新教材2022版数学人教A版选择性必修第一册提升训练：13 空间向量及其运算的坐标表示

1.3空间向量及其运算的坐标表示

1.3.1空间直角坐标系

1.3.2空间向量运算的坐标表示

基础过关练

题组一空间向量的坐标表示

1.(2020安徽阜阳三中高二上期中)已知点力(-3,1,-4),点力关于x轴的对称点的

坐标为()

A.(-3,-1,4)B.(-3,-1,-4)

C.(3,1,4)D.(3,-1,-4)

2.(2020山西晋中高一上期末)已知点J(l,l,-3),M3,1,-1),则线段四的中点M

关于平面仅对称的点的坐标为()

A.(-2,1,-2)B.(2,1,-2)

C.(2,-1,-2)D.(2,1,2)

3.(2021首都师范大学附属中学高二上月考)如图所示,在长方体/吠43c2

中阂二4,|皿|二5,IM=3,“为棱。的中点，分别以四、AD、中।所在的直线为x

轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系.

(1)求点46,K"4,凡C,4的坐标;

⑵求点”的坐标.

H

题组二空间向量线性运算的坐标表示

4.(2020山东滨州十二校高二上联考)已知向量所(1,犷加(T,2,T),则向

量房()

A.(2,-4,2)B.(-2,4,-2)

C.(-2,0,-2)D.(2,1,-3)

5.(2021辽宁辽阳高二上检测)若向量炉(2,0,T),炉(0,1,-2),则2方斤()

A.(-4,1,0)B.(-4,1,-4)C.(4,-1,0)D.(4,-1,-4)

6.(2020上海徐汇高二下期末)如图，以长方体力比的顶点〃为坐标原点，

过D的三条楼所在的直线为坐标轴,建立空间直角坐标系,若西的坐标为(4,3,2),

则属的坐标为.

题组三空间向量数量积的坐标表示

7.(2021山东师范大学附属中学高二上月考)已知所(1,2,2)，伉(-2,1,1),则向量b

在a上的投影向量为()

川)BG3)

cG/D.(|，T3)

8.(2020福建莆田第七中学高二上期末)若向量a,b的坐标满足

创'A=(-2,T,2),-3,-2),则a•力等于()

A.5B.-5C.7D.-1

9.(2021天津静海高二上检测)若向量5=(1,1,2),后(1,2,1),户(1,1,1),则

(c-a)・2炉,

题组四利用空间向量的坐标运算解决平行和垂直问题

10.（2021福建南平高二上期中）己知声（sin0,cos。,tan

〃），/F（cose,sin。，点），且a_L6,则〃为（）

A.--B.-C.2^n--aeZ）D.Z）

4424

11.若在△力6c中,4902,-3A）,5（-2,1,0）,C（4,0,-2面,则k的值为

（）

A.V10B.-V10C.2V5D.±710

12.（2020北京中央民族大学附属中学高二上期末）已知小（用=4,2）,氏⑶7,-5）,

若〃则，+/的取值范围为（）

A.[2,+8）B.[3,+8）C.[4,+8）D.[5,+8）

题组五利用空间向量的坐标运算求夹角和模

13.（2021山东师范大学附属中学高二上月考）若向量a=U-4,-5）,ZF（1,-2,2）,且

a与b的夹角的余弦值为则实数x的值为（）

6

A「3B.11C3D「3或11

14.（2020四川绵阳中学高二上期中）空间直角坐标系中的点展3,3,1）关于平面3T

的对称点万与点M-1,1,5）间的距离为（）

A.6B.2V6C.4V3D.2714

15.（2020北京十二中高二上期中）已知点4（0,1,2）3）,C（l,5,-1）.

（1）若〃为线段比的中点,求线段4〃的长；

⑵若而二⑵a,1）,旦丽­而二1,求a的值,并求此时向量而与而夹角的余弦值，

16.（2020山西太原第五中学高二上月考）如图，以棱长为1的正方体的三条棱所在

直线为坐标轴,建立空间直角坐标系Oxyz、点尸在线段用上，点，在线段DC上.

⑴当PF2AP,且点尸关于y轴的对称点为必时,求\PM\;

⑵当点,是面对角线"的中点,点。在面对角线加上运动时，探究|PQ\的最小值.

