人教A版数学(选择性必修一讲义)第01讲1.1.1空间向量及其线性运算(学生版+解析)

第01讲1.1.1空间向量及其线性运算课程标准学习目标①理解空间向量的概念，空间向量的共线定理、共面定理及推论.②会进行空间向量的线性运算，空间向量的数量积，空间向量的夹角的相关运算.1．理解空间向量的相关概念的基础上进行与向量的加、减运算、数量积的运算、夹角的相关运算及空间距离的求解.2．利用空间向量的相关定理及推论进行空间向量共线、共面的判断.知识点01：空间向量的有关概念1、空间向量的有关概念（1）概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模；如空间中的位移速度、力等．（2）几类特殊的空间向量名称定义及表示零向量长度为0的向量叫做零向量，记为单位向量模为1的向量称为单位向量相反向量与向量长度相等而方向相反的向量，称为的相反向量，记为相等向量方向相同且模相等的向量称为相等向量2、空间向量的表示表示方法：和平面向量一样，空间向量有两种表示方法：（1）几何表示法：用有向线段来表示，叫向量的起点，叫向量的终点；（2）字母表示法：用表示．向量的起点是，终点是，则向量也可以记作，其模记为或.【即学即练1】（2023·江苏·高二专题练习）如图所示，在平行六面体的棱中，与向量模相等的向量有______个.【答案】7【详解】与模长相等的向量有：共有7个.故答案为：7知识点02：空间向量的加法、减法运算1、空间向量的位置：已知空间向量，可以把它们平移到同一平面内，以任意点为起点，作向量，2、空间向量的加法运算（首尾相接首尾连）：作向量，则向量叫做向量的和．记作，即3、空间向量的减法运算（共起点，连终点，指向被减向量）：向量叫做与差，记作，即4、空间向量的加法运算律（1）加法交换律：（2）加法结合律：【即学即练2】（2023秋·浙江台州·高二期末）如图，在平行六面体中，E是的中点，则（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】．故选：A.知识点03：空间向量的数乘运算1、定义：与平面向量一样，实数与空间向量的乘积仍然是一个向量，称为向量的数乘运算．2：数乘向量与向量的关系的范围的方向的模与向量的方向相同，其方向是任意的与向量的方向相反3、对数乘向量与向量的关系的进一步理解：（1）可以把向量模扩大（当时），也可缩小（当时）；可以不改变向量的方向（当时），也可以改变向量的方向（当时）．（2）实数与向量的积的特殊情况：当时，；当时，若，则．（3）实数与向量可以求积，但是不能进行加减，例如，，没有意义，无法运算．【即学即练3】（2023春·高一课时练习）如图，已知四棱柱的底面为平行四边形，E为棱的中点，，与平面交于点M，则＝________.【答案】【详解】由题可设，因为，所以，因为M，E，F，G四点共面，所以，解得.故答案为：.知识点04：共线向量与共面向量1、共线（平行）向量的定义：若表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，若与是共线向量，则记为．在正确理解共线向量的定义时，要注意以下两点：（1）零向量和空间任一向量是共线向量．（2）共线向量不具有传递性，如，那么不一定成立，因为当时，虽然，但不一定与共线（特别注意，与任何向量共线）．2、共线向量定理：对空间任意两个向量，的充要条件是存在实数，使．2.1共线向量定理推论：如果为经过点平行于已知非零向量的直线,那么对于空间任一点,点在直线上的充要条件是存在实数,使①，若在上取，则①可以化作：2.2拓展(高频考点）：对于直线外任意点，空间中三点共线的充要条件是，其中3、共面向量定义：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量．3.1共面向量定理：如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使3.2空间共面向量的表示如图空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，使．或者等价于：对空间任意一点，空间一点位于平面内（四点共面）的充要条件是存在有序实数对，使，该式称为空间平面的向量表示式，由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定．3.3拓展对于空间任意一点，四点共面（其中不共线）的充要条件是（其中）．【即学即练4】（2023春·四川绵阳·高二四川省绵阳南山中学校考阶段练习）已知为空间任意一点，四点共面，但任意三点不共线．如果，则的值为（

