人教A版数学(选择性必修一讲义)第34讲拓展三：圆锥曲线的方程(弦长问题)(学生版+解析)

第09讲圆锥曲线的方程（弦长问题）一、知识点归纳知识点一：弦长公式（最常用公式，使用频率最高）知识点二：基本不等式（当且仅当时等号成立）二、题型精讲题型01求椭圆的弦长【典例1】（2023春·四川成都·高二校联考期末）已知椭圆：的离心率为，且其中一个焦点与抛物线的焦点重合．(1)求椭圆的方程；(2)若直线：与椭圆交于不同的A，B两点，且满足（为坐标原点），求弦长的值．

【典例2】（2023春·广西·高二校联考阶段练习）在直角坐标系xOy中已知，P是平面内一动点，且直线PA和直线PB的斜率之积为．记点P的运动轨迹为曲线C．(1)求曲线C的方程；(2)若直线l与曲线C相交于M，N两点．且线段MN的中点为，求．

【变式1】（2023春·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨三中校考阶段练习）已知平面内动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数．(1)求动点的轨迹方程；(2)设动点的轨迹为曲线，过定点的直线和曲线交于不同两点、满足，求线段的长．【变式2】（2023秋·新疆巴音郭楞·高二校联考期末）已知椭圆C的焦点为F1（0，-2）和F2（0，2），长轴长为2，设直线y=x+2交椭圆C于A，B两点.(1)求椭圆C的标准方程;(2)求弦AB的中点坐标及|AB|.题型02求椭圆的弦长的最值（范围）【典例1】（2023秋·浙江宁波·高二校联考期末）过点的直线与椭圆交于两点，则的最大值是.【典例2】（2023春·福建莆田·高二莆田第十中学校考阶段练习）已知椭圆的离心率为，C上的点到其焦点的最大距离为．(1)求C的方程；(2)若圆的切线l与C交于点A，B，求的最大值．【典例3】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的离心率为，左顶点为，直线与椭圆交于，两点.(1)求椭圆的的标准方程；(2)若直线，的斜率分别为，，且，求的最小值.【典例4】（2023秋·湖南岳阳·高二湖南省汨罗市第一中学校联考期末）设椭圆的左右焦点，分别是双曲线的左右顶点，且椭圆的右顶点到双曲线的渐近线的距离为.(1)求椭圆的方程；(2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点，且？若存在，写出该圆的方程，并求的取值范围，若不存在，说明理由.【变式1】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的离心率为，它的四个顶点构成的四边形的面积为．(1)求椭圆的方程；(2)设过点的直线与圆相切且与椭圆交于、两点，求的最大值．【变式2】（2023春·福建泉州·高二福建省永春第一中学校考阶段练习）已知椭圆：（）的短轴长为4，离心率为．点为圆：上任意一点，为坐标原点．(1)求椭圆的标准方程；(2)记线段与椭圆交点为，求的取值范围．【变式3】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的两个焦点，，动点在椭圆上，且使得的点恰有两个，动点到焦点的距离的最大值为．(1)求椭圆的方程；(2)如图，以椭圆的长轴为直径作圆，过直线上的动点作圆的两条切线，设切点分别为，，若直线与椭圆交于不同的两点，，求弦长的取值范围．题型03根据椭圆的弦长求参数【典例1】（2023春·上海静安·高二统考期末）在平面直角坐标系中，设，动点满足：，其中是非零常数，分别为直线的斜率.(1)求动点的轨迹的方程，并讨论的形状与值的关系；(2)当时，直线交曲线于两点，为坐标原点.若线段的长度，的面积，求直线的方程.