高考物理冲刺：知识讲解-机械能守恒动率的应用（提高）

物理总复习：机械能守恒定律的应用

编稿：李传安审稿：

【考纲要求】

1、加深对机械能守恒条件的理解，能准确判断系统的机械能是否守恒；

2、知道应用机械能守恒定律与应用动能定理解决问题的区别；

3、能熟练应用机械能守恒定律解决问题。

【考点梳理】

考点一、判断系统的机械能是否守恒

判断机械能是否守恒的方法一般有两种：

(1)根据做功情况来判定：对某一系统，若只有重力和弹簧弹力做功，

其它力不做功，则系统的机械能守恒。

(2)根据能量转换来判定(常用于系统),对某一系统物体间只有动能

和重力势能及弹性势能相互转化，没有其它形式能的转化(如没有内能产生)，

则系统的机械能守恒。

考点二、机械能守恒定律的应用

1、应用机械能守恒定律与动能定理解决问题的区别：

要点诠释

(1)适用条件不同：机械能守恒定律适用于只有重力和弹力做功的情形;

而动能定理没有此条件的限制，它的变化量对应于外力所做的总功。

(2)分析内容不同：机械能守恒定律解题只分析研究对象的初、末状

态的动能和势能(包括重力势能和弹性势能)；而用动能定理解题时，分析研究

对象的初、末状态的动能，此外还要分析该过程中所有外力所做的总功。

(3)机械能守恒定律与动能定理解题时的方程不同。

2、机械能守恒定律的几种表述形式：

若某一系统的机械能守恒，则机械能守恒定律可以表示为如下的形式:

（1）初状态的机械能等于末状态的机械能：Ep}+=Ep2+Ek2

（2）系统势能（或动能）的增加量等于动能（或势能）的减少量：|A£/）|=|AEj

（3）系统内A物体的机械能减少量等于B物体的机械能增加量：|AE>|A£fi|

要点诠释：根据（1）列方程时，一定要明确初、末状态的机械能；根据（2）

列方程时一定要分析清楚系统势能（或动能）的增加量或动能（或势能）的减少

量，还要注意零势面在哪里，重力势能是相对于零势面的。

【典型例题】

类型一、判断系统的机械能是否守恒

例L关于机械能守恒，下列说法正确的是（）

A.做匀速直线运动的物体机械能一定守恒

B.只有重力对物体做功，物体的机械能一定守恒

C.外力对物体做功为零，则机械能一定守恒

D.只发生动能和势能的相互转化，不发生机械能与其他形式的能的转化，

则机械能一定守恒

【思路点拨】机械能守恒的条件是系统内没有外力做功。

【答案】BD

【解析】对于匀速运动的物体，或外力对物体做功为零时，只是物体的动能不变,

但并不涉及机械能守恒定律条件：系统只有重力、弹力做功，且只有动能和势能

之间的相互转化，而无机械能与其他形式能量之间的转化。因而A、C选项错，

而B、D选项正确。

【总结升华】准确理解机械能守恒定律的条件是关键。

举一反三

【变式】如图所示，T勿体以初速度?冲向光滑斜面AB,并能沿斜面升高h到

达B点，下列说法中正确的是（不计空气阻力）（）

A.若把斜面从C点锯断，由机械能守恒定律知，物体冲出C点后仍能升高

h

B.若把斜面弯成如图所示的圆弧形，物体仍能沿AB'升高h

C.若把斜面从C点锯断或弯成圆弧状，物体都不能升高h,因为机械能不守

B人C点锯断或弯成圆弧状，物体都不能升高h，但机械能仍守

【答案】D

【解析】若把斜面从C点锯断，物体将作斜上抛运动，到达最高点时还有水平

速度，由机械能守恒定律知不能升高到ho若把斜面弯成圆弧形，到达图中最高

点所需最小速度为丫，有mg=〃占，即”廊，由机械能守恒定律知不能升高

到h。只有选项D正确。

例2、判断下列各种情景系统是否遵循机械能守恒；若守恒，请利用机械能

守恒求解相关问题。(注意选择零势能面)

1、物体从高为h、倾角为。的光滑斜面由静止下滑，求物体到达斜面

底端时的速率？

2、将物体以初速度％=10加$从高为h=10m的位置分别水平、竖直向上、

竖直向下、斜抛出去，分别求落地时的速度大小？(g=10m/52)

