人教A版数学(选择性必修一讲义)第32讲拓展一：中点弦问题(学生版+解析)

第07讲拓展一：中点弦问题一、知识点归纳知识点01：相交弦中点（点差法）：直线与曲线相交，涉及到交线中点的题型，多数用点差法。按下面方法整理出式子，然后根据实际情况处理该式子。主要有以下几种问题：（1）求中点坐标；（2）求中点轨迹方程；（3）求直线方程；（4）求曲线；中点，，知识点02：点差法：设直线和曲线的两个交点，，代入椭圆方程，得；；将两式相减，可得；；最后整理得：同理，双曲线用点差法，式子可以整理成：设直线和曲线的两个交点，，代入抛物线方程，得；；将两式相减，可得；整理得：二、题型精讲题型01求直线方程【典例1】（2023春·宁夏吴忠·高二吴忠中学校考期中）过点的直线与椭圆交于两点，且点M平分弦，则直线的方程为（

）A． B．C． D．【典例2】（2023秋·新疆巴音郭楞·高二校考期末）（1）求过点，与双曲线离心率相等的双曲线的标准方程.（2）已知双曲线，求过点且被点平分的弦所在直线的方程.【典例3】（2023春·四川·高二统考期末）已知直线与抛物线相交于、两点.(1)若直线过点，且倾斜角为，求的值；(2)若直线过点，且弦恰被平分，求所在直线的方程.【变式1】（2023·全国·高三专题练习）过点的直线与双曲线相交于两点，若是线段的中点，则直线的方程是（

）A． B．C． D．【变式2】（2023春·河南·高二临颍县第一高级中学校联考开学考试）已知椭圆的长轴比短轴长2，椭圆的离心率为．(1)求椭圆的方程；(2)若直线与椭圆交于两点，且线段的中点为，求的方程．【变式3】（2023春·内蒙古呼伦贝尔·高二校考阶段练习）已知抛物线的焦点为是抛物线上的点，且．(1)求抛物线的方程；(2)已知直线交抛物线于两点，且的中点为，求直线的方程．题型02处理存在性问题【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线：的焦点为为上的动点，垂直于动直线，垂足为，当为等边三角形时，其面积为.(1)求的方程；(2)设为原点，过点的直线与相切，且与椭圆交于两点，直线与交于点，试问：是否存在，使得？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.【典例2】（2023春·江西萍乡·高二校联考阶段练习）已知双曲线的右焦点为，且C的一条渐近线经过点.(1)求C的标准方程；(2)是否存在过点的直线l与C交于不同的A，B两点，且线段AB的中点为P.若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆：，A为椭圆的下顶点，设椭圆与直线相交于不同的两点、，为弦的中点，当时，求的取值范围.【典例2】（2022·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，直线和椭圆交于两点，且的周长为．(1)求的方程；(2)设点为线段的中点，为坐标原点，求线段长度的取值范围．【变式1】（2023·天津·校考模拟预测）已知曲线的方程为，曲线是以、为焦点的椭圆，点为曲线与曲线在第一象限的交点，且．(1)求曲线的标准方程；(2)直线与椭圆相交于A、B两点，若AB的中点在曲线上，求直线的斜率的取值范围．【变式2】（2023春·内蒙古赤峰·高二校考阶段练习）已知椭圆的中心在原点，焦点为，且离心率.（1）求椭圆的方程；（2）直线（与坐标轴不平行）与椭圆交于不同的两点，且线段中点的横坐标为，求直线倾斜角的取值范围.题型05定值问题【典例1】（2022·全国·高二专题练习）已知椭圆的离心率为，直线被椭圆截得的线段长为.（1）求椭圆的方程；（2）设过椭圆的右焦点与坐标轴不垂直的直线交于点，，交轴于点，为线段的中点，且为垂足.问：是否存在定点，使得的长为定值？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由.【典例2】（2023春·湖南株洲·高二株洲二中校考开学考试）已知双曲线（，）的渐近线方程为，焦点到渐近线的距离为.(1)求双曲线的方程；(2)设，是双曲线右支上不同的两点，线段AB的垂直平分线交AB于，点的横坐标为2，则是否存在半径为1的定圆，使得被圆截得的弦长为定值，若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由.【变式1】（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线：的焦点是，若过焦点的直线与相交于，两点，所得弦长的最小值为2．(1)求实数的值；(2)设，是抛物线上不同于坐标原点的两个不同的动点，且以线段为直径的圆经过点，作，为垂足，试探究是否存在定点，使得为定值，若存在，则求出该定点的坐标及定值，若不存在，请说明理由．