）A．-2 B．-1 C．1 D．2【答案】A【详解】因为，所以由得，即，因为为空间任意一点，满足任意三点不共线，且四点共面，所以，故.故选：A.题型01空间向量的有关概念【典例1】（2023春·高二课时练习）已知为三维空间中的非零向量，下列说法不正确的是（）A．与共面的单位向量有无数个B．与垂直的单位向量有无数个C．与平行的单位向量只有一个D．与同向的单位向量只有一个【典例2】（2023春·高二课时练习）给出下列命题：①两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；②若空间向量满足，则；③在正方体中，必有；④若空间向量满足，，则．其中正确的个数为（

）．A． B． C． D．【变式1】（2023春·高二课时练习）下列命题中为真命题的是（

）A．空间向量与的长度相等B．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆C．空间向量就是空间中的一条有向线段D．不相等的两个空间向量的模必不相等【变式2】（2023·江苏·高二专题练习）如图所示，已知为平行六面体，若以此平行六面体的顶点为向量的起点、终点，求：（1）与相等的向量；

（2）与相反的向量；

（3）与平行的向量．题型02空间向量加减运算及几何表示【典例1】（2023秋·湖南湘潭·高二校联考期末）已知在空间四边形中，，则（

）A． B． C． D．【典例2】（2023春·江苏连云港·高二校联考期中）正方体中，化简（

）A． B． C． D．【变式1】（2023春·安徽亳州·高二统考开学考试）在长方体中，为线段的中点，则（

）A． B． C． D．【变式2】（2023秋·北京大兴·高二统考期末）空间向量（

）A． B． C． D．题型03空间向量的共线定理（空间向量共线的判定）【典例1】（2023·江苏·高二专题练习）如图，四边形､都是平行四边形且不共面，,分别是､的中点，判断与是否共线？【变式1】（2023·江苏·高二专题练习）如图所示，在正方体中，点在上，且，点在体对角线上，且．求证：，，三点共线．题型04空间向量的共线定理（由空间向量共线求参数）【典例1】（2023春·江苏南京·高二南京市第一中学校考阶段练习）已知是空间的一个基底，若，，若，则（

）A． B． C．3 D．【典例2】（2023春·高二课时练习）设，是两个不共线的空间向量，若，，，且，，三点共线，则实数的值为______.【变式1】（2023春·高二课时练习）设是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且A，B，D三点共线，求实数k的值．【变式2】（2023春·江苏镇江·高二江苏省扬中高级中学校考阶段练习）设是空间中两个不共线的向量，已知，，，且三点共线，则实数______．．题型05空间向量共面（空间向量共面的判定）【典例1】（多选）（2023秋·江西吉安·高二井冈山大学附属中学校考期末）空间四点及空间任意一点，由下列条件一定可以得出四点共面的有（

）A． B．C． D．【典例2】（2023春·高二课时练习）设空间任意一点和不共线的三点，，，若点满足向量关系（其中），试问：，，，四点是否共面？【变式1】（2023春·高一课时练习）下列条件中，一定使空间四点P､A､B､C共面的是（

）A． B．C． D．【变式2】（2023秋·高二课时练习）已知是不共面向量，，证明这三个向量共面.题型06空间向量共面（由空间向量共面求参数）【典例1】（2023春·高一课时练习）已知三点不共线，是平面外任意一点，若，则四点共面的充要条件是（

）A． B． C． D．【典例2】（2023春·高二课时练习）已知为空间中一点，四点共面且任意三点不共线，若，则的值为______．【变式1】（2023春·高二课时练习）如图,平面内的小方格均为正方形,点为平面内的一点,为平面外一点,设,则的值为（

）A．1 B． C．2 D．【变式2】（2023秋·湖北黄冈·高二统考期末）是空间向量的一组基底，，，，已知点在平面内，则______.题型07空间向量共面（推论及其应用）【典例1】（2023春·江苏淮安·高二校联考期中）已知三点不共线，是平面外任意一点，若由确定的一点与三点共面，则等于（

）A． B． C． D．【典例2】（2023春·高一课时练习）已知为空间中任意一点，、、、四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且，则实数的值为_________.【变式1】（2023秋·重庆北碚·高二西南大学附中校考阶段练习）在三棱锥中，M是平面ABC上一点，且，则（

