大学物理学（第二版）课件：刚体的转动

刚体力学手性对称的天鹅本章内容

4.1刚体的运动4.2刚体绕定轴转动的角动量和转动惯量4.3刚体定轴转动定律4.4刚体定轴转动的功能原理和角动量守恒定律4.1刚体的运动4.1.1刚体的平动和转动1.刚体：在运动过程中，其形状和大小都不发生变化的力学研究对象称为刚体---理想模型。特点：刚体内任意两点之间的距离在运动或受外力时都保持不变。2.平动和转动平动：如果刚体在运动时，刚体上任意两点连成的直线的方位始终保持不变，则刚体的这种运动称为刚体的平动。平动特点：刚体平动时各质点的轨迹相同。任一时刻刚体上各质点的速度和加速度都相同。故可用质心的运动代表。定轴转动：刚体运动时各质元绕同一条固定的直线作圆周运动。这条直线叫固定转轴。定轴转动特点：描述各质元的角量（角位移、角速度、角加速度）都相同。各质元运动的线速度、加速度一般不同。

刚体一般运动：可看成是随质心的平动和绕通过质心轴转动的合成。一般运动=(平动)+(转动)原则:随某点(基点)的平动+过该点的定轴转动基点任选。4.1.2定轴转动(1)描述刚体定轴转动的物理量(2)角量与线量的关系质点直线运动或刚体平动刚体的定轴转动速度角速度加速度角加速度位移角位移vrx1t2x()tx()r1t2()t()qqqwddtwddtqabddtvddt匀速直线运动ssvt匀角速定轴转动qwt匀变速直线运动匀变角速定轴转动s021+vt2atqw0+t21b2t2vv022asw2w022bqvv0+atww0+bt以角速度

作定轴转动的刚体内取一质点

mi，则其对轴的角动量为：刚体相对转轴的角动量可以写作4.2刚体绕定轴转动的角动量和转动惯量4.1定轴转动

刚体角动量

定义转动惯量：

称为刚体绕Z轴的转动惯量。1.转动惯量

刚体的转动惯量与刚体的形状、大小、质量的分布以及转轴的位置有关。在（SI）中，J的单位：kgm2质量连续分布的刚体：dm为质量元，简称质元。其计算方法如下：质量为线分布质量为面分布质量为体分布其中、、分别为质量的线密度、面密度和体密度。4.2定轴转动

刚体的转动惯量2.计算转动惯量的两个定理平行轴定理推论：平行轴中对质心的转动惯量最小。物体绕某一转轴的转动惯量J

等于绕过质心并与该轴平行的转轴的转动惯量Jc加上物体质量m和两平行轴之间距离d的平方的乘积。J—对oo

轴的转动惯量Jc—对通过质心C的轴的转动惯量d—两平行轴间的距离mCoZXYOo´o实心圆盘垂直轴定理若平面型物体（如薄板、圆盘等）绕与平面垂直的轴的转动惯量为Jz，轴与平面的交点为O，物体绕平面内通过0点相互垂直的两轴的转动惯量分别为Jx和Jy，则有：例1.求长度为L，质量为m的均匀细棒AB的转动惯量。（1）对于通过棒的一端与棒垂直的轴。

（2）对于通过棒的中心与棒垂直的轴。解（1）细杆为线质量分布，单位长度的质量为：（2）对于通过棒的中心的轴例2.半径为R质量为M的圆环，绕垂直于圆环平面的质心轴转动，求转动惯量J。解：分割质量元dm圆环上各质量元到轴的距离相等，绕圆环质心轴的转动惯量为讨论：若圆环绕其直径轴转动，再求此圆环的转动惯量。oR例3.一质量为m，半径为R的均匀圆盘，求对通过盘中心并与盘面垂直的轴的转动惯量。rdr解：例4.计算钟摆的转动惯量。（已知：摆锤质量为m，半径为r，摆杆质量也为m，长度为2r。）rO解：摆杆转动惯量：摆锤转动惯量：1.力垂直于转轴2.力与转轴不垂直F⊥θF∥转轴o

rz转动平面

可以把力分解为平行于转轴的分量和垂直于转轴的分量。

平行转轴的力对转轴的力矩为零。OPdr4.3刚体定轴转动定律

4.3.1刚体对转轴的力矩2.力作用线与转轴相交或平行时力对该轴的矩为零；3.同一个力对不同的转轴的矩不一样；4.注意合力矩与合力的矩是不同的概念，不要混淆。力矩的计算1.研究力对轴的矩时，可用正负号表示力矩的方向。