第07讲拓展一：中点弦问题一、知识点归纳知识点01：相交弦中点（点差法）：直线与曲线相交，涉及到交线中点的题型，多数用点差法。按下面方法整理出式子，然后根据实际情况处理该式子。主要有以下几种问题：（1）求中点坐标；（2）求中点轨迹方程；（3）求直线方程；（4）求曲线；中点，，知识点02：点差法：设直线和曲线的两个交点，，代入椭圆方程，得；；将两式相减，可得；；最后整理得：同理，双曲线用点差法，式子可以整理成：设直线和曲线的两个交点，，代入抛物线方程，得；；将两式相减，可得；整理得：二、题型精讲题型01求直线方程【典例1】（2023春·宁夏吴忠·高二吴忠中学校考期中）过点的直线与椭圆交于两点，且点M平分弦，则直线的方程为（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】设，直线斜率为，则有，①-②得，因为点为中点，则，所以，即，所以直线的方程为，整理得故选：B【典例2】（2023秋·新疆巴音郭楞·高二校考期末）（1）求过点，与双曲线离心率相等的双曲线的标准方程.（2）已知双曲线，求过点且被点平分的弦所在直线的方程.【答案】（1）；（2）.【详解】（1）双曲线过点，所求双曲线的焦点在轴上，又所求双曲线离心率与双曲线离心率相同，可设其方程为：，将代入双曲线方程得：，则所求双曲线标准方程为：.（2）方法一：由题意知：所求直线的斜率存在，可设其方程为：，即，由得：，设，，，又为中点，，解得：，当时，满足，符合题意；所求直线的方程为：，即；方法二：设，，均在双曲线上，，两式作差得：，直线的斜率，又为中点，，，，经检验：该直线存在，所求直线的方程为：，即.【典例3】（2023春·四川·高二统考期末）已知直线与抛物线相交于、两点.(1)若直线过点，且倾斜角为，求的值；(2)若直线过点，且弦恰被平分，求所在直线的方程.【答案】(1)(2)【详解】（1）因直线的倾斜角为，所以直线的斜率，又因直线过点，所以直线的方程为：，即，联立得，设，，所以，，所以（2）因、在抛物线上，所以，，两式相减得：，得，故直线的斜率为4，所以直线的方程为：，即【变式1】（2023·全国·高三专题练习）过点的直线与双曲线相交于两点，若是线段的中点，则直线的方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】解：设，则，两式相减得直线的斜率为，又直线过点，所以直线的方程为，经检验此时与双曲线有两个交点.故选：A【变式2】（2023春·河南·高二临颍县第一高级中学校联考开学考试）已知椭圆的长轴比短轴长2，椭圆的离心率为．(1)求椭圆的方程；(2)若直线与椭圆交于两点，且线段的中点为，求的方程．【答案】(1)(2)【详解】（1）因为椭圆的离心率为，所以，解得．．又椭圆的长轴比短轴长2，所以，联立方程组，解得所以椭圆的方程为．（2）显然点在椭圆内，设，因为在椭圆上，所以，两个方程相减得，即，因为线段的中点为，所以，，所以．所以的方程为，即．【变式3】（2023春·内蒙古呼伦贝尔·高二校考阶段练习）已知抛物线的焦点为是抛物线上的点，且．(1)求抛物线的方程；(2)已知直线交抛物线于两点，且的中点为，求直线的方程．【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，所以，故抛物线的方程为．（2）