【典例2】（2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期末）已知在平面直角坐标系中，椭圆的右顶点为，上顶点为，的面积为，离心率．(1)求椭圆的方程；(2)若斜率为的直线与圆相切，且与椭圆相交于、两点，若弦长的取值范围为，求斜率的取值范围．【典例3】（2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期末）已知在平面直角坐标系中，椭圆的右顶点为A，上顶点为B，的面积为，离心率．(1)求椭圆C的方程；(2)若斜率为k的直线与圆相切，且l与椭圆C相交于两点，若弦长的取值范围为，求的取值范围．【变式1】（2023春·上海浦东新·高二统考期末）椭圆C：．(1)求椭圆C的离心率；(2)若、分别是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，且，求点P的坐标；(3)如果l：被椭圆C截得的弦长，求该直线的方程．【变式2】（2023·黑龙江齐齐哈尔·齐齐哈尔市实验中学校考三模）在平面直角坐标系中，已知椭圆：与椭圆：，且椭圆过椭圆的焦点.过点且不与坐标轴平行或重合的直线与椭圆交于，两点，与椭圆交于，两点.(1)求椭圆的标准方程；(2)若存在直线，使得，求实数的取值范围.【变式3】（2023春·四川内江·高二四川省内江市第六中学校考阶段练习）椭圆E的方程为，短轴长为2，若斜率为的直线与椭圆E交于两点，且线段的中点为.(1)求椭圆E的方程；(2)若直线l：与圆相切，且与椭圆E交于M，N两点，且，求直线l的方程.题型04求双曲线的弦长【典例1】（2023·新疆喀什·校考模拟预测）已知双曲线C两条准线之间的距离为1，离心率为2，直线l经过C的右焦点，且与C相交于A、B两点.(1)求C的标准方程；(2)若直线l与该双曲线的渐近线垂直，求AB的长度.【典例2】（2023春·甘肃金昌·高二永昌县第一高级中学校考阶段练习）已知双曲线C的渐近线为，且过点．(1)求双曲线C的方程；(2)若直线与双曲线C相交于A，B两点，O为坐标原点，若OA与OB垂直，求a的值以及弦长．【变式1】（2023秋·广东湛江·高二统考期末）设第一象限的点是双曲线上的一点，已知C的一条渐近线的方程是．(1)求b的值，并证明：；(2)若直线和曲线C相交于E，F两点，求．【变式2】（2023·江苏·高二专题练习）双曲线的焦点的坐标分别为和，离心率为，求：(1)双曲线的方程及其渐近线方程；(2)已知直线与该双曲线交于交于两点，且中点，求直线AB的弦长．题型05根据双曲线的弦长求参数【典例1】（2023春·上海浦东新·高二上海南汇中学校考期中）已知点，依次为双曲线的左、右焦点，且，令．(1)设此双曲线经过第一、三象限的渐近线为，若直线与直线垂直，求双曲线的离心率；(2)若，以此双曲线的焦点为顶点，以此双曲线的顶点为焦点得到椭圆C，法向量为的直线与椭圆C交于两点M，N，且，求直线的一般式方程．【典例2】（2023秋·重庆渝中·高二重庆巴蜀中学校考期末）已知双曲线的渐近线方程是，右顶点是.(1)求双曲线的离心率；(2)过点倾斜角为的直线与双曲线的另一交点是，若，求双曲线的方程.【变式1】（2023秋·浙江宁波·高二期末）已知焦点在x轴上的双曲线C的渐近线方程为，(1)求双曲线C的离心率e(2)若直线与C相交于不同的两点A，B，且，求双曲线C的方程．【变式2】（2023秋·安徽合肥·高三校考期末）双曲线的中心在原点，右焦点为，渐近线方程为．(1)求双曲线的方程；(2)过点且斜率为的直线，与双曲线交于不同的，两点，若，求直线的方程．【变式3】（2023春·上海浦东新·高二上海市洋泾中学校考阶段练习）已知双曲线C：的离心率为，实轴长为2.(1)求双曲线的标准方程；(2)若直线被双曲线C截得的弦长为，求m的值.