）A．1 B．2 C． D．【变式2】（2022秋·江西抚州·高二江西省临川第二中学校考阶段练习）已知点在确定的平面内，是空间任意一点，实数满足，则的最小值为（

）A． B． C．1 D．2题型08空间向量数乘运算及几何表示【典例1】（2023秋·新疆昌吉·高二校考期末）已知正方体，点E是的中点，点F是的三等分点，且，则等于（

）．A． B．C． D．【典例2】（2023春·高二课时练习）如图，已知为空间的9个点，且，，，，，.求证：（1）；（2）.【变式1】（2023春·云南迪庆·高二迪庆藏族自治州民族中学校考阶段练习）在三棱柱中，D是四边形的中心，且，，，则（

）A． B．C． D．【变式2】（2023秋·北京·高二中央民族大学附属中学校考期末）在平行六面体中，点M满足．若，则下列向量中与相等的是（

）A． B．C． D．1.1.1空间向量及其线性运算A夯实基础B能力提升C综合素养A夯实基础一、单选题1．（2023秋·高二课时练习）当，且不共线时，与的关系是（

）A．共面 B．不共面 C．共线 D．无法确定2．（2023·山东枣庄·统考模拟预测）如图，在长方体中，化简（

）A． B． C． D．3．（2023秋·河北石家庄·高二石家庄二十三中校考期末）如图，已知空间四边形ABCD的对角线为AC，BD，设G是CD的中点，则等于（

）A． B． C． D．4．（2023秋·江西吉安·高二江西省万安中学校考期末）已知在长方体中，，则（

）A．3 B．2 C．1 D．5．（2023秋·山东威海·高二统考期末）在平行六面体中，点E满足，则（

）A． B． C． D．6．（2023·全国·高二专题练习）已知点在确定的平面内，是平面外任意一点，实数满足，则的最小值为（

）A． B． C．1 D．27．（2023·江苏·高二专题练习）已知为空间任一点，，，，四点满足任意三点不共线，但四点共面，且，则的值为（

）A．1 B． C．2 D．8．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四面体中，、分别是、的中点，过的平面分别交棱、于、（不同于、、、），、分别是棱、上的动点，则下列命题错误的是（

）A．存在平面和点，使得平面B．存在平面和点，使得平面C．对任意的平面，线段平分线段D．对任意的平面，线段平分线段二、多选题9．（2023春·高二课时练习）下列说法错误的是（

）A．空间的任意三个向量都不共面B．空间的任意两个向量都共面C．三个向量共面，即它们所在的直线共面D．若三向量两两共面，则这三个向量一定也共面10．（2023·全国·高二专题练习）下列命题中正确的是（

）A．若∥，则∥B．是共线的必要条件C．三点不共线，对空间任一点，若，则四点共面D．若为空间四点，且有（不共线），则是三点共线的充要条件三、填空题11．（2023·全国·高二专题练习）已知是不共面向量，，若三个向量共面，则实数______.12．（2023·江苏·高二专题练习）已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外任意一点，若由确定的一点P与A，B，C三点共面，则_________．四、解答题13．（2023·江苏·高二专题练习）已知、、、、、、、、为空间的个点（如图所示），并且，，，，．求证：．14．（2023春·高二课时练习）如图所示，已知矩形，为平面外一点，且平面，、分别为、上的点，且，，求满足的实数的值．B能力提升1．（2023春·江苏淮安·高二淮阴中学校联考阶段练习）四面体中，，是的中点，是的中点，设，，，则（

）A． B．C． D．2．（2023春·高二课时练习）已知长方体，，，M是的中点，点P满足，其中，，且平面，则动点P的轨迹所形成的轨迹长度是（

）A． B． C． D．23．（2023春·高二课时练习）在正三棱柱中，，点P满足，其中，则三角形周长最小值是___________.C综合素养1．（多选）（2023春·高二课时练习）如图，在三棱柱中，P为空间一点，且满足，，则（）A．当时，点P在棱上 B．当时，点P在棱上C．当时，点P在线段上 D．当时，点P在线段上2．（2023·全国·高三专题练习）如图所示的平行六面体中，已知，，，为上一点，且．若，则的值为__；若为棱的中点，平面，则的值为__．3．（2023·江苏·高二专题练习）如图，在三棱锥中，点为的重心，点在上，且，过点任意作一个平面分别交线段，，于点，，，若，，，求证：为定值，并求出该定值.

