六年级数学下册 2图形与几何-第04讲 立体图形的计算(教师版)（北师大）

高思爱提分演示（KJ)初中语文教师辅导讲义[教师版]学员姓名寒假班 年级初一辅导科目初中语文学科教师李红娟上课时间2020-02-0508:00:00-09:00:00 知识图谱长方体和正方体知识精讲一、长方体表面积计算方法长方体表面积：．二、长方体的体积公式1．长方体体积的意义：长方体的体积就是长方体所含体积单位的多少．2．长方体体积公式：长方体体积=长×宽×高，3．用字母表示长方体的体积公式：．三、正方体表面积的计算方法正方体表面积：．四、正方体的体积公式1、正方体体积的意义：正方体的体积就是正方体所含体积单位的多少．2、正方体体积公式的推导：正方体可以看作长、宽、高都相等的长方体，根据二者之间的关系，可以推导出正方体的体积计算公式．3、用字母表示正方体的体积公式：，一般写成．长方体及正方体表面积及体积计算例题例题1、一段木料长1.8m，宽3dm，厚2dm，把它锯成3段，表面积至少增加________dm2．【答案】24【解析】3×2×4＝6×4＝24（平方分米），答：表面积至少增加24平方分米．例题2、如图是一个长方体水箱，长2米，宽1.2米，高0.8米，里面水深0.6米．（1）这个水箱前面的面积是多少平方米？（2）水箱里面的水有多少立方米？【答案】（1）1.6平方米（2）1.44立方米【解析】（1）2×0.8＝1.6（平方米）答：这个水箱前面的面积是1.6平方米．（2）2×1.2×0.6＝2.4×0.6＝1.44（立方米）答：水箱里面的水有1.44立方米．例题3、计算下面组合图形的表面积和体积．【答案】680平方分米；932立方分米【解析】8×8×4＋（14×10＋14×3＋10×3）×2＝64×4＋（140＋42＋30）×2＝256＋212×2＝256＋424＝680（平方分米）；8×8×8＋14×10×3＝512＋420＝932（立方分米）；答：它的表面积是680平方分米，体积是932立方分米．例题4、把一个棱长为1分米的正方体，按图中所示分割成12个大小不等的小长方体，这些小长方体的表面积之和是________dm2．【答案】14【解析】1×1×（6＋8）＝1×14＝14（dm2）答：这些个小长方体的表面积之和是14dm2．随练随练1、用丝带捆扎一种礼品盒如下，结头处长25厘米，要捆扎这种礼品盒需准备（）分米的丝带比较合理．A.10B.21.5C.23D.30【答案】C【解析】（厘米）（厘米）225厘米分米分米随练2、李叔叔用108cm长的铁丝焊接成一个正方体框架，这个正方体的体积是多少cm3？【答案】729立方厘米【解析】108÷12＝9（厘米）9×9×9＝729（立方厘米），答：这个正方体的体积是729立方厘米．随练3、一间教室长8米，宽6米，高4米．要粉刷教室的天花板和四周墙壁，除去门窗23平方米．如果每平方米用涂料0.2千克，共需涂料多少千克？【答案】27.4【解析】[8×6＋（8×4＋6×4）×2－23]×0.2＝[48＋112－23]×0.2＝[160－23]×0.2＝137×0.2＝27.4（千克）答：共需涂料27.4千克．长方体与正方体综合应用例题例题1、如图，一个棱长3分米的正方体木块被切割成若干个棱长为一分米的小正方体。（1）这个大正方体被平均分成了________个小正方体。（2）每个小正方体的体积占大正方体体积的________，每个小正方体的表面积占大正方体的________。（3）如果在大正方体的表面涂上红色，三面涂色的小正方体有________个，两面涂色的有________个，一面涂色的有________个。没有涂色的有________个。【答案】（1）27（2）；（3）8；12；6；1例题2、用一张长90cm、宽80cm的长方形铁皮，在它的四个角各剪去一个边长10cm的小正方形（如图），焊接成一个无盖的铁皮箱，这个铁皮箱的表面积是多少平方厘米？它的容积是多少升？如果每升装机油0.8千克，可以装机油多少千克？