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第十二章微分方程第一节常微分方程的基本概念一、问题的提出---两个引例二、微分方程的定义三、微分方程的解四、小结

—积分问题

—微分方程问题

推广引例1设曲线S通过点(0,1)，且在该曲线上任一点解：设所求曲线的函数表达式S=S(x)，则有:①（C为任意常数）由②得C=1,因此所求曲线的表达式为②由①得处的切线斜率为,求该曲线S的函数表达式.一、问题的提出

引例2

一辆火车在平直轨道上以25m/s的速度行驶，假设火车在进站时制动的加速度为-0.5m/s2

.若计划火车停止时正对站台，那么火车需离站台多少距离时开始制动？并且火车制动后多长时间之后才能停住？由题意知，解:代入初始条件后得到所以令v=0，则火车从开始制动到完全停住共需火车在这段时间内行驶的路程为

引例2

一辆火车在平直轨道上以25m/s的速度行驶，假设火车在进站时制动的加速度为-0.5m/s2

.若计划火车停止时正对站台，那么火车需离站台多少距离时开始制动？并且火车制动后多长时间之后才能停住？解:定义1含有未知函数以及未知函数的导数（或微分）的方程，叫做微分方程.例如：实质:

联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数(或

微分)之间的关系式.二、微分方程的定义一阶微分方程高阶微分方程分类2:偏微分方程（多元）常微分方程（一元）定义2:微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的

阶数称为微分方程的阶.分类1:

定义3能够使微分方程成为恒等式的函数称为微分方程

的解.三、微分方程的解(2)特解:确定了通解中任意常数以后的解.微分方程的解的分类：(1)通解:微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的

个数等于微分方程的阶数.例如：的通解为的通解为初始条件:用来确定任意常数的条件.初值问题：求微分方程满足初始条件的特解的问题.一阶:二阶:解：例1验证函数是微分方程是该方程满的通解，并且足初始条件的特解.

将和代入原方程，整理得证明结束了吗？能直接说是通解吗？解：例1验证函数是微分方程是该方程满的通解，并且足初始条件的特解.

所求特解为又因为此解中含有两个相互独立的任意常数，且方程是二阶的，所以是原微分方程的通解.解答：中不含任意常数，故为微分方程的特解.思考:通解：解中含有独立的任意常数，个数等于方程的阶数.初始条件特解：确定了通解中任意常数的解（解中不含任意常数）.初值问题.四、小结含有未

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