《数学实验 第4版》课件 5.2 参数估计

1第五章数据的统计与分析实验5.1统计作图实验5.2参数估计实验5.3假设检验数学实验2实验5.2参数估计一、参数估计二、参数估计的MATLAB实现三、应用举例数学实验3一、参数估计

参数估计问题分为两类，一类是用某一函数值作为总体未知参数的估计值，即点估计.点估计又分为矩估计和最大似然估计，这里我们主要介绍最大似然估计.1．参数的点估计

另一类是区间估计，就是对于未知参数给出一个范围，并且在一定的可靠度下使这个范围包含未知参数的真值.设是取自总体X的一个简单随机样本，

是

相应的一个样本观测值.最大似然估计是利用样本观测值构造似然函数.

4其中是离散型随机变量X在处的概率，θ是概率函数中的未知参数.或其中是连续型随机变量X的概率密度，θ是概率密度中的未知参数.通过求解使似然函数取得最大值的

，而便是θ的最大似然估计值.52．参数的区间估计

参数的点估计虽然给出了待估计参数的一个数值，但是我们并不知道用这个数值代替未知参数的精确性与可靠性.既然不能从样本观测值确定未知参数的真值，一般地，在给定样本容量的条件下，给出真值所在的一个取值范围.其中，称随机区间

为θ的置信区间，分别称为置信下限称为置信概率或置信水平，记总体的待估计参数为θ，由样本算出的估计量，通常使θ满足α称为显著性水平.置信区间的大小给出了估计的精度，置信水平给出了可靠性.和置信上限，6二、参数估计的MATLAB实现在MATLAB统计工具箱中，给出了计算总体均值、标准差和区间估计函数，见表5.4.表5.4常用函数函数功能[mu,sigma,muci,sigmaci]=normfit(x,alpha)著性水平为alpha时，正态分布的均值﹑标准差的的最大似然估计值为mu和sigma,它们的置信区间为muci和sigmaci.

其中x是样本（数组或矩阵）.当alpha缺省时设定为0.05[mu,muci]=expfit(x,alpha)显著性水平为alpha时，指数分布均值的最大似然估计值为mu,置信区间为muci.其中x是样本（数组或矩阵）.当alpha缺省时设定为0.05[a,b,aci,bci]=unifit(x,alpha)显著性水平alpha时，均匀分布区间端点的最大似然估计值为a,b，它们的置信区间为aci,bci.其中

x是样本（数组或矩阵）.当alpha缺省时设定为0.05[p,pci]=binofit(x,n,alpha)显著性水平alpha时，二项分布的最大似然估计值为p,置信区间为pci.其中

x是样本（数组或矩阵）.当alpha缺省时设定为0.05[lambda,lambdaci]=poissfit(x,alpha)显著性水平alpha时，泊松分布的最大似然估计值λ,置信区间为lambdaci.其中x是样本（数组或矩阵）.当alpha缺省时设定为0.057例4

从一批零件中，抽取9个零件，测得其直径（mm）为19.720.119.819.920.220.019.920.220.3.设零件直径服从正态分布

，

求这批零件的直径的均值μ，方差σ的最大似然估计值，及置信水平为0.95解当置信水平为0.95时，在命令窗口输入：x=[19.720.119.819.920.220.019.920.220.3]；[mu,sigma,muci,sigmaci]=normfit(x)↙和0.99

的置信区间.8mu=20.0111sigma=0.2028muci=19.855320.1670sigmaci=0.13700.3884置信水平为0.95时，均值及标准差的最大似然估计值分别是均值及标准差的置信区间分别为（19.8553，20.1670），（0.1370，0.3884）.9当置信水平为0.99时，在命令窗口输入：x=[19.720.119.819.920.220.019.920.220.3][mu,sigma,muci,sigmaci]=normfit(x,0.99)↙mu=20.0111sigma=0.2028muci=19.784320.2379sigmaci=0.12240.4946置信水平为0.99时，均值及标准差的最大似然估计值分别是均值及标准差的置信区间分别为（19.7843，20.2379），（0.1224，0.4946）.10三、应用举例1．产品质量问题