3、小球在竖直面内沿光滑圆轨道做圆周运动，已知在最低点时小球的速度

%=师,求小球运动到与圆心等高位置时的速度？求小球运动到最高点时的

速度？

o

4、如图质量为m的小球从离轻弹簧上端h处自由下落，接触后向下运动x

日后速度为v,求此时弹簧的弹性势能。

【思路点拨】正确描写机械能守恒的方程，一般情况是：两点（初态、末态）的机

械能相等。

【答案】1、v=12gh2、u=J*+2g〃=17.3，〃/s

2

3、vB=y/3gREp=mgh+mgx——mv

【解析】L物体由静止下滑到底端的过程

对物体受力分析可知，此过程中斜面的支持力始终与运动方向垂直不做功，

所以只有重力对物体做功，满足机械能守恒条件，因此物体与地球组成的系统机

械能守恒。

由机械能守恒定律，以地面为零势能面，咫人=|mv2v=师

2、物体抛出后至落地的过程

对物体受力分析可知，此过程中物体抛出后只有重力对物体做功，因此物

体与地球组成的系统机械能守恒。由机械能守恒定律，以地面为零势能面

〃侬+J成=3*2v=J说+2gh-17.3m/s

3、小球从最低点到达最高点的过程

对C琴力分析可知，此过程中轨道对小球的支持力方向始终与其运动方向

6;,因此只有重力对小球做功，系统机械能守恒。

市

B

由律，以最低点为零势能面

mg

(1)从A至B的过程：

2

=^mv+mgRvB=^-IgR=y/3gR

(2)从A至C的过程：

；相片=gmv}+ImgRvc=1芯-4gR=y/gR

4、小球自由下落到使弹簧压缩x的过程

以小球、弹簧和地球组成的系统为研究对象，对小球受力分析可知，此过

程中只有重力和弹力对小球做功，系统机械能守恒。

由机械能守恒定律，以弹簧的自由伸长处为零势能面

1212

mgh--mV+（—mgx）+EpEp-mgh+mgx-—

【总结升华】解题首先要确定研究对象，根据机械能守恒条件判断系统的机械能

是否守恒,再根据Epi+昂=Ep2+Ek2,列方程求解问题。

类型二、变速运动中机械能守恒问题

例3、在竖直平面内，一根光滑金属杆弯成如图所示形状，相应的曲线方程为

y=2.5cos（辰+：兀）（单位：m）,式中k=1m-1。将一光滑小环套在该金属杆

上，并从

2

x=0处以vo=5m/s的初速度沿杆向下运动，取重力加速度g=10m/so则当

小环运动到*=方m时的速度大小v=m/s;该小环在x轴方向最远能运动

至I」x=m处。

ty/m

.P；

/------

【电W拨】正确描写初态、末态的机械能,初态的机械能等于末态的机械能。

不要与动能定理混淆。

r-5兀

【答案】5y2,—

【解析】由于金属杆光滑小环也光滑，所以小环在下滑的过程，满足机械能守恒,

然后结合曲线方程综合分析求解。根据横坐标和曲线方程求出纵坐标，根据机械

能守恒可得出结论。

当王=0时，y=—1.25根；当々=?时，%=-2.5/n

取x轴为零势面，根据机械能守恒定律

121

2解得v=5>/2m/s

mgyx+—mvQ=mgy2+—mv

当运动到最远处，速度为零，mgy1+-mvg=mgy3,=2.5cos(Ax3+-^),

解彳导x；=二万。

【总结升华】该题考杳了机械能守恒定律。该题情景新颖，能够考查学生灵活运

用知识的能力。近几年高考题中多次出现"做成光滑的什么轨迹的曲面，如：平

抛运动的轨迹曲面"等等，解题方法：轨迹曲面的物理规律(本题给出的是正弦

函数)加上机械能守恒定律，但要灵活应用。

举一反三

【变式】以初速为%,射程为S的平抛运动轨迹制成一光滑轨道。一物体由静止

开始从轨道顶端滑下，当其到达轨道底部时,物体的速率为,其

水平方向的速度大小为O

【答案】gS/vQ,%/Jl+(%2/gs)2

【解析】平抛运动规律S=W,解得/?=空

22%

根据机械能守恒：，解得速率丫=字=史。

2V%%

v,=ncos。，。是轨道的切线与水平方向的夹角，即为平抛运动末速度与水平

方向的

夹角，有tand=2tane,a是平抛运动位移方向与水平方法的夹角，则

tana=-=--,所以tan6=乌,则cos6=/%.

