辽宁省点石联盟2024−2025学年高二上学期10月阶段考试 数学试题含答案

2024−2025学年高二上学期10月阶段考试数学试题一、单选题（本大题共8小题）1．下列说法正确的是（

）A．零向量没有方向B．在空间中，单位向量唯一C．若两个向量不相等，则它们的长度不相等D．若空间中的四点不共面，则是空间的一组基底2．已知直线的倾斜角为，则该直线的一个方向向量为（

）A． B． C． D．3．如图所示，在三棱锥中，为的中点，设，则（

）

A． B．C． D．4．已知两直线，若，则与间的距离为（

）A． B． C． D．5．已知直线，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．已知平面的法向量，平面的法向量，若，则（

）A． B．1 C．2 D．7．如图所示，正方体的棱长为2，点分别为的中点，则（

）

A．直线与直线垂直B．直线与平面平行C．三棱锥的体积为D．直线与平面所成的角为8．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．在如图所示的鳖臑中，平面，，，E是BC的中点，H是内的动点（含边界），且平面，则的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．已知直线，则（

）A．若，则直线的倾斜角为B．直线过定点C．若，则直线在轴和轴上的截距相等D．若直线不经过第二象限，则10．如图，四边形为正方形，平面为的中点，则（

）A．四点共面 B．平面C．平面 D．平面平面11．正方体中，为的中点，为正方体表面上一个动点，则（

）A．当在线段上运动时，与所成角的最大值是B．若在上底面上运动，且正方体棱长为1，与所成角为，则点的轨迹长度是C．当在面上运动时，四面体的体积为定值D．当在棱上运动时，存在点使三、填空题（本大题共3小题）12．已知直线过点，则当取得最小值时，直线的方程为．13．如图，正三棱柱的各棱长均为，点为棱上的中点，点为棱上的动点，则在上的投影向量的模的取值范围为．14．已知正方体的体积为8，且，则当取得最小值时，三棱锥的外接球体积为.四、解答题（本大题共5小题）15．已知直线与直线的交点为．(1)求点关于直线的对称点；(2)求点到经过点的直线距离的最大值，并求距离最大时的直线的方程．16．如图，是半圆的直径，是的中点，，平面垂直于半圆所在的平面，．

(1)若为的中点，证明：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值．17．如图①，在边长为4的菱形中，分别是边的中点，，如图②，将菱形沿对角线折起．(1)证明：；(2)当点折叠到使二面角为直二面角时，求点到平面的距离．18．如图，在平行六面体中，．(1)证明：平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值．19．定义：如果在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，那么称为两点间的曼哈顿距离．(1)已知两点的坐标分别为，如果它们之间的曼哈顿距离不大于2，求的取值范围；(2)已知两点的坐标分别为，如果它们之间的曼哈顿距离恒大于1，求的取值范围；(3)若点在函数的图象上且，点的坐标为，求的最小值．

参考答案1．【答案】D【详解】对于A，零向量有方向，方向是任意的，故A错误；对于B，在空间中，单位向量模长为1但方向有无数种，故单位向量不唯一，故B错误；对于C，若两个向量不相等，则它们的方向不同或长度不相等，故C错误；对于D，若空间中的四点不共面，则向量不共面，故是空间的一组基底，故D正确.故选：D.2．【答案】C【详解】直线的倾斜角为，则斜率，所以该直线的一个方向向量为.故选：C.3．【答案】A【详解】由图可得.故选：A.4．【答案】D【详解】已知两直线，若，则，解得，则直线，则与间的距离为.故选：D.5．【答案】A【详解】或，则“”是“”的充分不必要条件.故选：A.6．【答案】A【详解】若，则，所以，解得，故.故选：A.7．【答案】B【详解】对于A，为正方体，所以，直线与直线不垂直，所以直线与直线不垂直，故A错误；如图建立空间直角坐标系，

