江西省南昌市2024−2025学年高二上学期月考（一） 数学试卷含答案

江西省南昌市2024−2025学年高二上学期月考（一）数学试卷一、单选题（本大题共8小题）1．已知平面的法向量为，若直线平面，则直线l的方向向量可以为（

）A． B．C． D．2．平面的法向量为，平面的法向量为，则下列命题正确的是（

）A．，平行 B．，垂直C．，重合 D．，相交不垂直3．已知直线，，平面，，则下列说法正确的是（

）A．，，则B．，，，，则C．，，，则D．，，，，，则4．在中，为的重心，为上一点，且满足，则（

）A． B．C． D．5．（

）A． B． C． D．6．已知平面的法向量为，点在平面内，则点到平面的距离为（

）A． B． C． D．7．正方体中，是的中点，是底面的中心，是棱上任意一点，则直线与直线所成的角是（

）A． B． C． D．与点的位置有关8．已知二面角的大小为，且，，若四点，，，都在同一个球面上，当该球体积取最小值时，为（

）A． B． C．3 D．二、多选题（本大题共3小题）9．已知，，，则（

）A．直线与线段有公共点B．直线的倾斜角大于C．的边上的中线所在直线的方程为D．的边上的高所在直线的方程为10．如图，在正方体中，点P在线段上运动，则下列结论正确的是（

）A．直线平面B．三棱锥的体积为定值C．异面直线与所成角的取值范围是D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为11．设复数的共轭复数为，为虚数单位，则下列命题正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则的最小值是三、填空题（本大题共3小题）12．如图，是正四棱锥，是正方体，其中，，则该几何体的表面积；13．直线过点，，则直线的倾斜角为14．如图，在正方体中，AB＝1，M，N分别是棱AB，的中点，E是BD的中点，则异面直线，EN间的距离为.四、解答题（本大题共5小题）15．如图，在正方体中，E为的中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．16．已知点，，是的三个顶点.(1)求证：为锐角三角形；(2)求证：的三条中线交于一点.17．如图，在平行六面体中，，，设，，.(1)请用，，表示，并求向量的模；(2)求异面直线与所成角的余弦值.18．已知四边形ABCD为平行四边形，E为CD的中点，AB=4，为等边三角形，将三角形ADE沿AE折起，使点D到达点P的位置，且平面平面ABCE.(1)求证：；(2)试判断在线段PB上是否存在点F，使得平面AEF与平面AEP的夹角为45°.若存在，试确定点F的位置；若不存在，请说明理由.19．南昌二中心远农场的平面图是一个等腰三角形.记为，其腰的长为30米，底的长为40米.国庆前期，汪熙翔老师有一个想法：在农场内筑一条笔直的小路（宽度不计），将该农场分成一个四边形和一个三角形，面积分别为和，计划将四边形区域设计为菜园、三角形区域设计为鱼池，且要求分成四边形和三角形的周长相等.

(1)若小路一端为的中点，求此时小路的长度；(2)如何设计小路的位置，使得取最小值.请给出理由.