第01讲1.1.1空间向量及其线性运算课程标准学习目标①理解空间向量的概念，空间向量的共线定理、共面定理及推论.②会进行空间向量的线性运算，空间向量的数量积，空间向量的夹角的相关运算.1．理解空间向量的相关概念的基础上进行与向量的加、减运算、数量积的运算、夹角的相关运算及空间距离的求解.2．利用空间向量的相关定理及推论进行空间向量共线、共面的判断.知识点01：空间向量的有关概念1、空间向量的有关概念（1）概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模；如空间中的位移速度、力等．（2）几类特殊的空间向量名称定义及表示零向量长度为0的向量叫做零向量，记为单位向量模为1的向量称为单位向量相反向量与向量长度相等而方向相反的向量，称为的相反向量，记为相等向量方向相同且模相等的向量称为相等向量2、空间向量的表示表示方法：和平面向量一样，空间向量有两种表示方法：（1）几何表示法：用有向线段来表示，叫向量的起点，叫向量的终点；（2）字母表示法：用表示．向量的起点是，终点是，则向量也可以记作，其模记为或.【即学即练1】（2023·江苏·高二专题练习）如图所示，在平行六面体的棱中，与向量模相等的向量有______个.【答案】7【详解】与模长相等的向量有：共有7个.故答案为：7知识点02：空间向量的加法、减法运算1、空间向量的位置：已知空间向量，可以把它们平移到同一平面内，以任意点为起点，作向量，2、空间向量的加法运算（首尾相接首尾连）：作向量，则向量叫做向量的和．记作，即3、空间向量的减法运算（共起点，连终点，指向被减向量）：向量叫做与差，记作，即4、空间向量的加法运算律（1）加法交换律：（2）加法结合律：【即学即练2】（2023秋·浙江台州·高二期末）如图，在平行六面体中，E是的中点，则（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】．故选：A.知识点03：空间向量的数乘运算1、定义：与平面向量一样，实数与空间向量的乘积仍然是一个向量，称为向量的数乘运算．2：数乘向量与向量的关系的范围的方向的模与向量的方向相同，其方向是任意的与向量的方向相反3、对数乘向量与向量的关系的进一步理解：（1）可以把向量模扩大（当时），也可缩小（当时）；可以不改变向量的方向（当时），也可以改变向量的方向（当时）．（2）实数与向量的积的特殊情况：当时，；当时，若，则．（3）实数与向量可以求积，但是不能进行加减，例如，，没有意义，无法运算．【即学即练3】（2023春·高一课时练习）如图，已知四棱柱的底面为平行四边形，E为棱的中点，，与平面交于点M，则＝________.【答案】【详解】由题可设，因为，所以，因为M，E，F，G四点共面，所以，解得.故答案为：.知识点04：共线向量与共面向量1、共线（平行）向量的定义：若表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，若与是共线向量，则记为．在正确理解共线向量的定义时，要注意以下两点：（1）零向量和空间任一向量是共线向量．（2）共线向量不具有传递性，如，那么不一定成立，因为当时，虽然，但不一定与共线（特别注意，与任何向量共线）．2、共线向量定理：对空间任意两个向量，的充要条件是存在实数，使．2.1共线向量定理推论：如果为经过点平行于已知非零向量的直线,那么对于空间任一点,点在直线上的充要条件是存在实数,使①，若在上取，则①可以化作：2.2拓展(高频考点）：对于直线外任意点，空间中三点共线的充要条件是，其中3、共面向量定义：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量．3.1共面向量定理：如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使3.2空间共面向量的表示如图空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，使．或者等价于：对空间任意一点，空间一点位于平面内（四点共面）的充要条件是存在有序实数对，使，该式称为空间平面的向量表示式，由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定．3.3拓展对于空间任意一点，四点共面（其中不共线）的充要条件是（其中）．【即学即练4】（2023春·四川绵阳·高二四川省绵阳南山中学校考阶段练习）已知为空间任意一点，四点共面，但任意三点不共线．如果，则的值为（