易知直线的斜率存在，设直线的斜率为，则两式相减得，整理得．因为的中点为，所以，所以直线的方程为，即.题型02处理存在性问题【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线：的焦点为为上的动点，垂直于动直线，垂足为，当为等边三角形时，其面积为.(1)求的方程；(2)设为原点，过点的直线与相切，且与椭圆交于两点，直线与交于点，试问：是否存在，使得？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)；(2).【详解】（1）∵为等边三角形时，其面积为，∴，解得，根据和抛物线的定义可知，落在准线上，即，设准线和轴交点为，易证，于是，∴的方程为；（2）假设存在，使得，则线为段的中点，设，依题意得，则，由可得，所以切线的斜率为，设，，线段的中点，由，可得，所以，整理可得：，即，所以，可得，又因为，所以当时，，此时三点共线，满足为的中点，综上，存在，使得点为的中点恒成立，.【典例2】（2023春·江西萍乡·高二校联考阶段练习）已知双曲线的右焦点为，且C的一条渐近线经过点.(1)求C的标准方程；(2)是否存在过点的直线l与C交于不同的A，B两点，且线段AB的中点为P.若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.【答案】(1)(2)不存在，理由见解析【详解】（1）解：因为双曲线C的右焦点为，所以，可得，又因为双曲线C的一条渐近线经过点，可得，即，联立方程组，解得，所以双曲线C的标准方程为.（2）解：假设存在符合条件的直线，易知直线l的斜率存在，设直线的斜率为，且，则，两式相减得，所以，因为的中点为，所以，所以，解得，直线的方程为，即，把直线代入，整理得，可得，该方程没有实根，所以假设不成立，即不存在过点的直线与C交于两点，使得线段的中点为.【变式1】（2023秋·重庆北碚·高二西南大学附中校考阶段练习）双曲线的渐近线方程为，一个焦点到该渐近线的距离为2．(1)求C的方程；(2)是否存在直线l，经过点且与双曲线C于A，B两点，M为线段AB的中点，若存在，求l的方程：若不存在，说明理由．【答案】(1)(2)存在；.【详解】（1）双曲线的渐近线为，因为双曲线的一条渐近线方程为，所以，又焦点到直线的距离，所以，又，所以，，所以双曲线方程为（2）假设存在，由题意知：直线的斜率存在，设，，直线的斜率为，则，，所以，，两式相减得，即即，所以，解得，所以直线的方程为，即，经检验直线与双曲线有两个交点，满足条件，所以直线的方程为.题型03求弦中点的轨迹方程【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知曲线上一动点到两定点，的距离之和为，过点的直线与曲线相交于点，．(1)求曲线的方程；(2)动弦满足：，求点的轨迹方程；【答案】(1)(2)；【详解】（1）因为动点到两定点，的距离之和为，所以曲线是以，为焦点的椭圆，，，所以，，所以曲线的方程为；（2）因为，所以为中点，设，当的斜率存在且不为0时，将，代入椭圆方程中得：两式相减得，即，所以，即，，整理得；当的斜率不存在或为0时，有或，也满足；所以点的轨迹方程是；综上，曲线的方程为，点的轨迹方程是.【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线，过点作一条直线交抛物线于，两点，试求弦的中点轨迹方程.【答案】.【详解】方法1：设，，弦的中点为，则，当直线的斜率存在时，.因为两式相减，得.所以，即，即.当直线斜率不存在，即轴时，的中点为，适合上式，故所求轨迹方程为.方法2：当直线的斜率存在时，设直线的方程为（），由得.所以所以.设，，的中点为，则，.所以.所以消去参数，得.当直线的斜率不存在时，即轴时，的中点为，适合上式，故所求轨迹方程为.【变式1】（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的弦所在直线过点，求弦中点的轨迹方程.【答案】【详解】设，弦的中点，则，将代入椭圆方程得，两式相减得，所以，当时，，因为，所以，则，整理得；当时，则直线方程为，代入椭圆方程解得所以满足上述方程，故点的轨迹方程.【变式2】（2022·全国·高三专题练习）椭圆，则该椭圆所有斜率为的弦的中点的轨迹方程为．【答案】【详解】设斜率为的直线方程为，与椭圆的交点为，设中点坐标为，则，所以，两式相减可得，，即，由于在椭圆内部，由得，所以时，即直线与椭圆相切，此时由解得或，所以，所求得轨迹方程为．故答案为：．题型04确定参数的取值范围【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆：，A为椭圆的下顶点，设椭圆与直线相交于不同的两点、，为弦的中点，当时，求的取值范围.【答案】【详解】由题设，联立，得，由题设知，即①，设，则，因为为弦的中点，∴，从而，又由题意知,，∴，∵，则，即②，把②代入①得，解得，又，故的取值范围是.【典例2】（2022·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，直线和椭圆交于两点，且的周长为．(1)求的方程；(2)设点为线段的中点，为坐标原点，求线段长度的取值范围．【答案】(1)；(2).【详解】（1）由椭圆的定义知，的周长为，所以，由离心率，解得，所以的方程为．（2）设，的坐标分别为，，，则有①，②，，由①−②可得：，即，将条件及，带入上式可得点的轨迹方程为，所以，，所以，所以线段长度的取值范围为．【变式1】（2023·天津·校考模拟预测）已知曲线的方程为，曲线是以、为焦点的椭圆，点为曲线与曲线在第一象限的交点，且．(1)求曲线的标准方程；(2)直线与椭圆相交于A、B两点，若AB的中点在曲线上，求直线的斜率的取值范围．【答案】(1)(2)且【详解】（1）设椭圆方程为，依题意，，，利用抛物线的定义可得，解得，点的坐标为，所以，由椭圆定义，得．，所以曲线的标准方程为；（2）设直线与椭圆的交点，，，，，的中点的坐标为，，设直线的方程为，(当时,弦中点为原点,但原点并不在上,同样弦中点为原点，不适合题意)与联立，得，由得①，由韦达定理得，，，则，，将中点，代入曲线的方程为，整理，得，②将②代入①得，令，则，解得，．所以直线的斜率的取值范围为且．【变式2】（2023春·内蒙古赤峰·高二校考阶段练习）已知椭圆的中心在原点，焦点为，且离心率.（1）求椭圆的方程；（2）直线（与坐标轴不平行）与椭圆交于不同的两点，且线段中点的横坐标为，求直线倾斜角的取值范围.【答案】（1）；（2）直线倾斜角的取值范围为，，.【详解】（1）设椭圆方程为，由题意得，，所以，，所以椭圆的方程为；（2）设直线的方程为，由得，则，即①，设，，，，则，因为线段中点的横坐标为，所以，