则,0,，,2,，,2,，,2,，,0,，对于B，设平面的法向量为，则，取，因为，所以，所以，因为在平面外，所以直线与平面平行，所以B正确；对于C，因为，所以三棱锥的体积为，所以C错误；对于D，因为，设直线与平面所成的角为，则，所以D错误．故选：B．8．【答案】B【分析】依题意作出图形，利用面面平行的判定定理可得平面，再由线面垂直的判定定理可得平面，进而有，，结合空间向量的数量积运算即可求解.【详解】设F，G分别为AB，BD的中点，连接FG，EF，EG，如图，易得，，，因为平面，平面，所以平面，同理平面，又因为平面，，所以平面平面.因为平面，所以H为线段FG上的点.由平面，平面，得，又，则，由平面，得平面，因为，所以平面，，.因为，所以，，.所以，因为，所以.故选B.【思路导引】本题解决的关键是推得H为线段FG上的点，从而利用空间向量数量积的定义得到，从而得解.9．【答案】ABC【详解】对于A，若，则直线，所以直线的倾斜角为，故A正确；对于B，，所以，则直线过定点，故B正确；对于C，若，则直线，令得，令得，所以则直线在轴和轴上的截距相等均为，故C正确；对于D，若，则直线，此时直线不过第二象限，又直线过定点，要使得直线不过第二象限，则，解得，所以若直线不经过第二象限，则，故D错误.故选：ABC.10．【答案】BCD【详解】对于A，取中点，连接，由题意，所以四边形是平行四边形，所以，因为四边形是正方形，所以，所以，所以四点共面，所以四点不共面，故A错误；对于B，取中点N，连接，在中，M、N分别为的中点，，且，，，，且，四边形为平行四边形，，平面，且平面，平面，故B正确；对于C，在正方形中，，平面平面，且平面平面，平面，，在直角梯形中，，，可得，，平面，平面，故C正确；对于D，因为平面，平面，所以平面平面，故D正确.故选：BCD.11．【答案】CD【详解】

对于A，如图一，在正方体中，易知，所以与所成角等价于与所成的角，当为中点时，，此时所成角最大，为，故A错误.对于B，如图二，因为棱垂直于上底面，且与所成角为，所以在中，，由圆锥的构成可知所在的轨迹是以为圆心1为半径的弧，轨迹长度是，故B错误.对于C，如图三，因为在面内，面到平面的距离等于，而面积不变，故体积为定值，故C正确.对于D，如图四，以为原点，为轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，，因为，由，所以，故D正确.故选：CD.12．【答案】【详解】因为直线过点，所以，则，当且仅当，即时，取到最小值，故此时直线的方程为，即.故答案为：.13．【答案】【详解】连接，则，又三棱柱为正三棱柱，则平面，平面，所以，又，平面，所以平面，如图建立空间直角坐标系，则，，，，所以，，因为点为棱上的动点，设，，则，所以，则在上的投影向量的模为，因为，所以，即在上的投影向量的模的取值范围为.14．【答案】/【详解】由题意得，，将平面展成与平面同一平面，当点共线时，此时最小，在展开图中作，垂足为N，因为为等腰直角三角形，所以，，由得，，解得，在正方体，过点作，垂足为，则，如图，以D为原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，则，，，，则，因为，所以，又因为平面，且，所以平面，因为，所以三棱锥外接球的球心在上，设球心为，设，则，因为，所以，解得，即，所以外接球，所以三棱锥外接球的体积，故答案为：.15．【答案】(1)(2)，【详解】（1）当，时，有，.所以两直线的交点为.由于关于直线对称，故直线和直线垂直.而直线即的斜率为，从而直线的斜率为.再由知直线的方程为，即.将与联立，得，.从而直线和直线的交点为，由于关于直线对称，故是的中点.最后由，即知.（2）若是一条经过的直线，则由于，知到的距离不超过.若有一条经过的直线，满足到的距离为，则由，知和垂直.而直线的斜率，故的斜率为.再由经过，即知的方程为，即.综上，点到经过点的直线距离的最大值为，当距离最大时，直线的方程为.16．【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）因为是半圆的直径，所以为中点，因为为的中点，所以，又平面，平面，所以平面（2）因为平面垂直于半圆所在的平面，交线为，因为，为中点，所以，因为平面，所以平面，因为平面，所以，因为是半圆的直径，是的中点，所以，如图，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，

则，所以，设平面的法向量为，又，则，令，则，所以，故直线与平面所成角的正弦值为.17．【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）如图，取的中点，连接.结合折叠后线段长度不变得到，所以，又平面，所以平面，平面，所以，又分别是的中点，所以，所以.（2）因为点折叠到使二面角为直二面角，所以平面平面，又因为平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，结合（1）知两两垂直，故以为坐标原点所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，设平面的法向量为，则，令，，所以，又，所以点到平面的距离为.18．【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）因为．设，则，所以，又，所以，故，因为四棱柱，且，所以四边形为菱形，则，又平面，所以平面；（2）过点，作，连接，设，因为平面，平面，所以，又因为，且，故底面，又因为，所以平面平面，所以，在中，，在中，，在中，，以过点且与平行的直线为轴，所在的直线分别为轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，设平面的法向量为m=x,y,z则，令，则，平面的法向量为，所以，设平面与平面的夹角为，则，平面与平面夹角的余弦值为.1