）A．-2 B．-1 C．1 D．2【答案】A【详解】因为，所以由得，即，因为为空间任意一点，满足任意三点不共线，且四点共面，所以，故.故选：A.题型01空间向量的有关概念【典例1】（2023春·高二课时练习）已知为三维空间中的非零向量，下列说法不正确的是（）A．与共面的单位向量有无数个B．与垂直的单位向量有无数个C．与平行的单位向量只有一个D．与同向的单位向量只有一个【答案】C【详解】解：与共面的单位向量，方向可任意，所以有无数个，故A正确；与垂直的单位向量，方向可任意，所以有无数个，故B正确；与平行的单位向量，方向有两个方向，故不唯一，故C错误；与同向的单位向量，方向唯一，故只有一个，故D正确．故选：C．【典例2】（2023春·高二课时练习）给出下列命题：①两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；②若空间向量满足，则；③在正方体中，必有；④若空间向量满足，，则．其中正确的个数为（

）．A． B． C． D．【答案】C【详解】对于①，当两个空间向量起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等；但两个向量相等，它们的起点和终点都不一定相同，①错误；对于②，根据向量相等的定义，要保证两个向量相等，不仅模要相等，而且方向还要相同，但②中向量与的方向不一定相同，②错误；对于③，根据正方体的性质，在正方体中，向量与向量的方向相同，模也相等，则，③正确；对于④，由向量相等关系可知，④正确．故选：C.【变式1】（2023春·高二课时练习）下列命题中为真命题的是（

）A．空间向量与的长度相等B．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆C．空间向量就是空间中的一条有向线段D．不相等的两个空间向量的模必不相等【答案】A【详解】对于A，因为空间向量与互为相反向量，所以空间向量与的长度相等，所以A正确，对于B，将空间所有的单位向量平移到一个起点，则它们的终点构成一个球面，所以B错误，对于C，空间向量可以用空间中的一条有向线段表示，但空间向量不是有向线段，所以C错误，对于D，两个空间向量不相等，它们的模可能相等，也可能不相等，如向量与的模相等，所以D错误，故选：A【变式2】（2023·江苏·高二专题练习）如图所示，已知为平行六面体，若以此平行六面体的顶点为向量的起点、终点，求：（1）与相等的向量；

（2）与相反的向量；

（3）与平行的向量．【答案】（1）；（2）；（3）．【详解】（1）∵平行六面体是棱柱，∴侧棱都平行且相等，∴与相等的向量为；（2）连接，由平行六面体的性质可得，∴是平行四边形，∴，与相反的向量为．（3）连接，由平行六面体的性质可得，∴是平行四边形，∴，与平行的向量为．题型02空间向量加减运算及几何表示【典例1】（2023秋·湖南湘潭·高二校联考期末）已知在空间四边形中，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为，故G为CD的中点，如图，由平行四边形法则可得，所以.故选：A.【典例2】（2023春·江苏连云港·高二校联考期中）正方体中，化简（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】.故选：C.【变式1】（2023春·安徽亳州·高二统考开学考试）在长方体中，为线段的中点，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为为线段的中点，所以,所以，因为长方体中，，所以，即.故选：C.【变式2】（2023秋·北京大兴·高二统考期末）空间向量（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】故选：D题型03空间向量的共线定理（空间向量共线的判定）【典例1】（2023·江苏·高二专题练习）如图，四边形､都是平行四边形且不共面，,分别是､的中点，判断与是否共线？【答案】共线.【详解】因为M､N分别是AC､BF的中点，而四边形ABCD､ABEF都是平行四边形，所以.又，所以.所以，即，即与共线.【变式1】（2023·江苏·高二专题练习）如图所示，在正方体中，点在上，且，点在体对角线上，且．求证：，，三点共线．【答案】证明见解析【详解】证明：

连接，．∵，，∴，∴．又，∴，，三点共线．题型04空间向量的共线定理（由空间向量共线求参数）【典例1】（2023春·江苏南京·高二南京市第一中学校考阶段练习）已知是空间的一个基底，若，，若，则（