题型06求抛物线焦点弦【典例1】（2023春·甘肃武威·高二统考开学考试）已知抛物线过点．(1)求抛物线的标准方程；(2)过抛物线焦点作直线与抛物线交于两点，已知线段的中点横坐标为4，求弦的长度．【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点为.(1)求；(2)若直线与交于、两点，求线段的长．题型07求抛物线中非焦点弦【典例1】（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）已知椭圆与抛物线的图象在第一象限交于点P．若椭圆的右顶点为B，且．(1)求椭圆的离心率．(2)若椭圆的焦距长为2，直线l过点B．设l与抛物线相交于不同的两点M、N，且的面积为24，求线段的长度．【典例2】（2023·广西·统考模拟预测）已知抛物线的焦点到准线的距离为2.(1)求的方程；(2)若为直线上的一动点，过作抛物线的切线为切点，直线与交于点，过作的垂线交于点，当最小时.求.【变式1】（2023春·内蒙古兴安盟·高二乌兰浩特市第四中学校考阶段练习）已知抛物线C的顶点在原点，对称轴是坐标轴，它的准线过双曲线的左焦点．(1)求抛物线C的方程；(2)若过点且斜率为1的直线与抛物线C交于M，N两点，求．【变式2】（2023秋·湖北·高二统考期末）已知抛物线C：上第一象限的一点到其焦点的距离为2．(1)求抛物线C的方程和P点坐标；(2)过点的直线l交抛物线C于A，B两点，若∠APB的角平分线过抛物线的焦点，求弦AB的长．题型08根据抛物线弦长求参数【典例1】（2023秋·湖南邵阳·高二统考期末）在平面直角坐标系中，动点到定点的距离比到轴的距离大1.(1)求动点的轨迹的方程；(2)过点的直线交曲线于两点，若，求直线的方程.【典例2】（2023秋·河北石家庄·高二石家庄二十三中校考期末）已知O为坐标原点，点和点，动点P满足.(1)求动点P的轨迹曲线W的方程并说明W是何种曲线；(2)若抛物线（）的焦点F恰为曲线W的顶点，过点F的直线l与抛物线Z交于M，N两点，，求直线l的方程.【变式1】（2022春·陕西西安·高二西北工业大学附属中学校考阶段练习）已知抛物线的焦点为F，点在抛物线C上，且.(1)求抛物线C的标准方程；(2)若直线l过抛物线C的焦点F，l与抛物线C相交于A，B两点，且，求直线l的方程.【变式2】（2022·全国·高三专题练习）如图，设抛物线方程为，为直线上任意一点，过引抛物线的切线，切点分别为，．(1)求证：，，三点的横坐标成等差数列；(2)已知当点的坐标为时，，求此时抛物线的方程．

第09讲圆锥曲线的方程（弦长问题）一、知识点归纳知识点一：弦长公式（最常用公式，使用频率最高）知识点二：基本不等式（当且仅当时等号成立）二、题型精讲题型01求椭圆的弦长【典例1】（2023春·四川成都·高二校联考期末）已知椭圆：的离心率为，且其中一个焦点与抛物线的焦点重合．(1)求椭圆的方程；(2)若直线：与椭圆交于不同的A，B两点，且满足（为坐标原点），求弦长的值．【答案】(1)(2)【详解】（1）由得焦点，则椭圆的焦点为，因为椭圆离心率为，所以，解得，则，所以椭圆的方程为．（2）设，由得，，易得，则，，，因为，所以，解得，所以．

【典例2】（2023春·广西·高二校联考阶段练习）在直角坐标系xOy中已知，P是平面内一动点，且直线PA和直线PB的斜率之积为．记点P的运动轨迹为曲线C．(1)求曲线C的方程；(2)若直线l与曲线C相交于M，N两点．且线段MN的中点为，求．【答案】(1)(2)【详解】（1）设，由题可得，则．整理得，故曲线C的方程为．（2）（法一）设，则两式相减得，则，因为线段MN的中点，所以，所以，故直线l的方程为，即，联立方程组，消去y整理得，，则，则.