s2噂片J(g»+(片产

所以匕=vcose=]%,

J1+(勺

例4、在高度X=0.路的水平光滑桌面上，有一轻弹簧左端固定，质量为m

=1kg的小球在外力作用下使弹簧处于压缩状态，当弹簧具有4.5J的弹性势能

,如图所示，不计空气阻力，求小球落地

时速度大',>>>〃〃八

【思路点拨】正确描写初态、末态的机械能，初态的机械能等于末态的机械能。

不要与动能定理混淆。

【答案】v=5m/s

【解析】由小球的运动过程可知，在弹簧弹开小球的过程中，小球做的是变加速

运动，牛顿定律无法解决。从释放小球到它落地，由于只有重力和弹簧弹力做功，

以弹簧和小球（含地球）为研究对象，机械能守恒，以地面为重力势能参考平面，

系统初态机械能E[=Ek]+Epi+纥弹=O+mgh+E例

2mvl

落地时，即末态机械能E2=Ek2+Ep2=^mv+°=g

因为£1=£2所以]〃丫2=/ng//+E踊=12.51/

解得小球落地速度大小v=5m/s

【总结升华】注意与动能定理的联系和区别，只有重力做功问题，两者都可以求

解，但动能定理里是以功的形式体现，机械能守恒定律是以能的形式体现。一般

来说，对于有弹簧的问题，就是说有弹性势能，不能用动能定理（因为弹力的功

高中阶段不要求计算）,而是用机械能守恒定律或功能关系求解。

类型三、机械能守恒定律与圆周运动的结合

例5、长为L的细线的一端系一质量为m的小球，另一端固定在。点，细

线可承受的最大拉力为7mgo将小球拉起，并在水平位置处释放，小球运动到

行黄维下方面:；悬线碰到一钉子。求：

£1久于与。点的距离为多少时,小球刚好能通过圆周的最高点?

在导'6点的距离为多少时，小球能通过圆周的最高点?

..袋.....

【思路点拨】对综合题要分清物理过程：小球自由下落到最低点的过程，机械能

守恒，在D点，小球恰好通过最高点，重力提供向心力，应用牛顿第二定律；

从C至D的过程，应用机械能守恒定律。第（2）问就是要找出临界条件。

【答案】(1)=汐2)扑

【解析】(1)小球自由下落到最低点的过程，

以最低点为零势能点，由机械能守恒定律：

mgL=〈mvjvc=^2gL

在D点，小球恰好通过最高点，重力提供向心力

由牛顿第二定律：mg=m—vn=Jgt]

r\

从C至D的过程，由机械能守恒定律：

^mvc=~tnvl+2mgri4=|乙

钉子与。点的距离为:N=L-q=(L

lr)在C点，绳子刚好不断，在最低点速度一定的情况下，能提供的

9,外力对应的半径是最小半径。小球受力如图

T"lg

由牛顿第二定律:T-mg=m—r2=\L[T=6mgvc=J2gL)

3

29

钉子与o点的距离为:x2=L-r2=jL

——3——2

一Z示上口_|知IL-4WOA,£L-r?即—A<OA<—L

【总结升华】机械能守恒定律往往与圆周运动结合在一起，机械能守恒只是一个

物理过程，要把物理过程分析清楚，满足机械能守恒的就用机械能守恒定律求解,

圆周运动里与绳子拉力结合的又是牛顿第二定律，还有临界条件等等。

举一反三

【变式1]如图所示，粗糙水平地面AB与半径R=0.4m的光滑半圆轨道BCD

相连接，且在同一竖直平面内，。是BCD的圆心，BOD在同一竖直线上。质量

m=2kg的小物体在9N的水平恒力F的作用下，从A点由静止开始做匀加速直

线运动。已知AB=5m,小物块与水平地面间的动摩擦因数为〃=0.2。当小物块

2

运动到B点时撤去力F。取重力加速度g=10m/so求：

(1)小物块到达B点时速度的大小；

(2)小物块运动到D点时，轨道对小物块作用力的大小;

(3)小物块离开D点落到水平地面上的

点与B点之间的距离。

D

【答案】(1)%=5o\(3)x=l.2m

【解析易＜易以勿宏勿小易^多能定理有(F-jjmg)1=；mv：

/曰Ab(F-pmg)l

得VB=J——=5m/s

\m

(2)从B至!JD,根据机械能守恒定律有=g〃n*+mg2R

得力=Jj-4Rg=3m/s

2

在D点，根据牛顿运动定律有F+mg=m?

K

得F=m费-mg=25N

(3)由D点到落点小物块做平抛运动，在竖直方向有2R=g娟

水平面上落点与B点之间的距离为x=u/=3X0.4m=1.2/〃

【高清课堂：重力势能、机械能守恒定律例5】

【变式2］如图所示，半径为r质量不计的圆盘盘面与地面垂直，圆心处有一个

垂直盘面的光滑水平固定轴。，在盘的最右边缘固定一个质量为m的小球A,

在O点的正下方离。点r/2处固定一个质量也为m的小球B。放开盘让其自由

转动，问：

(1)当A球转到最低点时，两小球的重力势能之和减少了多少？

(2)A球转到最低点时的线速度是多少？

(3)在转动过程中半径OA向左偏离竖直方向的最大角度是多少?

