

1111

③中，因为bVoVO,又£VgV6则一£>一3>3

11

所以O—故③正确；

④中，因为b<oVO,根据y=*2在(-8,0)上为减函数，可得而y=lnx在定义域(0,+8)

上为增函数，所以Inb2>ln/,故④错误.由以上分析，知①③正确.

变式2、已知x,y£R,且则()

A.--~>0B.sinx—siny>0

xyJ

C.Q)'-(2)V<0D.lnx+lny>0

【答案】C

【解析】函数y=Q>在(0,+8)上为减函数，，当心*>0时，即Q)'—故C正确；函

数、=?在(0,+口)上为减函数，，由x>)>0=?<\4—：<(),故A错误：函数y=sinx在(0,+s)上不单调,

XXyX

当£>*>0时,不能比较sinx与siny的大小,故B错误；x>y>0」孙>l』n（肛）>0」hix+lny>0,故D错误.

变式3、（2020•邵东创新实验学校高三月考）下列不等式成立的是（）

A.若0VbV0,则标>〃B.若ob=4,则。+拒4

ice“…bb+m

C.若。>b,则。。2>反2D.若a>b>0,m>0,则一<-----

aa+m

【答案】AD

【解析】

对「4若根据不等式的性质则，故4正确;

对于B,当。=-2,人=—2时，a+b=-4<4,显然8错误；

对于C,当。=0时，必=而，故C错误；

bb+mZ?(tz+m)-^(Z?+m)[b-a^tn

对■于D,

aa+ma^a-^rri)Q(Q+W)

（b-a\m

因为。>b>0,m>0,所以b-a<0,。+加>0,所以-----;<0

矶Q+根）

所以2_.<0,即然竺成立，故D正确.

aa+maa+m

故选AD.

方法总结：判断多个不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明.常用的推理判断需要利用不等式

的性质，常见的反例构成方式可从以下几个方面思考：①不等式两边都乘以一个代数式时，考察所乘的代

数式是正数、负数或0；②不等式左边是正数，右边是负数，当两边同时平方后不等号方向不一定保持不变；

③不等式左边是正数，右边是负数，当两边同时取倒数后不等号方向不变等.

考向二不等式的比较大小

例2、设a泌>0,试比较er—七lr5与a巴—言h的大小.

a-+b-a+b

解法一(作差法)：

a2—b2a~b(。+匕乂a~-")一(。一3(。一+")

a2+b2~a+b(/+/),+.)

_(a-b)[(a+0)2-(a?+町2ab(a叫

+/)(Q+人)(〃+〃)(/+〃)

因为〃泌>0,所以〃+比>0,a-b>0t2ab>0.

2ab^a-b)“2—〃a—b

所以>0,所以a2+b^>a+b'

(a+b)^a2+6)

解法二(作商法)：

-fjrQ-b

因为〃泌所以0

>0,优十/r-a-nrb?-

――序o

(a+b)2a2+b2+2ah2ab

所以-----r=-_T=------TTP-=1+rT77>l-

a—bQ2+/cr-vb-cr+b-

a+b

/一后a~b

所以iz2+fe2>a+b"

2

匕a2

变式1、若a<0,b<0,则〃=5+不与q=a+b的大小关系为()

A.p<qB.pWq

C.p>qD.

【答案】：B

IJT〃2

【解析】(作差法)p—q=^+今—a—b

l/—a2।a2~b2(\1、

=匚1+F~=(bf9―-9七一/

ah~ah,

因为〃<0,力<0,所以〃+0v0,abX).

若a=b,则p—4=0,故p=q；

若aWb,则p—q<0,故p<q.

综上，〃<夕.故选B.

变式2、已知〃泌>0,比较〃戌与々％。的大小.

【解析】•。％"一…一口'

又故5>1，a-b>0,

又。%">0,"护>心,

：.不眇与a%"的大小关系为aabb>ahb11.