（法二）易知直线斜率存在，设直线方程为，联立方程组，消去y整理得，，则,

又，可求得，即有，则.【变式1】（2023春·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨三中校考阶段练习）已知平面内动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数．(1)求动点的轨迹方程；(2)设动点的轨迹为曲线，过定点的直线和曲线交于不同两点、满足，求线段的长．【答案】(1)(2)【详解】（1）解：因为面内动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，则，整理可得，因此，点的轨迹方程为.（2）解：若直线与轴重合，则、为椭圆长轴的顶点，若点、，则，，此时，不合乎题意，若点、，同理可得，不合乎题意，所以，直线不与轴重合，设直线的方程为，设点、，联立可得，，因为，即，所以，，即，由韦达定理可得，所以，，，解得，因此，.【变式2】（2023秋·新疆巴音郭楞·高二校联考期末）已知椭圆C的焦点为F1（0，-2）和F2（0，2），长轴长为2，设直线y=x+2交椭圆C于A，B两点.(1)求椭圆C的标准方程;(2)求弦AB的中点坐标及|AB|.【答案】(1)(2)中点坐标，弦长【详解】（1）因为椭圆C的焦点为和，长轴长为，所以椭圆的焦点在轴上，.所以.所以椭圆C的标准方程.（2）设，，AB线段的中点为，由得，所以，

所以，，所以弦AB的中点坐标为，.题型02求椭圆的弦长的最值（范围）【典例1】（2023秋·浙江宁波·高二校联考期末）过点的直线与椭圆交于两点，则的最大值是.【答案】【详解】①当直线斜率存在时，设直线方程为：联立，得，即，所以，所以，令，则原式，令，则原式，当时取得最大值，此时，.②当直线斜率不存在时，所以的最大值是.故填：.【典例2】（2023春·福建莆田·高二莆田第十中学校考阶段练习）已知椭圆的离心率为，C上的点到其焦点的最大距离为．(1)求C的方程；(2)若圆的切线l与C交于点A，B，求的最大值．【答案】(1)(2)【详解】（1）因为C的离心率为，所以．因为C上的点到其焦点的最大距离为，所以，解得，．因为，所以，故C的方程为．（2）当l的斜率不存在时，可得．当时，可得，，则．当时，同理可得．当l的斜率存在时，设．因为l与圆相切，所以圆心到l的距离为，即．联立得．设，，则，．．令，则，当且仅当，即时，等号成立．因为，所以的最大值为．【典例3】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的离心率为，左顶点为，直线与椭圆交于，两点.(1)求椭圆的的标准方程；(2)若直线，的斜率分别为，，且，求的最小值.【答案】(1)(2)3【详解】（1）由题知，椭圆的离心率为，左顶点为，所以，解得，所以椭圆的标准方程为.（2）由（1）得，，因为直线与椭圆交于，两点，由题可知，直线斜率为0时，，所以直线的斜率不为0，所以设直线，联立方程，得，所以，，所以，解得，此时恒成立，所以直线的方程为直线，直线过定点，此时，所以，当且仅当时取等号，所以的最小值为3.【典例4】（2023秋·湖南岳阳·高二湖南省汨罗市第一中学校联考期末）设椭圆的左右焦点，分别是双曲线的左右顶点，且椭圆的右顶点到双曲线的渐近线的距离为.(1)求椭圆的方程；(2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点，且？若存在，写出该圆的方程，并求的取值范围，若不存在，说明理由.