深度解十析

能力提升练

题组一利用空间向量解决平行、垂直问题

1.（2021江西新余一中、宜春一中高二上联考,#：）如图所示,在正方体力比＞466〃

中,0是底面正方形力筋的中心力是〃〃的中点，”是45的中点,则直线和9,4V的

位置关系是（）

A,平行B.相交C.异面垂直D,异面不垂直

2.（2020辽宁盘锦高二上期末，姨）如图，四边形力物为正方形,勿，平面四勿如

〃出QA二A吟PD,则平面夕夕与平面仇功的位置关系为（）

A,平行B.垂直C相交但不垂直D,位置关系不确定

3.（2020中国人民大学附属中学高一下期末,*：）三棱锥人力欧中，侧面微工底面

ABC,//盼45°,阳二阳AC=AB,则（）

A.ACA.BCB.VBVACC.VAA.BCD.VCVAB

4.（2020云南师大附中高三下月考,出）如图,在正方体ABCAABCD

札尸,Q,M,N,H,斤是各条棱的中点.

①直线独〃平面拗火;②期18③EQ民"四点共面;④力。」平面仍几

其中正确的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

5.（多选）（2020海南海口海南中学高三下月考,*丁）如图所示,正方悻ABMABCD

中"作1,点P在侧面8S4及其边界上运动,并且总是保持"1胡,则以下四个结

论正确的是（）

A.VP-AAyD=的.点户必在线段B、C上

C.〃平面

6.（2020浙江绍兴高二上期末阶段测试,"）如图，己知四棱柱四⑦《几加」

平面ABCD、四边形仍徵是正方形，点E在线段4〃上,且AB2ED.

⑴证明:初1居

⑵证明:初〃平面力必

R

题组二利用空间向量的坐标运算解决长度和夹角问题

7.（2020安徽芜湖高二上期末,好）如图,在三棱锥RABC中,△/!弦为等边三角形,

△阳C为等腰直角三角形,为二小4,平面为C_L平面ABC,〃为,仿的中点,则异面直

线4c与外所成角的余弦值为（深度解+析）

A.iB.-C.-D.-

4442

8.（2020四川内江高三三模,"）如图该几何体由半圆柱体与直三棱柱构成,半圆柱

体底面宜径除4"庐〃;ZW90',〃为半圆弧的中点，若异面直线切和力区所成

角的余弦值为|,则该几何体的体积为（）

A.16+8B.32+16nC.32+8D.16+16n

9.（2020湖北武汉高二期末联考,*）在棱长为1的正方体川助〃中,P是底面

,4颇（含边界）上一动点,满足APlACh则线段4/长度的取值范围是（）

A.偿，闾B.偿，间C.[1,V2]D.[V2,V3]

10.（多选）（2020山东莱州第一中学高二上期末,*）正方体48。心-40的棱长为

2,M为的中点，下列命题中正确的是（）

A.仍与加成60°角

B.若丽=；两面*MN交CD于点£则CE=；

JJ

C.尸点在正方形力跖M边界及内部运动,且帆LDA,则尸点的轨迹长等于加

D.E,尸分别在〃从4G上，口等=然=2,直线EF与401,41。所成角分别是见/?,

则a+6=]

11.（2021山东滕州一中高二上月考,加）如图所示的正方体是一个三阶魔方（由27

个全等的棱长为1的小正方体构成），正方形力筋是上底面正中间的一个正方形,

正方形48G〃是下底面最大的正方形，已知点尸是线段力。上的动点，点0是线段

6”上的动点,则线段留长度的最小值为_______.深度解+析

12.（2020青海西宁五中高二期末,*：）如图,在直三棱柱ABC-A^G

也G4=6B=1,力4=2,/比冷90°,丛川分别是4瓦的中点.

（1）求丽的模；

⑵求cos〈西,函）的值；

⑶求证:4以战

N

答案全解全析

基础过关练

1.A・・,在空间直角坐标系中关于x轴对称的点的横坐标不变,纵坐标和竖坐标变

为原来的相反数，，点力(-3,1,-4)关于工轴对称的点的坐标是(-3,-1,4).

牧选A.

2.A•・,点力(1,1,-3),8(3,1,T),J线段的中点M2,1,-2),

，点M关于平面。必对称的点的坐标为(-2,1,-2).