参考答案1．【答案】B【解析】由即得解.【详解】因为直线平面，故直线l的方向向量与平面的法向量平行，因为,故选：B.2．【答案】B【详解】因为，所以，所以，垂直.故选：B.3．【答案】D【详解】对于A：若时，则不成立，故A错误；对于B：若，，，，则或与相交，故B错误；对于C：若，，，则或与相交，故C错误；对于D：由面面平行的判定定理可知D正确.故选：D.4．【答案】D【详解】由题意，画出几何图形如下图所示：根据向量加法运算可得,因为G为的重心，所以.又M满足，即.所以.故选：D.5．【答案】A【详解】.故选：A.6．【答案】D【详解】则点到平面的距离为故选：D7．【答案】C【解析】建立空间直角坐标系，用向量法求解．【详解】如图，以为轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则，设，，∴，∴，即．∴直线与直线所成的角为．故选：C.8．【答案】D【详解】设球的半径为，则球的体积为，所以球体积取得最小值时，则球的半径最小.设，则，由题意知三棱锥外接球的球心是过和的外心E，H，易知分别为的中点，且四点共圆，且分别垂直这两个三角形所在平面的垂线的交点O，为三棱锥外接球半径，取的中点为G，如图：由条件知，在中，由余弦定理可得，∴的外接圆直径，当时，球的半径取得最小值.故.故选：D．9．【答案】BCD【详解】、因为，，所以直线与线段无公共点，A错误；因为，所以直线的倾斜角大于，B正确；因为线段的中点为，所以边上的中线所在直线的方程为，C正确；因为，所以上的高所在直线的方程为，即，D正确.故选：BCD10．【答案】ABD【详解】在选项A中，∵，，，且平面，∴平面，平面，∴，同理，，∵，且平面，∴直线平面，故A正确；在选项B中，∵，平面，平面，∴平面，∵点在线段上运动，∴到平面的距离为定值，又的面积是定值，∴三棱锥的体积为定值，故B正确；在选项C中，∵，∴异面直线与所成角为直线与直线的夹角.易知为等边三角形，当为的中点时，；当与点或重合时，直线与直线的夹角为.故异面直线与所成角的取值范围是，故C错误；在选项D中，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图，设正方体的棱长为1，则，，，，所以，.由A选项正确：可知是平面的一个法向量，∴直线与平面所成角的正弦值为：，∴当时，直线与平面所成角的正弦值的最大值为，故D正确.故选：ABD11．【答案】ABD【详解】设，对于选项A：，所以，所以，故选项A正确；对于选项B：，所以，即，故选项B正确；对于选项C：，则，故选项C不正确；对于选项D：即表示点到点和到点的距离相等，所以复数对应的点的轨迹为线段的垂直平分线，因为中点为，，所以的中垂线为，整理可得：，所以表示点到的距离，所以，故选项D正确，故选：ABD.12．【答案】/【详解】题意得正四棱锥的斜高，故几何体表面积为.故答案为：.13．【答案】/【详解】由斜率公式,设倾斜角为由.故答案为：.14．【答案】【详解】以为原点，的方向为轴建立空间直角坐标系，易知，，设同时垂直于，由，令，得，又，则异面直线，EN间的距离为.故答案为：.15．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.【详解】（Ⅰ）[方法一]：几何法如下图所示：在正方体中，且，且，且，所以，四边形为平行四边形，则，平面，平面，平面；[方法二]:空间向量坐标法以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为，则、、、，，，设平面的法向量为，由，得，令，则，，则.又∵向量,,又平面，平面；（Ⅱ）[方法一]：几何法延长到，使得，连接，交于，又∵，∴四边形为平行四边形，∴，又∵,∴,所以平面即平面,连接，作,垂足为,连接,∵平面,平面,∴，又∵,∴直线平面,又∵直线平面,∴平面平面,∴在平面中的射影在直线上,∴直线为直线在平面中的射影，∠为直线与平面所成的角，根据直线直线，可知∠为直线与平面所成的角.设正方体的棱长为2，则,,∴,∴,∴,即直线与平面所成角的正弦值为.[方法二]：向量法接续（I)的向量方法，求得平面平面的法向量，又∵,∴，∴直线与平面所成角的正弦值为.[方法三]：几何法+体积法如图，设的中点为F，延长，易证三线交于一点P．因为，所以直线与平面所成的角，即直线与平面所成的角．设正方体的棱长为2，在中，易得，可得．由，得，整理得．所以．所以直线与平面所成角的正弦值为．[方法四]：纯体积法设正方体的棱长为2，点到平面的距离为h，在中，，，所以，易得．由，得，解得，设直线与平面所成的角为，所以．【整体点评】（Ⅰ）的方法一使用线面平行的判定定理证明，方法二使用空间向量坐标运算进行证明；（II）第一种方法中使用纯几何方法，适合于没有学习空间向量之前的方法，有利用培养学生的集合论证和空间想象能力，第二种方法使用空间向量方法，两小题前后连贯，利用计算论证和求解，定为最优解法；方法三在几何法的基础上综合使用体积方法，计算较为简洁；方法四不作任何辅助线，仅利用正余弦定理和体积公式进行计算，省却了辅助线和几何的论证，不失为一种优美的方法.16．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【详解】（1）证明：因为，所以，且，所以是锐角；，且，所以是锐角；，且，所以是锐角；所以，为锐角三角形；（2）证明：设点分别为的中点，易得坐标为.所以得中线所在直线的方程为x=1，中线所在直线的方程为，中线CE所在的直线方程为，联立，解得交点，检验可知交点满足中线CE所在的直线方程，故的三条中线交于一点.17．【答案】(1)；(2)【详解】（1）由题意得，，，，..（2），..则.故异面直线与所成角的余弦值为.18．【答案】(1)证明见解析(2)存在，点F为线段PB的靠近点P的三等分点【详解】（1）证明：因为四边形ABCD为平行四边形，且为等边三角形，所以∠BCE=120º.又E为CD的中点，所以CE=ED=DA=CB，即为等腰三角形，所以∠CEB=30º.所以∠AEB=180º－∠AED－∠BEC=90º，即BE⊥AE.又因为平面AEP⊥平面ABCE，平面平面ABCE=AE，平面ABCE，所以BE⊥平面APE，又平面APE，所以BE⊥AP.（2）解：取AE的中点O，连接PO，由于为正三角形，则PO⊥AE，又平面APE⊥平面ABCE，平面平面ABCE=AE，平面EAP，所以PO⊥平面ABCE，，，取AB的中点G，则，由（1）得BE⊥AE，所以OG⊥AE，以点O为原点，分别以OA，OG，OP所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz，则0（0，0，0），A（1，0，0），，，E（－1，0，0），则，，，，假设存在点F，使平面AEF与平面AEP的夹角为45°，设，则，设平面AEF的法向量为，由得，取z=2λ，得；由（1）知为平面AEP的一个法向量，于是，，解得或λ=－1（舍去），所以存在点F，且当点F为线段PB的靠近点P的三等分点时，平面AEF与平面AEP的夹角为45°.1