北京市西城区2024届高三下学期4月一模试题 数学 含答案

西城区高三统一测试试卷数学2024.4本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题共40分）一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知全集，集合，则（）A.B.C.D.2.下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（）A.B.C.D.3.在的展开式中，常数项为（）A.60B.15C.-60D.-154.已知抛物线与抛物线关于直线对称，则的准线方程是（）A.B.C.D.5.设，其中，则（）A.B.C.D.6.已知向量在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为1，则（）A.-1B.1C.-7D.77.已知函数若存在最小值，则的最大值为（）A.B.C.D.8.在等比数列中，.则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件9.关于函数，给出下列三个命题：①是周期函数；②曲线关于直线对称；③在区间上恰有3个零点.其中真命题的个数为（）A.0B.1C.2D.310.德国心理学家艾·宾浩斯研究发现，人类大脑对事物的遗忘是有规律的，他依据实验数据绘制出“遗忘曲线”.“遗忘曲线”中记忆率随时间（小时）变化的趋势可由函数近似描述，则记忆率为时经过的时间约为（）（参考数据：）A.2小时B.0.8小时C.0.5小时D.0.2小时第二部分（非选择题共110分）二､填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.若复数满足，则__________.12.已知.使成立的一组的值为__________；__________.13.双曲线的渐近线方程为__________；若与圆交于四点，且这四个点恰为正方形的四个顶点，则__________.14.在数列中，.数列满足.若是公差为1的等差数列，则的通项公式为__________，的最小值为__________.15.如图，正方形和矩形所在的平面互相垂直.点在正方形及其内部运动，点在矩形及其内部运动.设，给出下列四个结论：①存在点，使；②存在点，使；③到直线和的距离相等的点有无数个；④若，则四面体体积的最大值为.其中所有正确结论的序号是__________.三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.（本小题14分）如图，在三棱柱中，侧面为正方形，，为的中点.（1）求证：平面；（2）若，求二面角的余弦值.17.（本小题13分）在中，.（1）求的大小；（2）若，再从下列三个条件中选择一个作为已知，使存在，求的面积.条件①：边上中线的长为；条件②：；条件③：.注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.18.（本小题13分）10米气步枪是国际射击联合会的比赛项目之一，资格赛比赛规则如下：每位选手采用立姿射击60发子弹，总环数排名前8的选手进入决赛.三位选手甲､乙､丙的资格赛成绩如下：环数6环7环8环9环10环甲的射出频数11102424乙的射出频数32103015丙的射出频数24101826假设用频率估计概率，且甲､乙､丙的射击成绩相互独立.（1）若丙进入决赛，试判断甲是否进入决赛，说明理由；（2）若甲､乙各射击2次，估计这4次射击中出现2个“9环”和2个“10环”的概率；（3）甲､乙､丙各射击10次，用分别表示甲､乙､丙的10次射击中大于环的次数，其中.写出一个的值，使.（结论不要求证明）19.（本小题15分）已知椭圆的一个顶点为，离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）设为原点.直线与椭圆交于两点（不是椭圆的顶点），与直线交于点，直线分别与直线交于点.求证：.20.（本小题15分）已知函数.（1）当时，求曲线在点处切线的斜率；（2）当时，讨论的单调性；（3）若集合有且只有一个元素，求的值.21.（本小题15分）对正整数，设数列是行列的数阵，表示中第行第列的数，，且同时满足下列三个条件：①每行恰有三个1；②每列至少有一个1；③任意两行不相同.记集合或中元素的个数为.（1）若，求的值；（2）若对任意中都恰有行满足第列和第列的数均为1.（i）能否满足？说明理由；（ii）证明：.西城区高三统一测试试卷数学答案及评分参考2024.4一､选择题（共10小题，每小题4分，共40分）1.B2.D3.A4.C5.C6.A7.A8.B9.D10.C二､填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11.12.；（答案不唯一）13.；14.；15.①③④三､解答题（共6小题，共85分）16.（共14分）解：（1）连接，设，连接.因为在三棱柱中，四边形是平行四边形，所以为的中点.因为为的中点，所以.又因为平面平面，所以平面.（2）因为，所以平面.所以.又，所以两两相互垂直.如图建立空间直角坐标系.则.所以.设平面的法间量为，则即令，则，于是.因为平面，所以是平面的一个法向量.所以.由题设，二面角的平面角为钝角，所以二面角的余弦值为.17.（共13分）解：（1）由，得.在中，由正弦定理得.因为，所以.又，所以.（2）选条件①：边上中线的长为.设边中点为，连接，则.在中，由余弦定理得，即.整理得.解得或（舍）.所以的面积为.选条件③：.在中，由余弦定理得，即.整理得.解得或.当时，的面积为.当时，的面积为.18.（共13分）解：（1）甲进入决赛，理由如下：丙射击成绩的总环数为，甲射击成绩的总环数为.因为，所以甲进入决赛.（2）根据题中数据，“甲命中9环”的概率可估计为；“甲命中10环”的概率可估计为；“乙命中9环”的概率可估计为；“乙命中10环”的概率可估计为.所以这4次射击中出现2个“9环”和2个“10环”的概率可估计为：（3）和8.（写出一个即可）19.（共15分）解：（1）由题设，.解得.所以椭圆的方程为.（2）由题设，直线的斜率存在，设其方程为.则，直线的方程为.由得.由，得.设，则.直线的方程为.联立直线和得.解得.同理可得.所以.因为所以，即点和点关于原点对称.所以.20.（共15分）解：（1）当时，，所以.所以.所以曲线在点（1，处切线的斜率为.（2）当时，的定义域为..因为，所以时，时，.所以的单调递增区间为；单调递减区间为.（3）.当时，的定义域为.所以在上单调递增.因为，所以不合题意.当时，的定义域为.因为时，时，.所以的单调递增区间为；单调递减区间为.所以.设，则，因为时，时，，所以的单调递减区间为；单调递增区间为.所以.所以集合有且只有一个元素时.21.（共15分）解：（1）记.因为，所以.（2）（i）不满足，理由如下：假设满足.因为的每行恰有三个1，故中满足的的个数共有个.号一方面，从中任选