【答案】6800平方厘米；42升；33.6千克【解析】90×80－10×10×4＝7200－400＝6800（平方厘米）；（90－10×2）－（80－10×2）×10＝70×60×10＝42000（立方厘米）；42000立方厘米＝42升，42×0.8＝33.6（千克）；答：这个铁皮箱的表面积是6800平方厘米，它的容积是42升，可以装机油33.6千克．例题3、如图是一个棱长为5厘米的正方体，在上下面的中心位置挖去一个底面为边长1厘米的长方体，将正方体的上、下两面打通，挖去之后的正方体的的表面积是多少平方厘米？【答案】162平方厘米【解析】少了两个正方形的面积，但是多了长方体四个侧面的面积，因此挖去之后正方体的表面积为（平方厘米）例题4、如图，有一个边长为20厘米的大正方体，分别在它的角上、棱上、面上各挖掉一个大小相同的小立方体后，表面积变为2454平方厘米，那么挖掉的小立方体的边长是多少厘米？【答案】3【解析】大立方体的表面积是平方厘米．在角上挖掉一个小正方体后，外面少了3个面，但里面又多出3个面；在棱上挖掉一个小正方体后，外面少了2个面，但里面多出4个面；在面上挖掉一个小正方体后，外面少了1个面，但里面多出5个面．所以，最后的情况是挖掉了三个小正方体，反而多出了6个面，可以计算出每个面的面积：平方厘米，说明小正方体的棱长是3厘米．随练随练1、一个长方体玻璃容器，从里面量长为3分米，宽为2分米，向容器中倒入7.5升水，再把一个苹果放入水中，这时测得容器内的水面的高度是13.4厘米．这个苹果的体积是多少？【答案】540立方厘米【解析】（分米）（厘米），（立方厘米），答：这个苹果的体积是540立方厘米．随练2、若正方体的棱长被平均分成3份，其中3面、2面、1面涂色、0面涂色的小正方体各有多少个？【答案】3面：8个；2面：12个；1面：6个；0面：1个【解析】如下图：3面涂色的小正方体在大正方体的八个顶点上，2面涂色的小正方体在大正方体的棱上，1面涂色的小正方体在大正方体的面上，0面在大正方体的内部，也就是用总的小正方体的个数减去涂色的小正方体的个数3面：8个；2面：个；1面：个；0面：个．33面涂色1面涂色2面涂色随练3、如图是一个棱长为40厘米的立方体，若分别在它的六个面的中心位置各挖去一个棱长10厘米的小正方体，那么剩下的立方体的表面积是多少平方厘米？【答案】12000平方厘米【解析】大正方体的表面积为40×40×6＝9600平方厘米，一个小正方体的表面积（不包括它的外面和里面）为10×10×4＝400平方厘米，6个小正方体的表面积（不包括它的外面和里面）为400×6＝2400平方厘米，剩下的立方体的表面积是9600＋2400＝12000平方厘米，答：剩下的立方体的表面积是9600＋2400＝12000平方厘米．圆柱圆锥知识精讲一、圆柱的表面积的意义和计算方法，用字母表示为．二、圆柱侧面积的计算方法，用字母表示为．三、圆柱侧面积计算公式的应用1、已知圆柱的底面直径和高，可以根据公式直接求出圆柱的侧面积．2、已知圆柱的底面半径和高，可以根据公式直接求出圆柱的侧面积．四、圆柱表面积计算公式的应用1、已知圆柱的底面半径和高，可以根据公式直接求出圆柱的表面积．2、已知圆柱的底面直径和高，求圆柱的表面积时，可以根据公式来求．3、已知圆的底面周长和高，求圆柱的表面积，可以根据公式来求．五、圆柱体积的意义和计算公式1、一个圆柱所占空间的大小，叫做这个圆柱的体积．2、圆柱体积的计算公式：．如果用V表示圆柱的体积，用S表示圆柱的底面积，用h表示圆柱的高，则圆柱体积的字母公式为．圆柱的表面积及体积的计算例题例题1、一个正方体的棱长是6厘米，把它削成一个最大的圆柱，圆柱的表面积是________平方厘米．【答案】169.56【解析】3.14×（6÷2）2×2＋3.14×6×6＝3.14×9×2＋3.14×36＝56.52＋113.04＝169.56（平方厘米）答：这个圆柱的表面积是169.56平方厘米．例题2、一个圆柱的底面半径是5厘米，它的侧面展开图正好是一个正方形，这个圆柱的体积大约是多少立方厘米？