【答案】(1)(2)存在，圆的方程为，的取值范围是【详解】（1）由题意得：，故，双曲线渐的近线方程为，故椭圆右顶点到双曲线渐近线距离为，因为，解得：，故，所以椭圆方程为；（2）当直线的斜率存在时，设直线为，联立与，得：，由得：，设，则，因为，所以，其中，整理得：，将代入中，解得：，又，解得：，综上：或，原点到直线的距离为，则存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点，且，该圆的半径即为，故圆的方程为，当直线斜率不存在时，此时直线的方程为，与椭圆的两个交点为，或，，此时，满足要求，经验证，此时圆上的切线在轴上的截距满足或，综上：存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点，且；，将代入上式，令，则，因为，则，所以，因为，所以，故当时，取得最大值，最大值为，又，当直线的斜率不存在时，此时，综上：的取值范围为.【变式1】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的离心率为，它的四个顶点构成的四边形的面积为．(1)求椭圆的方程；(2)设过点的直线与圆相切且与椭圆交于、两点，求的最大值．【答案】(1)(2)【详解】（1）解：椭圆的四个顶点构成的四边形的面积为，由题意可得，解得，．所以，椭圆的方程为．（2）解：若直线与轴平行或重合，此时直线与圆相交，不合乎题意，设直线的方程为，由题意可得，即.联立消去得，即，．设、，则，．所以，．令，则，则，当且仅当时等号成立，此时，．故的最大值为．【变式2】（2023春·福建泉州·高二福建省永春第一中学校考阶段练习）已知椭圆：（）的短轴长为4，离心率为．点为圆：上任意一点，为坐标原点．(1)求椭圆的标准方程；(2)记线段与椭圆交点为，求的取值范围．【答案】(1)(2)【详解】（1）由题意可知：，，，则，∴椭圆的标准方程：；（2）由题意可知：，设，则，∴，由，当时，，当时，，∴的取值范围；【变式3】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的两个焦点，，动点在椭圆上，且使得的点恰有两个，动点到焦点的距离的最大值为．(1)求椭圆的方程；(2)如图，以椭圆的长轴为直径作圆，过直线上的动点作圆的两条切线，设切点分别为，，若直线与椭圆交于不同的两点，，求弦长的取值范围．【答案】(1)；(2).【详解】（1）设半焦距为，由使得的点恰有两个可得，动点到焦点的距离的最大值为，可得，即，所以椭圆的方程是.（2）圆的方程为，设直线上动点的坐标为.设，连接OA，因为直线为切线，故，否则直线垂直于轴，则与直线平行，若，则，故，故直线的方程为：，整理得到：；当时，若，直线的方程为：；若，则直线的方程为：，满足.故直线的方程为，同理直线的方程为，又在直线和上，即，故直线的方程为.联立，消去得，设，．则，从而，又，从而，所以.题型03根据椭圆的弦长求参数【典例1】（2023春·上海静安·高二统考期末）在平面直角坐标系中，设，动点满足：，其中是非零常数，分别为直线的斜率.(1)求动点的轨迹的方程，并讨论的形状与值的关系；(2)当时，直线交曲线于两点，为坐标原点.若线段的长度，的面积，求直线的方程.【答案】(1)动点的轨迹的方程为；讨论过程见解析(2)或或或【详解】（1）设，因为，动点满足：，分别为直线的斜率，所以，即，即动点的轨迹的方程为.讨论的形状与值的关系如下：当时，的形状为双曲线；当时，的形状为焦点位于x轴的椭圆；当时，的形状为圆；当时，的形状为焦点位于y轴的椭圆；（2）当时，的形状为焦点位于y轴的椭圆，方程为.由题意知，直线斜率存在，联立，则，，则，所以，所以，设到直线距离为，直线则，所以，平方得，代入上式得，则，平方得，即，所以，得，则，则，所以，此时成立，所以直线的方程为，即或或或.