某厂一流水线生产大批220V，25W的白炽灯泡，其光通量（单位：流明）用X表示，X即是总体.现在从总体X中抽取容量为n=120的样本（由于个体数量很大，可用不放回抽样），进行一次观测得光通量的120个数据，它们就是容量为n=120的样本观测值，数据如下:

21620319720820620920620820220320621321820720820219420321321119321320820820420620420620820921320320620719620120820721320821020821121121422021120321622421120921821421921120822121121811218190219211208199214207207214206217214201212213211212216206210216204221208209214214199204211201216211209208209202211207202205206216206213206207200198200202203208216206222213209219根据以上数据分析这批灯泡的质量.（1）灯泡的质量，可以从灯泡的光通量所服从的分布、均值、方差进行分析.根据直方图初步假设出光通量所服从的分布.在命令窗口输入：A=[216203197208206209206208202203206213…….213209219]此处省略部分数据12figure(1),hist(A,10)↙X的频数直方图,如图图5.1313(2)样本分布函数图编写数据排序程序:fori=1:119forj=120:-1:i+1ifA(j)>A(j-1)y=A(j);A(j)=A(j-1);A(j-1)=y;endendenddisp(A)↙作频数累积图(见图5.14):x=linspace(189.5,224.5,30)；y=[123…….118119120];plot(x,y)↙图5.1414作样本分布函数图（见图5.15）:c=[y/120];z=linspace(189.5,224.5,30);plot(z,c)↙图5.1515根据频率直方图及样本分布函数图，假设灯泡的光通量服从.

求均值μ、标准差σ的最大似然估计，及置信水平为mu=0.99的置信区间.在命令窗口输入:[mu,sigma,muci,sigmaci]=normfit(A,0.99)↙mu=208.8167sigma=6.3232muci=207.3056210.3277sigmaci=5.41147.570516置信水平为0.99时，均值及标准差的最大似然估计值分别是均值及标准差的置信区间分别为（207.3056,210.3277），（5.4114，7.5705）.为验证根据频率直方图及样本分布函数图作出的假设以上述估计值为均值和标准差的正态分布图，及样本分布函数图作在同一坐标系中，进行比较.在命令行窗口输入：p=normcdf(X,208.8167,6.3232);figure(2),plot(X,c,'b-',X,p,'g-')17图5.16比较图5.16两条概率函数曲线，可知选取及

作为作为总体的均值、标准差的估计值，精确度和可靠性都是很高的.

通过上述分析，就灯泡的光通量而言，根据灯泡光通量的分布、均值及方差灯泡的质量还是稳定的，机器工作正常.根据标准差的估计值，如果再进一步改进技术，使标准差变小产品的质量会更好.182．学生身体素质问题

青少年的身高是评价身体素质的重要指标之一.某地为了解当地高一学生的身高情况，随机抽取100名学生测量其身高，所得数据如下（单位cm）：154.0173.3177.4157.9171.2156.8150.9157.6172.0174.1170.5172.4158.3174.7165.8148.8152.9163.8165.2168.7167.2167.6154.1170.6183.2166.9145.8151.6176.1167.6184.2175.1172.2168.4155.4164.3171.5178.0175.1172.3151.8161.7161.9176.2180.1166.0169.0156.9165.2171.6167.3164.8167.0171.0164.9161.2173.7159.0165.5156.8174.2176.1150.9166.7156.2162.9180.0168.2178.3175.2166.4181.0161.4171.6186.0183.0165.3167.7170.0168.5168.1167.4160.9159.5173.2159.0165.5161.7170.3163.2181.3174.2158.5181.0172.5171.0180.1171.5181.4174.4158.9181.0172.4171.2161.9167.0150.8180.1175.0174.2154.3162.7173.4155.8174.7184.2167.9174.1182.0178.6根据这些数据估计当地高一学生的平均身高，并给出估计的误差范围.19解由以上数据作出学生身高X的频率直方图，图5.17根据学生身高X的频率直方图，假设，记由学生身高数据组成的数

据组为S,求均值