牧选A.

3,解+析⑴由己知，得4(0,0,0),由于点8在x轴的正半轴上，|用|=4,故

5(4,0,0),同理可得〃(0,3,0),4(0,0,5),由于点C在坐标平面力中内,BCIAB,CD

LAD,故C(4,3,0),同理可得R(4,0,5),fl(0,3,5),与点C的坐标相比，点G的坐标

中只有竖坐标不同，ICC闫1=5,则C(4,3,5).

⑵由⑴知,C(4,3,0),G(4,3,5),则CC的中点坐标为A(4,3,|).

4.A岳(1,一2,1)一(一1,2,一1)=12,一4,2).

放选A.

5.C因为向量斫(2,0,-1),所以2行(4,0,-2),又向量乐(0,1,-2),

所以2年左(4,0,以)-(0,1,-2)二(4,-1,0),故选C.

6.答案(-4,3,2)

解+析因为点"(0,0,0),西二(4,3,2),所以为(4,3,2)，即初=4,。3,〃〃二2,所以

A(4,0,0),6；(0,3,2),因此京(-4,3,2).

7.BVa=(l,2,2),ZF(-2,1,1),Aa-ZFIX(-2)+2Xl+2Xl=2,

・..向量a方向上的单位向量l=I，

a33J

・・•向量力在a上的投影向量炉野。二益/6A，I)

改选B.

8.BV卅庆(-2,-1,2),a-b=(4,-3,-2),

，两式相加得2a=(2,~4,0),

解得小(1,-2,0),・,•乐(-3,1,2),

，a・炉1X(-3)+(-2)X1+0X2=-5,故选B.

9.答案-2

解+析Vc-a=(0,0,-l),2Zr(2,4,2),

・・・Ca)♦2代0+0-2=-2.

.,且j

10,D二年(sinJ,cosJ,tan。)，加(cos。,sin。,

AsinOcos夕+cosOsin6+1=0,

§Psin2°=T,

A2

2

.・・k当kx,kez.

4

技选D.

11.D•・,在△力比中"(1,2,-3〃)，5(-2,1,0),C(4,0,-2〃)，

.\CB=(-6,l,2A),C4=(-3,2,~k)f

又N已90°,：.CB•C2=(-6)X(-3)+lX2+2AX(一左)

=-2^+20=0,

.4.A=±Vio.

故选D.

12.C•・•乔(4-4,2),/(3,必-5),al仇

35

.\a•氏3尸4二10二0,，尸-叉

"+六V+(27嗤&丫+4》4,

・・・♦+"的取值范围为［4,+8).

敢选C.

0

13.A根据公式COS〈&6〉［a,:=，：+：］r—=-

abVX2+16+25XV1+4+4

•「一2=一它曰〈2

••环2'且-4

解得产11(舍)或产-3.

故选A

14.D由题意得，力'(3,3,-1),所以48=(-4,-2,6),所以14B|=,16+4+36=

2V14故选D.

15.解+析(1)由题意得,〃(1,2,1),，而二(1,1,-1),，|而|=V1+1+1=国,

即线段力。的长为VI

(2)易知而二(1,-2,1),・••丽•而二2-2界1=1,解得炉1,・・・而二⑵1,1),

.*.cos<i4S,而>=厂=

\竺AB\\.A"D\=、6」X伤6

即向量被与小夹角的余弦值为g

6

16.解+析由题意知4(1,0,1),6(1,1,0),AO,1,0),〃(1,1,1),

⑴由P代2Ap得(1,|),所以Mp,，，-1),所以|PM|二苧.

⑵当点尸是面对角线力8的中点时,《1,%点。在面对角线加上运动,设点

l,a),〃e［0,1］,

I22

则I闻二J(QT)2+(I6)+(Q-与

小i2-3a+g=

所以当炉|时,|PQ|取得最小值去此时点Qg1,3

方法归纳利用向量坐标求空间中线段长度的一般步骤：(1)建立适当的空间直角

坐标系；⑵求出线段端点的坐标(或线段对应向量的坐标)；⑶利用两点间的距离

公式求出线段的长(或利用向量模的坐标公式求出对应向量的模).

能力提升练

1.C建立空间直角坐标系,如图所示.设正方体的棱长为2,则

,4(2,0,0),M0,0,1),^(1,1,0),M2,1,2),

NO=(-1,0,=2),询=(-2,0,1).