【典例2】（2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期末）已知在平面直角坐标系中，椭圆的右顶点为，上顶点为，的面积为，离心率．(1)求椭圆的方程；(2)若斜率为的直线与圆相切，且与椭圆相交于、两点，若弦长的取值范围为，求斜率的取值范围．【答案】(1)(2)【详解】（1）解：由题意可知，可得，，所以，椭圆的方程为.（2）解：设直线的方程为，因为直线与圆相切，且该圆的圆心为原点，半径为，

则，得，联立得，则，设、，则，所以，，，因为的取值范围是，即，整理可得，又因为，所以，，解得，因此，的取值范围是.【典例3】（2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期末）已知在平面直角坐标系中，椭圆的右顶点为A，上顶点为B，的面积为，离心率．(1)求椭圆C的方程；(2)若斜率为k的直线与圆相切，且l与椭圆C相交于两点，若弦长的取值范围为，求的取值范围．【答案】(1)(2)【详解】（1）由题意可知：，可得，，所以椭圆C的方程为：；（2）设直线的方程为，，，由，得，联立，得，恒成立，则，所以，，

因为的取值范围为，则，解得，所以，，因为，则，所以，所以的取值范围为．【变式1】（2023春·上海浦东新·高二统考期末）椭圆C：．(1)求椭圆C的离心率；(2)若、分别是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，且，求点P的坐标；(3)如果l：被椭圆C截得的弦长，求该直线的方程．【答案】(1)(2)(3)【详解】（1）椭圆C：，，（2）由（1）可知：，设，，，可得，且，联立解得：，所以或或或（3）设直线l与椭圆的交点分别为,联立，整理得：，；所以弦长，解得:，所以直线的方程：【变式2】（2023·黑龙江齐齐哈尔·齐齐哈尔市实验中学校考三模）在平面直角坐标系中，已知椭圆：与椭圆：，且椭圆过椭圆的焦点.过点且不与坐标轴平行或重合的直线与椭圆交于，两点，与椭圆交于，两点.(1)求椭圆的标准方程；(2)若存在直线，使得，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【详解】（1）因为椭圆过点，所以椭圆的焦点坐标为，则，所以，即椭圆的标准方程为；（2）易知直线的斜率存在，设：，，，，，联立直线l与椭圆，，消去y，整理得，则，即，，，联立直线l与椭圆，，消去y，整理得，则，即，，，所以，，因为，所以，即，平方整理得，因为，所以，设函数，则，所以函数在上单调递增，所以，又，所以，即的取值范围为.【变式3】（2023春·四川内江·高二四川省内江市第六中学校考阶段练习）椭圆E的方程为，短轴长为2，若斜率为的直线与椭圆E交于两点，且线段的中点为.(1)求椭圆E的方程；(2)若直线l：与圆相切，且与椭圆E交于M，N两点，且，求直线l的方程.【答案】(1)；(2)或.【详解】（1）由题意得：，所以，设，因过点且斜率为-1的直线与相交于两点，且恰好是的中点，则，所以.又A，B两点在椭圆上，则.两式相减得：，所以，所以，又，得，所以，故椭圆方程为；（2）直线l：与圆相切，故，即，联立与得：，设，则，，则，将代入上式得：，解得：，因为，所以，故，则，所以直线l的方程为或.题型04求双曲线的弦长【典例1】（2023·新疆喀什·校考模拟预测）已知双曲线C两条准线之间的距离为1，离心率为2，直线l经过C的右焦点，且与C相交于A、B两点.(1)求C的标准方程；(2)若直线l与该双曲线的渐近线垂直，求AB的长度.【答案】(1)=1(2)3【详解】（1）因为直线l经过C的右焦点，所以该双曲线的焦点在横轴上，因为双曲线C两条准线之间的距离为1，所以有，又因为离心率为2，所以有代入中，可得，∴C的标准方程为：；（2）由上可知：该双曲线的渐近线方程为，所以直线l的斜率为，由于双曲线和两条直线都关于y轴对称，所以两条直线与双曲线的相交弦相等.