«答制(沙轴r(2)即(3)370

漏帛£以O为零势面

初态：纥川=0,EpBi=-；mgr

未态：EpA2=-mgrEPB2=0

重力势能的减少量：AE°=（E“+E阳）-（％+£曲）=；叫「

（2）由于转动过程中机械能守恒，所以有：△纭=\E

/p

V

BP—mv2+—m5咫「解得丫=

2257

（3）如图，设最大角度为e，此时A、B速度均为零，即动能为零，重力势能

分别为：

EpA3=-mgrcos0EpBi=-mgrsin0

根据机械能守恒

EI,A3+EpB3=EpM+Eim

BP-mgrcos。；mgrsin0=-^mgr

解得sin8=0.6所以。=37。

【总结升华】本题利用两小球（系统）的重力势能之和的减少量等于动能的增加

量，这类问题难度较大，最好学习解析中列出初态、末态的重力势能，再利用公

式计算重力势能的减少量，就可以利用机械能守恒定律求出小球的速度。"在转

动过程中半径OA向左偏离竖直方向的最大角度”的意思是：速度为零，画出草

图，找对几何关系。

类型四、机械能守恒定律的灵活应用

例6、如图，质量为mi的物体A经一轻质弹簧与下方地面上的质量为m2

的物体B相连，弹簧的劲度系数为k,A、B都处于静止状态。一条不可伸长的

轻绳绕过轻滑轮，一端连物体A,另一端连一轻挂钩。开始时各段绳都处于伸直

状态，A上方的一段绳沿竖直方向。现在挂钩上挂一质量为m3的物体C并从静

止状态释放，已知它恰好能使B离开地面但不继续上升。若将C换成另一个质

量为（mi+m3）的物体D，仍从上述初始位置由静止状态释放,则这次B刚离

地面时D的速度的大小是多少？已知重力加速度为go

【思彗落】为题难度较大，对物理过程一步一步分析，对每一个位置的能量也

要描摩楚，手握临界条件，根据机械能守恒定律求解。

【把福呼:叵遍还近

口去7多'%（2班+加3）

【解析】开始时，A、B静止，设弹簧压缩量为xi,有：kxi=mig①

挂C并释放后，C向下运动，A向上运动，设B刚要离地时弹簧伸长量为x2,

有：kx2=m2g②

B不再上升，表示此时A和C的速度为零，C已降到其最低点。由机械能守恒,

与初始状态相比，弹簧性势能的增加量为：A£=/n;ga+X2）-町g（N+X2）③

C换成D后，当B刚离地时弹簧势能的增量与前一次相同，由能量关系得：

+班）/-（m3+/7n）g（X[+x2）-m1^（x14-x2）-AE（4）

由③④式得：；（2班+〃%）/=〃7出（2+々）⑤

由①②⑤式得：卜空I⑥

V（2"4+根3）%

【总结升华】准确把握临界条件所蕴含的物理规律是解题的突破口，如本题B

刚好离地的状态是弹力和其重力相等,（即日2），但要注意第二种情况下B

的平衡即将被打破。本题的临界条件所蕴含的另一物理意义，是两种情况下弹簧

所具有的弹性势能相同，这就建立了两种情况之间的关系，这在高考中频繁出现,

要予以高度的重视。

例7、如图所示，一质量不计的细线绕过无摩擦的轻质小定滑轮0与质量

为5m的祛码相连，另一端与套在一根固定的光滑的竖直杆上质量为m的圆环

相连，直杆上有A、C、B三点，且C为A、B的中点,A0与竖直杆的夹角0=53°,

C点与滑轮0在同一水平高度，滑轮与竖直杆相距为L,重力加速度为g,设直

杆足够长，圆环和祛码运动过程中不会与其他物体相碰。现将圆环由A点静止

开始释放（已知sin53°=0.8,cos53°=0.6）,试求：

/1）础码下降到最低点时，祛码和圆环的速度大小；

:滑的最大距离；

r....冽B点时的速度大小。

B[J5m

【思路点拨】本题难度较大，把运动的合成和分解问题与机械能守恒定律综合在

一起，对速度要分解，理顺速度关系，对几何关系也要分析清楚。

【答案】（1）[2疯（2）"=等⑶彩