《高等数学（经济类）下册 第2版》课件 9-2 偏导数

第九章多元函数微分学第二节偏导数一、一阶偏导数的定义二、高阶偏导数三、小结

在一元函数的微分学中，我们知道导数是函数增量与自变量增量比值的极限，它反映了函数对自变量的变化率。在实际问题中，对于多元函数仍然要考虑函数随自变量变化时的变化率。

二元函数含有两个自变量，在考虑因变量对自变量的变化率时，我们可以把其中一个变量看成常数，讨论因变量对另一个自变量的变化率。一、一阶偏导数的定义

设函数在点的某个邻域内有定义，当自变量获得增量（点仍在该邻域内）时，函数相应地有一个增量,如果极限存在，则称在点可导，记作.复习：一元函数导数的定义1、定义定义1设函数在点的某一邻域内有定义，邻域）时，函数相应地有增量如果极限存在，则称该极限为函数在点处对自变量x的偏导数，记作或也简记为将y固定为，给一个增量（点仍属于这个类似地，函数在点处对的偏导数定义为或也简记为记作

按照上述所给的记法，有若函数在区域内的每一点处对x的偏导数都数都存在，那么这个偏导数仍是区域内的函数，称它的偏导函数（简称偏导数），记作为该函数关于自变量或，也简记为同样，对的偏导函数，记作或，也简记为可以看出，求二元函数关于时，就是把中的y或x看成常数，然后x或y的偏导（函）数对x或y求导，这就相当于一元函数导数的计算.例1

设求在点处的偏导数.解法1把看作常量，而对求导，得解法2

由得因此

把看作常量，而对求导，得同理

例2

求函数的偏导数.解

把看作常量，对求导得把看作常量，对求导得例3

求函数的偏导数.解

把看作常量，对求导得把看作常量，对求导得解故例4

设函数求

若求出偏导数后再代入点，计算量繁琐。而若先将非求偏导的变量的数值代入，化为一元函数再求导，可以达到简化的目的.先确定即解函数可以写为则例5

求函数的偏导数.偏导数的概念可以推广到三元或三元以上的多元函数中。求三元函数u=f(x,y,z)在(x,y,z)点处对x的偏导数时，只需视y,z为常数，利用一元函数求导法即可.如三元函数u=f(x,y,z)在(x,y,z)点处对x的偏导数为例6

求函数的偏导数.解例7

已知一定量理想气体的状态方程为PV=RT（R为常数）证明证因为所以

例7表明，与一元函数的导数是微商不同，偏导数的记号是一个整体，不能看作是分子与分母的商.2、偏导数的几何意义0xyzx0y0二元函数z=f(x,y)在点处对于x的偏导数就是x的一元函数在处的导数.是曲面z=f(x,y)与平面的交线l.就是曲线在点处的切线关于轴的斜率．处的切线关于为曲线在点轴的斜率．同理知，3、函数偏导数存在与函数连续的关系一元函数中在某点可导

连续多元函数中在某点偏导数存在连续？例8

求函数在(0,0)点处的偏导数,并讨论函数在(0,0)点处的连续性.解

由偏导数的定义，有显然，函数f(x,y)在(0,0)点处偏导数存在,但函数在该点处是不连续的.例8说明：二元函数在一点处偏导数存在不能保证函数在该点处连续；反之，在一点连续也不能保证它在这点的偏导数存在.即：二元函数偏导存在和连续无关！二、高阶偏导数1、高阶偏导数的概念设函数在区域内有偏导数及那么这两个偏导数也是区域D内关于x和y的二元函数.及在区域D内也都有偏导数，则称此偏导如果为函数的二阶偏导数.共有四个二阶偏导数：例9

设二元函数，求解先求出一阶偏导数因此注意：1.要先求出一阶偏导数，再求高阶偏导数；2.两个混合偏导数有区别吗？它们一定相等吗？2、混合偏导数相等的条件定理

若函数的两个二阶混合偏导数及在区域连续，那么在区域内必有

可以看到，在定理的条件下，二阶混合偏导数与求导的顺序无关.例10

验证函数满足拉普拉斯方程证由于