又因为直线斜率的绝对值小于渐近线斜率的绝对值，所以直线与双曲线交于左右两支，因此不妨设直线l的斜率为，方程为与双曲线方程联立为：，设，则有，【典例2】（2023春·甘肃金昌·高二永昌县第一高级中学校考阶段练习）已知双曲线C的渐近线为，且过点．(1)求双曲线C的方程；(2)若直线与双曲线C相交于A，B两点，O为坐标原点，若OA与OB垂直，求a的值以及弦长．【答案】(1)(2)，【详解】（1）由双曲线渐近线方程为，可设双曲线方程为：，又双曲线过点，双曲线的方程为：（2）设，，联立，化为．∵直线与双曲线C相交于A，B两点，∴，化为．∴，（*）∵，∴．∴，又，，∴，把（*）代入上式得，化为．满足．∴．由弦长公式可得【变式1】（2023秋·广东湛江·高二统考期末）设第一象限的点是双曲线上的一点，已知C的一条渐近线的方程是．(1)求b的值，并证明：；(2)若直线和曲线C相交于E，F两点，求．【答案】(1)，证明见解析(2)【详解】（1）的渐近线方程为，故，双曲线方程为，在双曲线上，所以，要证，只需证，由于，若，显然成立，若时，只需要证明，即证，因此只需要证明，由，得，而，故成立，因此（2）联立直线与双曲线方程，设,则，所以由弦长公式得：，【变式2】（2023·江苏·高二专题练习）双曲线的焦点的坐标分别为和，离心率为，求：(1)双曲线的方程及其渐近线方程；(2)已知直线与该双曲线交于交于两点，且中点，求直线AB的弦长．【答案】(1)；(2)【详解】（1）由题意可得，可得＝4，且焦点在轴上，所以，所以双曲线的方程为：；渐近线的方程为：；（2）由于中点不在轴上，根据双曲线的对称性可得直线的斜率必存在，设直线：，，联立，消去得则，，解得，则题型05根据双曲线的弦长求参数【典例1】（2023春·上海浦东新·高二上海南汇中学校考期中）已知点，依次为双曲线的左、右焦点，且，令．(1)设此双曲线经过第一、三象限的渐近线为，若直线与直线垂直，求双曲线的离心率；(2)若，以此双曲线的焦点为顶点，以此双曲线的顶点为焦点得到椭圆C，法向量为的直线与椭圆C交于两点M，N，且，求直线的一般式方程．【答案】(1)(2)或【详解】（1）渐近线，，，则，直线与直线垂直，则，即，即，解得，（舍去负值）.（2）直线的法向量为，设直线方程为，设椭圆方程为，则，，，，故椭圆方程为，联立方程，即，，即，设，，，，解得.故直线方程为或.【典例2】（2023秋·重庆渝中·高二重庆巴蜀中学校考期末）已知双曲线的渐近线方程是，右顶点是.(1)求双曲线的离心率；(2)过点倾斜角为的直线与双曲线的另一交点是，若，求双曲线的方程.【答案】(1)；(2)【详解】（1）解：因为双曲线，故渐近线方程是：，又渐近线方程是，故，即，故，故，；（2）解：因为直线的倾斜角为，故直线斜率是1，又直线经过，则直线方程为，设，由，消去得，故，解得，又，则，解得，故，，故双曲线的方程是.【变式1】（2023秋·浙江宁波·高二期末）已知焦点在x轴上的双曲线C的渐近线方程为，(1)求双曲线C的离心率e(2)若直线与C相交于不同的两点A，B，且，求双曲线C的方程．【答案】(1)(2)【详解】（1）可设双曲线C的方程为，则其渐近线方程为，所以，所以离心率；（2）设，则由得，所以，因为，所以，得，故双曲线C的方程为．【变式2】（2023秋·安徽合肥·高三校考期末）双曲线的中心在原点，右焦点为，渐近线方程为．(1)求双曲线的方程；(2)过点且斜率为的直线，与双曲线交于不同的，两点，若，求直线的方程．【答案】(1)(2)【详解】（1）因为双曲线的中心在原点，焦点在轴上，故可设双曲线的方程是，又已知，又，，所以双曲线的方程是；（2）由题意得直线的方程为，由得，由题知得且．设，则，，解得或，，所以直线的方程为．【变式3】（2023春·上海浦东新·高二上海市洋泾中学校考阶段练习）已知双曲线C：的离心率为，实轴长为2.