计算力对某一转轴的力矩，若力的作用点不固定在同一处，则应当采取分小段的办法，先计算每一小段上的作用力产生的矩，再求和。说明：4.3.2刚体的角动量定理和转动定理1.角动量定理：质点mi受合力矩Mi(包括Mi外、Mi内)对定轴转的刚体，则合外力矩对定轴转的刚体，受合外力矩M，从到内，角速度从

变为

，积分可得：角动量定理微分形式角动量定理积分形式刚体定轴转动定律：刚体所受的对于某一固定转动轴的合外力矩等于刚体对此转轴的转动惯量与刚体在此合外力矩作用下所获得的角加速度的乘积。说明:(1)

上式是矢量式（在定轴转动中力矩只有两个方向）。(2)

M、J、

是对同一轴而言的。(5)转动惯量J是刚体转动惯性大小的量度。(4)

刚体转动定律的地位与牛顿第二定律相当。(3)

上式反映了力矩的瞬时效应。2.刚体转动定理例5.一个质量为m1、半径为R的定滑轮(当作均匀圆盘)上面绕有细绳，绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂一质量为ｍ2的物体而下垂。忽略轴处摩擦，求物体ｍ2由静止下落高度h时的速度和此时滑轮的角速度。解：定轴0Rhm2绳Tm2g对m1：对m2：解方程得：例6.一质量为m，长为l

的均质细杆，转轴在O点，距A端l/3处。今使棒从静止开始由水平位置绕O点转动，求：（1）水平位置的角速度和角加速度;（2）垂直位置时的角速度和角加速度。解：棒受到的重力矩OBACmg任意角度

：有：OBACmg（1）水平位置=0即：两边积分：解得：（2）垂直位置=/24.4.1.力矩的功结论：刚体绕定轴转动时，力矩对转动物体做的功等于相应力矩和角位移的乘积。刚体在力

作用绕轴转过一微小角位移d

，力

使刚体由

0转到

时，力矩的功为：——力矩功4.4刚体定轴转动的功能原理和角动量守恒定律说明：z第i个质元的动能：整个刚体的转动动能：1.力矩功不是新概念，只是力的功的另一种表达方式。2.内力矩对定轴转动刚体所做的功为零。4.4.2.刚体的动能定理

mi设在外力矩M的作用下，刚体绕定轴发生角位移d

元功：由转动定律有：刚体绕定轴转动的动能定理：合外力矩对刚体所做的功等于刚体转动动能的增量。

对上式积分，可得：4.4.3.刚体的重力势能和功能原理

hc----质心的高度结论：刚体的重力势能可按质心携带总质量在重力场中的势能来计算。质点系的功能原理：若，刚体：有：机械能守恒定律当时，则刚体对定轴的角动量定理定轴转动刚体的角动量守恒定律：当刚体所受的外力对转轴的力矩之代数和为零时，刚体对该转轴的角动量保持不变。

注意：角动量守恒定律不仅适用于刚体，同样也适用于绕定轴转动的任意物体系统。强调：对定轴转动的刚体，角动量守恒的条件是所受的合外力矩为零，而不是冲量矩为零。4.4.4.刚体定轴转动的角动量守恒定律（1）对于定轴转动的刚体，其转动惯量J为常数，刚体所受合外力矩为零时，角速度ω将保持不变，刚体保持静止或匀角速转动。（2）对于定轴转动的非刚体，转动惯量是变化的。角动量守恒，即J和

的乘积保持不变。J

，J

1.物体绕定轴转动时角动量守恒是指转动惯量和角速度的乘积不变。2.当研究的是质点与刚体的碰撞问题时，可以把质点和刚体看成一个系统，在碰撞期间，由于系统所受的合外力矩为零，所以可对系统应用角动量守恒定律。说明：例1

如图所示，一竖直悬挂的木杆，可绕杆端O处的水平固定轴转动.开始时，木杆竖直下垂.质量m1=50g的小球以v0=30m·s-1的水平速度与木杆的下端相碰，碰后小球以v1=10m·s-1的速度向反方向弹回.杆长l=40cm，木杆质量m2=600g.设碰撞时间极短，求碰撞后木杆获得的角速度.解：因为碰撞时间极短，可以认为碰撞过程中杆一直处在竖直位置.对于木杆和小球组成的系统，其所受外力是两者的重力以及轴处轴对杆的支持力，所有这些外力对轴的力矩为零，因此系统对轴的角动量守恒.例如图所示，将单摆和一等长的匀质直杆悬挂在同一点，杆的质量m与单摆的摆锤