）A． B． C．3 D．【答案】C【详解】，，因为，所以存在实数，使，所以，所以，所以，得，，所以，故选：C【典例2】（2023春·高二课时练习）设，是两个不共线的空间向量，若，，，且，，三点共线，则实数的值为______.【答案】/0.4【详解】∵，，，∴，又∵A，C，D三点共线，∴，∴，∴.故答案为：.【变式1】（2023春·高二课时练习）设是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且A，B，D三点共线，求实数k的值．【答案】.【详解】因为，，则有，又A，B，D三点共线，于是，即，而不共线，因此，解得，所以实数k的值是.【变式2】（2023春·江苏镇江·高二江苏省扬中高级中学校考阶段练习）设是空间中两个不共线的向量，已知，，，且三点共线，则实数______．．【答案】【详解】，，，三点共线，存在实数，使得，即，，解得：．故答案为：.题型05空间向量共面（空间向量共面的判定）【典例1】（多选）（2023秋·江西吉安·高二井冈山大学附属中学校考期末）空间四点及空间任意一点，由下列条件一定可以得出四点共面的有（

）A． B．C． D．【答案】ACD【详解】对A：，定有共面，且有公共顶点，故四点共面，故A正确；对B：，，故四点不共面，故B错误；对C：，可得三点共线，则四点一定共面，故C正确；对D：，，故四点一定共面，故D正确.故选：ACD.【典例2】（2023春·高二课时练习）设空间任意一点和不共线的三点，，，若点满足向量关系（其中），试问：，，，四点是否共面？【答案】共面【详解】解：，，，四点共面．理由如下：，，，即，由，，三点不共线，可知和不共线，由共面定理可知向量，，共面，，，，四点共面．【变式1】（2023春·高一课时练习）下列条件中，一定使空间四点P､A､B､C共面的是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】对于A选项，，，所以点与、、三点不共面；对于B选项，，，所以点与、、三点不共面；对于C选项，，，所以点与、、三点不共面；对于D选项，，,所以点与、、三点共面.故选：D.【变式2】（2023秋·高二课时练习）已知是不共面向量，，证明这三个向量共面.【答案】证明见解析【详解】由是不共面向量，得与不共线，设，则，所以，解得，所以，所以这三个向量共面.题型06空间向量共面（由空间向量共面求参数）【典例1】（2023春·高一课时练习）已知三点不共线，是平面外任意一点，若，则四点共面的充要条件是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】四点共面的充要条件是，，整理可得，由，则，解得，故选：A.【典例2】（2023春·高二课时练习）已知为空间中一点，四点共面且任意三点不共线，若，则的值为______．【答案】【详解】依题意，四点共面且任意三点不共线，所以，所以，，，所以，解得.故答案为：【变式1】（2023春·高二课时练习）如图,平面内的小方格均为正方形,点为平面内的一点,为平面外一点,设,则的值为（

）A．1 B． C．2 D．【答案】B【详解】由题知，四点共面,根据平面向量基本定理,不妨设,，则,，,.故选:B【变式2】（2023秋·湖北黄冈·高二统考期末）是空间向量的一组基底，，，，已知点在平面内，则______.【答案】3【详解】因为点在平面内，所以，，共面，所以存在与使得,即，所以，解得.故.故答案为:3.题型07空间向量共面（推论及其应用）【典例1】（2023春·江苏淮安·高二校联考期中）已知三点不共线，是平面外任意一点，若由确定的一点与三点共面，则等于（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由与三点共面以及，可得，，所以.故选：C.【典例2】（2023春·高一课时练习）已知为空间中任意一点，、、、四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且，则实数的值为_________.【答案】【详解】，又∵是空间任意一点，、、、四点满足任三点均不共线，但四点共面，∴，解得x=，故答案为：【点睛】方法点睛：设是平面上任一点，是平面上的三点，（不共线），则三点共线，把此结论类比到空间上就是：不共面，若，则四点共面．【变式1】（2023秋·重庆北碚·高二西南大学附中校考阶段练习）在三棱锥中，M是平面ABC上一点，且，则（

）A．1 B．2 C． D．【答案】B【详解】因为，所以，因为M是平面ABC上一点，即四点共面，所以，所以．故选：B.【变式2】（2022秋·江西抚州·高二江西省临川第二中学校考阶段练习）已知点在确定的平面内，是空间任意一点，实数满足，则的最小值为（

）A． B． C．1 D．2【答案】A【详解】由题意因为四点共面且平面唯一确定，，所以，即，所以，由一元二次函数的图像和性质可得当时，取得最小值，所以，故选：A题型08空间向量数乘运算及几何表示【典例1】（2023秋·新疆昌吉·高二校考期末）已知正方体，点E是的中点，点F是的三等分点，且，则等于（