变式3、设。>0且在1,比较llogg—醐与log"(l+x)|的大小

解法一：当a>\时，由0W1知,

log«(1—x)<0,log«(l+x)>0,

.\|log«(l—x)|—|log«(l+x)|

=-log，1-X)-log，1+x)=一log〃(1-x2),

/.loga(l—fKO,从而一k>ga(l—f)>0,

故110gxi—x)|>|log«(l+x)|.

当0<«<l时,同样可得|loga(l—X)|>|log”(l+x)|.

解法二(平方作差)：

—x)|2—|log«(l+x)|2

=[log«(l—X)]2—[log«(l+x)]2

]—X

=log“(l-

/.|10&,(1—x)|2>|log«(l+x)|2,

故|loga(1—X)|>|k)ga(l+x)|.

方法总结：比较大小的方法

(1)作差法，其步骤：作差n变形=判断差与0的大小=得出结论.

(2)作商法，其步骤：作商=变形=判断商与1的大小=得出结论.

(3)构造函数法：构造函数，利用函数单调性比较大小

考向三运用不等式求代数式的取值范围

例3、设f(x)=ax2+bx,若19(一1K2,2</(1)<4,则/(一2)的取值范围是.

【答案】[5,10]

【解析】方法一设/(—2)=m/(—l)+"/(D(m,"为待定系数)，则4a—2b=m(a—b)+"(a+b),

即4a—2b=(m+n)a+(n—m)£>.

[m+n—4,(m=3,

于是得、解得，

[n—m=­2,n=l.

又：14/(一1)32,2q(1)44.

.,.5<3/(-l)+/(l)<10,

故59(-2区10.

变式1、设。VO,］）,尸e0,|，那么2a—f的取值范围是

【答案】（—乙，》）

6

【解析】：由题设得0<2。<乃,0«24工

36

—已+40,q<2a4<i

变式2、（2020•天津模拟）若a,夕满足一声a中号则2a一夕的取值范围是（）

A.一兀<2］一夕<0B.—Ti<2a—^<n

C,—^<2a—p<^D.0<2a—［｝<Tt

【答案】C

TTJI

［余翠木斤］：*/——n<2a<n.

甘*,♦一*—衅

-¥<2a一夕<挈

又a~-,a<2f.>2a一6

故一苧<2a一

方法总结：求代数式的取值范围

一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围

，，优国提升•实战演练

1、（2019年高考全国II卷理数）若a>b,则

A.ln（a-b）>0B.30<3fa

C.a3-b3>0D.|a|>|b|

【答案】C

【解析】取a=21=1,满足。>力，ln（a-b）=0,知A错，排除A；因为9=3">3&=3，知B错，排

除B；取a=l1=—2,满足a>b,1=时<网=2,知D错，排除D,因为基函数y=/是增函数，a>b，

所以/>/,故选c.

2、(2016•新课标I,理8)若a>匕>1,0<c<l,则()

A.ac<甘B.abc<bac

C.alog6c</?log„cD.k)g“c<l0gzlc

【答案】C

【解析】0<c<l,.,.函数f(x)=x°在(0,+8)上为增函数，故优>」',故A错误，

.函数f(x)=x'T在(0,”)上为减函数，故尸廿,故如<<w,即加；故B错误；

log„c<0.且k>g〃c<0,k>g“Z?<l,即1°=［。±<］.,即log,,c>k>g〃c.故。错误；

log,alog%c

0<-log<,c<-logAc,-Z>logac<-alog,,c,即61og“c>alog〃c,即al0gzlc<6log。c,故C正确；故选C.

3、(2014山东)若a>b>0,c<d<Q,则一定有()

abababab

A.—>—B.-<—C.—>-D.—<一

cdcddcdc

【答案】D

【解析】由c<d<0n—!>一!>0,又a〉b>0,由不等式性质知：一乌>一2>0,所以故

dcdede

选D.

4、(2020届山东省潍坊市高三上期中)若则下列不等式中正确的是()

A.2X>2VB.三八7^C.X2>y2D.X2+y2>2xy

【答案】AD

【解析】

对A,由指数函数的单调性可知，当xNy,有2'22‘，故A正确；