(1)求双曲线的标准方程；(2)若直线被双曲线C截得的弦长为，求m的值.【答案】(1)(2)【详解】（1）双曲线离心率为，实轴长为2，，，解得，，，所求双曲线C的方程为；（2）设,,联立，，，，．，，解得．题型06求抛物线焦点弦【典例1】（2023春·甘肃武威·高二统考开学考试）已知抛物线过点．(1)求抛物线的标准方程；(2)过抛物线焦点作直线与抛物线交于两点，已知线段的中点横坐标为4，求弦的长度．【答案】(1)；(2)10.【详解】（1）因为抛物线过点，则有，解得，所以抛物线的标准方程为.（2）由（1）知，抛物线的焦点，准线方程为，设点的横坐标分别为，而线段的中点横坐标为4，则有，因为点是过抛物线焦点的直线与抛物线的两个交点，因此，所以弦的长度为10.【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点为.(1)求；(2)斜率为的直线过点，且与抛物线交于两点，求线段的长.【答案】(1)(2)【详解】（1）为抛物线的焦点，，解得：.（2）由（1）知：抛物线；直线，由得：，设，，则，，.【典例3】（2023春·新疆塔城·高二统考开学考试）已知抛物线过点.(1)求抛物线的方程，并求其准线方程;(2)过该抛物线的焦点，作倾斜角为的直线，交抛物线于两点，求线段的长度.【答案】(1)，.(2)【详解】（1）抛物线过点，则，故抛物线的方程为，其准线方程为.（2）抛物线的方程为，焦点为，则直线的方程为，联立，可得，，设，则，由抛物线定义可得，故.【变式1】（2023春·四川雅安·高二雅安中学校考阶段练习）已知抛物线的准线的方程为，过点作倾斜角为的直线交该抛物线于两点，．求：（1）的值；（2）弦长【答案】（1）2；（2）8.【详解】解：（1）由准线的方程为，可知：，即（2）易得直线，与联立，消去得，，，，所以：弦长．【变式2】（2023秋·湖南怀化·高二统考期末）已知抛物线的准线方程是是抛物线焦点．(1)求抛物线焦点坐标及其抛物线方程：(2)已知直线过点，斜率为2，且与抛物线相交于两点，求．【答案】(1)焦点是，抛物线的方程为；(2)5【详解】（1）抛物线准线为，因此，所以抛物线的焦点是故抛物线的方程为（2）由题意可知直线的方程为，设联立，整理得由韦达定理可得，所以【变式3】（2023秋·四川宜宾·高二四川省宜宾市南溪第一中学校校考期末）已知抛物线的顶点在原点，焦点坐标为．(1)求的标准方程；(2)若直线与交于、两点，求线段的长．【答案】(1)(2)【详解】（1）解：设抛物线的标准方程为．因为的顶点在原点，焦点坐标为，所以，则，故的标准方程为．（2）解：抛物线的准线方程为．设、，因为直线过点，所以、到准线的距离分别为，．联立可得，则，所以，，因此，.题型07求抛物线中非焦点弦【典例1】（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）已知椭圆与抛物线的图象在第一象限交于点P．若椭圆的右顶点为B，且．(1)求椭圆的离心率．(2)若椭圆的焦距长为2，直线l过点B．设l与抛物线相交于不同的两点M、N，且的面积为24，求线段的长度．【答案】(1)(2)【详解】（1）∵抛物线方程为∴其焦点为，抛物线的准线方程为．设点，故到准线的距离为．即，∴因为点P在第一象限，代入抛物线方程解得．根据点P在椭圆上，将P点坐标代入椭圆方程，化简得．即，所以，则椭圆E的离心率．故答案为：（2）因为椭圆的焦距为2，所以，所以，所以椭圆方程为．抛物线的方程为．且，．因为直线l过B且不与坐标轴垂直，不妨设直线l的方程为，，且．设点，，联立l与消去x得：．所以，．所以．所以．故答案为：【典例2】（2023·广西·统考模拟预测）已知抛物线的焦点到准线的距离为2.(1)求的方程；(2)若为直线上的一动点，过作抛物线的切线为切点，直线与交于点，过作的垂线