,・•而•丽二0,J直线的的位置关系是异面垂直.故选C.

2.B由己知可得PD1DC、PD1DA、DCLDA,如图,以。为原点建立空间直角坐标系.

设3=1,则〃(0,0,0),C(0,0,1),0(1,1,0),H0,2,0),

，加二(1,1,0),沆二(0,0,1),PQ=(1,-1,O),

：.DQ•DC•PQ=O,：.PQLDQ,PQ1DC,•:DQCDOD,

平面DCQ,又眯平面PQG

工平面MCI平面DCQ.

3.C•：AOAB,/力吩450,ZJC^450,：.ACLAB,故选项A错误;

设比'的中点为的中点为£连接4〃、限VD,"；

易得,/!〃！阅VELAB,DE//AC.

又平面防C_L平面ABC,且平面VBCC\平面ABUB&4七平面ABC,・"。1平面VBC,

又I如平面VBR：.ADLVD.

•:DE〃AC,ABIAC,；.DE1AB,又VE1AB,VECD&E,.二四1平面VDE,：.ABLVD,

又力耳C/M,J跖，平面ABC,：.VDVBC,VDVAD.

以〃为坐标原点，刃，必〃”所在直线分别为x,y,z轴建立空间宜角坐标系.

设BD=DA=DC=at则A(at0,0),6(0,a,0),C(0,一国0),K(0,0"),

则

VA=^0,-Z?),而二(0,VC=(0,-机丽=(-2a,0),砥(-&-20),前二(0

,~2a,0),

：.VA-FC=0,VB•元二一/WO,VC・而“/WO,二VA1BC,故选项B、D错误，选项

C正确.

放选c.

4.B因为M4分别为4氏6。的中点,所以MN〃AD,

又因为J做平面4ft9M,4〃u平面ADDA,所以期¥〃平面ADDA,

同理可得〃平面ADD4,

又MNCN4N,所以平面粉W为平面ADBA、,

又力用平面MNP,所以力4〃平面MNP、①正确；

设棱长为2,如图建立空间直角坐标系,

所以〃(0,0,2),M2,0,1),C(0,2,0),0(1,0,0),

所以西二(-2,0,l),CQ=(l,-2,0),所以西•我二-2+0+0#0,②错误；

连接AQHR,因为H,"分别是AAhCG的中点,所以HR//AC,

又因为Q、尸分别为AD,必的中点,连接QP,所以QP//AQ

所以PQ"HR,故P,Q,H,k四点共面,③正确；

A(2,0,0),A⑵2,2),fl(0,0,2),A(2,0,2),C(0,2,2),

所以福二(0,2,2),福二(-2,0,2),而二(-2,2,0),而♦福W0,福，疝W0,

所以直线4G不垂直于平面屈风④不正确.

所以正确的是①③，故选B.

5.BD对于A,VF在平面8CG区上，平面BCCB〃平面AAM

•・,P到平面及山〃的距离即为，到平面的距离,即为正方体棱长，

^Vp-AA.b=D♦呵X^XlXlXl/故A中结论错误;

x5xSZo

对于B,以〃为坐标原点可建立如下图所示的空间直角坐标系，

则4(1,0,0),P(M1,z),A(1J,0),〃(0,0,1),5(1,1,1),C(0,1,0),

：.AP=Crl,Lz),西二(-1,-1,1),而二(T,0,-1),

9：APA.BD^：.AP•西二1一六1+斤0,

A=Z,即P(X、1,X),

：.CP=(xf0,x),：,CP=~^Cf即B\,P,。三点共线,・・・P必在线段5C上，故B中结论

正确；

对于C,1,1),•••斯二(-1,0,1),

又・.・Q二(六1,1,X),：.AP•房二卜好产1,

・・・/〃与比不垂直，故C中结论错误；

对于D,于4(1,0,1),X0,0,0),・••而二(-1,1,0),阳二(1,0,1),

又而二(尸14力，,'.Q二西+稿(其中0W启1),J而，西，市共面,又力用

平面4G。.'"勿平面4G"故D中结论正确.故选BD.