【答案】2464.9立方厘米【解析】圆柱的高为：3.14×2×5＝31.4（厘米），圆柱的体积为：3.14×52×31.4＝78.5×31.4＝2464.9（立方厘米）答：圆柱的体积是2464.9立方厘米．例题3、把长方形ABCD（如下图）以边BC所在的直线为轴旋转一周，得到一个圆柱，这个圆柱的表面积是多少平方厘米？【答案】3.14×62×2＋2×3.14×6×12=678.24（cm2）【解析】3.14×62×2＋2×3.14×6×12=678.24（cm2）例题4、如图，一台压路机的前轮直径是1.7m，如果前轮每分钟转动6周，压路机工作5分钟前进多远？【答案】160.14米【解析】3.14×1.7×6×5＝5.338×6×5＝32.028×5＝160.14（米），答：压路机工作5分钟前进160.14米．随练随练1、一个圆柱，底面周长12.56米，高是1.5米，它的体积是多少立方米？【答案】18.84立方米【解析】3.14×（12.56÷3.14÷2）2×1.5＝3.14×22×1.5＝3.14×4×1.4＝12.56×1.5＝18.84（立方米），答：它的体积是18.84立方米．随练2、一个圆柱形水池，底面周长是，深．在这个水池的池壁和池底抹一层水泥，抹水泥的面积是多少平方米？【答案】50.24平方米【解析】（米）（平方米）（平方米）答：抹水泥的面积是50.24平方米．随练3、一个无盖的圆柱形铁皮水桶，底面直径和高都是5分米，做这样一个水桶至少需用多少平方分米的铁皮？（得数保留整数）【答案】99平方分米【解析】3.14×5×5＋3.14×（5÷2）2＝78.5＋3.14×6.25＝78.5＋19.625＝98.125≈99（平方分米），答：做这样一个水桶至少需用99平方分米的铁皮．知识精讲一、圆锥体积的计算公式的推导，与圆柱等底等高的圆锥的体积等于圆柱体积的，推得．如果用V表示圆锥的体积，用S表示圆锥的底面积，用h表示圆锥的高，用r表示圆锥的底面半径，则圆锥体积的计算公式用字母表示为或．二、圆锥体积的计算公式的应用1、已知圆锥的底面半径和高，可以直接利用公式来求圆锥的体积．2、已知圆锥的底面直径和高，可以直接利用公式来求圆锥的体积．3、已知圆锥的底面周长和高，可以直接利用公式来求圆锥的体积．圆锥的体积计算例题例题1、计算圆柱的表面积和圆锥的体积．【答案】785平方厘米；150.72立方厘米【解析】（1）（平方厘米）；答：这个圆柱的表面积是785平方厘米．（2）（立方厘米），答：这个圆锥的体积是150.72立方厘米．例题2、将图中直角三角形以4cm长的直角边为轴旋转一周，求所形成的图形体积．【答案】37.68立方厘米【解析】×3.14×32×4＝3.14×3×4＝37.68（立方厘米）答：若以直角边4cm为轴旋转一周形成的图形体积是37.68立方厘米．例题3、把一块棱长9厘米的正方体铁块熔铸成一个底面半径9厘米的圆锥形铁块．这个圆锥形铁块的高是多少厘米？（得数保留一位小数）（用方程解答）【答案】8.6厘米【解析】设这个圆锥形铁块的高是厘米，依题意有答：这个圆锥形铁块的高大约是8.6厘米．例题4、一个圆锥形沙堆，底面周长是12.56米，高6米，将这些沙铺在宽10米的道路上铺8厘米厚，可以铺多少米长？【答案】31.4米【解析】8厘米米（米）答：可以铺31.4米长．随练随练1、一个圆锥的体积是18立方厘米，与它等底等高的圆柱体积是________立方厘米；如果这个圆柱的底面积是9平方厘米，它的高是________厘米．【答案】54；6【解析】圆柱体的体积：（立方厘米）圆柱的高为：54÷9＝6（厘米）答：圆柱体积是54立方厘米，它的高是6厘米．随练2、一个棱长为6分米的正方体木块的表面积是________平方分米，把它切削成一个最大的圆锥体，这个圆锥体的体积是________立方分米．【答案】216；56.52【解析】6×6×6＝216平方分米，圆锥的底面积为：3.14×（6÷2）2＝3.14×9＝28.26（平方分米）；圆锥的体积为×28.26×6＝56.52（立方分米）；随练3、建筑工地有堆近似于圆锥的沙子，量得底面的周长是12.56米，高是1.65米．