）．A． B．C． D．【答案】D【详解】如图所示，由于，故，，，，，，∴，故选：D．【典例2】（2023春·高二课时练习）如图，已知为空间的9个点，且，，，，，.求证：（1）；（2）.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【详解】证明：（1）∴.（2）.【变式1】（2023春·云南迪庆·高二迪庆藏族自治州民族中学校考阶段练习）在三棱柱中，D是四边形的中心，且，，，则（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】.故选：D.【变式2】（2023秋·北京·高二中央民族大学附属中学校考期末）在平行六面体中，点M满足．若，则下列向量中与相等的是（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】由点M满足，所以M为中点，因为四边形ABCD为平行四边形，所以M为中点,所以，所以.故选：C1.1.1空间向量及其线性运算A夯实基础B能力提升C综合素养A夯实基础一、单选题1．（2023秋·高二课时练习）当，且不共线时，与的关系是（

）A．共面 B．不共面 C．共线 D．无法确定【答案】A【详解】根据平行四边形法则可得，以，为邻边，则可得平行四边形的两条对角线对应的向量分别为，所以与共面.故选：A.2．（2023·山东枣庄·统考模拟预测）如图，在长方体中，化简（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由长方体的结构特征，有，则.故选：B3．（2023秋·河北石家庄·高二石家庄二十三中校考期末）如图，已知空间四边形ABCD的对角线为AC，BD，设G是CD的中点，则等于（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】G是CD的中点,所以故选：A.4．（2023秋·江西吉安·高二江西省万安中学校考期末）已知在长方体中，，则（

）A．3 B．2 C．1 D．【答案】C【详解】依题知，，∴，∴．故选：C.5．（2023秋·山东威海·高二统考期末）在平行六面体中，点E满足，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由得，整理得.故选：A.6．（2023·全国·高二专题练习）已知点在确定的平面内，是平面外任意一点，实数满足，则的最小值为（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【详解】因为，点在确定的平面内，所以，即，所以，所以当时，的有最小值2．故选：D7．（2023·江苏·高二专题练习）已知为空间任一点，，，，四点满足任意三点不共线，但四点共面，且，则的值为（

）A．1 B． C．2 D．【答案】B【详解】解：，，又，，，四点满足任意三点不共线，但四点共面，，，故选：B．8．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四面体中，、分别是、的中点，过的平面分别交棱、于、（不同于、、、），、分别是棱、上的动点，则下列命题错误的是（

）A．存在平面和点，使得平面B．存在平面和点，使得平面C．对任意的平面，线段平分线段D．对任意的平面，线段平分线段【答案】D【详解】对于A选项，当时，因为平面，平面，此时平面，A对；对于B选项，当时，因为平面，平面，此时平面，B对；对于C选项，取的中点，的中点为，设，，则有，同理可得，，，，所以，所以，，因为、、、四点共面，则，所以，，所以，，则，所以，，可得，即、、三点共线，即的中点在上，即线段平分线段，C对；对于D选项，若线段平分线段，又因为线段平分线段，则四边形为平行四边形，事实上，四边形不一定为平行四边形，故假设不成立，D错.故选：D.二、多选题9．（2023春·高二课时练习）下列说法错误的是（

）A．空间的任意三个向量都不共面B．空间的任意两个向量都共面C．三个向量共面，即它们所在的直线共面D．若三向量两两共面，则这三个向量一定也共面【答案】ACD【详解】A.如图所示：，三个向量共面，故错误；B.由相等向量知：通过平移，两个向量的起点总可以在同一点，故两个向量都共面，故正确；C.如图所示：，在正方体中三个向量共面，但它们所在的直线不共面，故错误；D.如图所示：，在正方体中三向量两两共面，但这三个向量一定共面，故错误；故选：ACD10．（2023·全国·高二专题练习）下列命题中正确的是（

）A．若∥，则∥B．是共线的必要条件C．三点不共线，对空间任一点，若，则四点共面D．若为空间四点，且有（不共线），则是三点共线的充要条件【答案】ACD【详解】对于A,由∥，则一定有∥，故A正确；对于B，由反向共线，可得，故B不正确；对于C，由三点不共线，对空间任一点，若，则，即，所以四点共面，故C正确；对于D,若为空间四点，且有（不共线），