6.证明⑴设炉与初交于点a4c与BD交于点Q,连接OOh设小AAH如

缸建立空间直角坐标系，

则0（0,0,0）/（0,-孝a,0）,8（孝a,0,0）,C（0,孝a,0）孝a,0,0）

-苧力）‘。10,"

・••西=（一式20,份，丽=（0,应40）,

・••西•前二0,・,・M_L北

⑵设£(&y,z)J.Z代2屹，了3二2叫即Q,+?a,z—4=2(

—乃a-x.-y.-z)h

解得产一乳y=4a,2-，即E(-7^-7a,翔,

，而=(一字出Ya,1匕).

设西二4前十〃荏(九〃七R),则(-V2a,0,b)=A(0,aa,0)+

|-V2a=0-y/za,

却＜0=®+%,解得仁3：'

"0+加，

即瓯二一熊十3靠，

，西,ACf展共面,又物Q平面ACE,

••・他〃平面

7.B取"'的中点Q连接班即

'：PA=PC,：.ACVOPS

•・•平面为人平面ABC,平面PACC\平面ABOAQ

••,此L平面例C

又•：A&BC,：.ACLOBy

以0为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,

♦.♦△必。是等腰直角三角形,为二小4,△力优为等边三角形,

.\/l(2V2,0,0),C(-2V2,0,0),P(0,0,2V2),D(V2,瓜,0),

：.AC=(-4&,0,0),PD=(\/2,6,一2或),

cos<i4C,而>=•■?=j.

\AC\PD4V2X44

・,・异面直线力。与如所成角的余弦值为g.

4

故选B.

解题反思用坐标法求解立体几何问题，关键是建立适当的空间直角坐标系.建系

时,关键是寻找线面垂直的条件,将垂线所在直线作为z轴,利用底面的图形特点建

立¥轴和y轴.

8.A设〃在底面半圆上的射影为凡连接AD便比于Q连接4〃交BC于点。.

依题意知半圆柱体底面直径BCM"斤AC,/胡仁90。，〃为半圆弧的中点，

所以力〃」比;0,，分别是下底面、上底面半圆的圆心.连接00、,

则OQ与上下底面垂直,所以。。1伽勿1仍，

以丽,OA,河所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,设几何体的高为力（力〉0）,

则5（2,0,0）,2）（0,-2,A）"（0,2⑼，氏（2,0,弘

所以前二（一2,-2,力），福二（2,-2,A）,

由于异面直线劭和力5所成的角的余弦值为|,

所以加〈丽丽＞1=鼎嚼=磊/第/即品/所以炉4（负值

舍去）.

所以几何体的体积为1*7；乂22x4+工义4乂2乂4=16+8口,

22

放选A.

9.A如图,建立空间直角坐标系,则9(0,0,0),4(0,0,1),6；(1,1,1),

•・,尸是底面四成(含边界)上一动点，

・・.设户(x,y,O)(OW运L0WK1),

则谈(”-1)武二(1,1,1),

・.,4户」_4G,,••郎•福

・'•罚2=*+,+1=*+(1_力2+1=2/一2田2=2(%一；)2+1?

，当6时，/2取最小值|,此时线段.ip的长度为彳；

当产0或产1时,4户取最大值2,此时线段41P的长度为亚，

，线段4P长度的取值范围是信回

牧选A.

10.ACD如图,建立空间直角坐标系,则1(2,0,2),6(2,2,2),C(0,2,2),〃(0,0,2),

4(2,0,0),5⑵2,0)((0,2,0)2(0,0,0),#(1,2,0).

对于A,砾：(0,2,-2),园；(—2,0,-2),coN福,殖>=筌需=-^-7=

AByBQ|ZyZXZyZ

2'

・••幽与阅成60°角,A对;

对于B,VOV=1而,:.N（0,2,I）,设MO,m,2）,则丽^二（T,2,0）,不冗二

（-2,2,1）,港二（-2,/〃,2）,由己知得4,M八彳£四点共面，

A34,〃£R,使得不二力蠢+〃砧，

r-1=-22-2/z,（'=2,3

得2=2"+m〃，解得卜二g

（0二夕+2〃，（m=i,

，♦的2）,ACE=（0,总0）,|函=条B错;

对于C,设户（2,y,z）于W辰2,0WzW2）,则加二（1,尸2,z）,西二（2,2,-2）,

由丽