如果每立方米沙子重1500千克，这堆沙子约有多少千克？（π取3.14）【答案】10362千克【解析】底面半径：12.56÷3.14÷2＝2（米）体积：3.14×22×1.65＝3.14×4×1.65＝6.908（立方米）重量：6.908×1500＝10362（千克）答：这堆沙子大约有10362千克．知识精讲一、运用圆柱表面积的计算公式解决实际问题在解决实际问题时，并不是所有的圆柱形物体都有两个底面，有的只有一个底面，有的没有底面，解题时要根据实际情况选择合适的解题方法．二．圆柱的体积计算公式的应用在计算圆柱的体积的过程中，如果已知圆柱的底面半径、直径或周长，那么要先求出底面积，再求体积．计算公式分别是，，．圆柱圆锥综合例题例题1、如图，这只木箱的下半部是棱长为20cm的正方体，上半部是圆柱体的一半．通过计算得其体积为_________cm3．（取3）【答案】11000【解析】体积为例题2、如图，一个瓶子里面装着一些水，瓶子的下面部分是圆柱形．请根据图中的数据计算出瓶子的容积．（π取3.14）A.565.2立方厘米．B.628立方厘米C.753.6立方厘米D.188.4立方厘米【答案】A【解析】立方厘米．例题3、把一张长方形铁皮按下图剪开正好能制成一个底面半径2分米的铁皮油桶．这张铁皮的面积至少多少平方分米？【答案】132.48平方分米【解析】长方形的宽：（分米）；长方形的长：（分米）；长方形的面积：（平方分米）；故：这张铁皮的面积至少132.48平方分米．例题4、如图是一个直角三角形．AC边上的高是多少厘米？（请先在图中画出高，并计算）再算一算，以AC为轴旋转一周形成的立体图形的体积是多少立方厘米？【答案】；4.8厘米；241.152立方厘米【解析】AC边上的高：如图：8×6÷2×2÷10＝48÷10＝4.8（厘米）3.14×4.82×103.14×23.04×10＝241.152（立方厘米）答：以AC为轴旋转一周形成的立体图形的体积是241.152立方厘米．随练随练1、如图，一块铁皮刚好能裁三块制成一个圆柱形铁皮水桶，这个水桶能装水多少升？（π取3.14）【答案】50.24升【解析】设圆的直径为d，所以2d+πd=20.56，得d=4，所以半径为2分米。水桶的容积为：3.14×2×2×4=50.24升。随练2、下图是直角梯形ABCD，请根据图中信息解答下面各题．（1）这个直角梯形的面积是多少平方厘米？（2）如果以AB边为轴旋转一周，得到一个立体图形，这个立体图形的体积是多少立方厘米？【答案】（1）16.5平方厘米，（2）141.3立方厘米【解析】（1）梯形的面积为：（4＋7）×3÷2＝11×3÷2＝16.5（平方厘米）；答：梯形的面积为16.5平方厘米．（2）以AB边为轴旋转一周，得到一个圆锥和一个圆柱，圆锥的体积为：（立方厘米）．答：这个立体图形的体积是141.3立方厘米．拓展拓展1、一个长方体的食品盒，长15厘米，宽12厘米，高20厘米．如果围着它贴一圈商标纸（上下面不贴），这张商标纸的面积至少要多少平方厘米？【答案】1080平方厘米【解析】（平方厘米）；答：这张商标纸的面积至少要1080平方厘米．拓展2、正方体的棱长之和36分米，它的表面积是多少？体积是多少？【答案】54平方分米，27立方分米【解析】每条棱长分米，所以表面积为平方分米，体积为立方分米拓展3、一个长方体的各条棱长的和是48厘米，并且它的长是宽的2倍，高与宽相等，那么这个长方体的体积是多少立方厘米？【答案】54立方厘米【解析】48÷2÷4＝6（厘米），6÷2＝3（厘米），6×3×3＝54（立方厘米）答：这个长方体的体积是54立方厘米．拓展4、将3个棱长为5cm的正方体拼成一个长方体，长方体的表面积与原来的3个正方体的表面积之和相比，会发生变化吗？变化了多少？【答案】变小了，少了100cm【解析】变小了，少了100cm拓展5、一个长方体鱼缸内盛有一些水，从里面量长56厘米，宽32厘米．把金鱼、石子等物体完全浸没在里面，水面上升了1.5厘米，金鱼、石子等物体的体积和是多少？【答案】2688立方厘米【解析】56×32×1.5＝1792×1.5＝2688（立