高考数学二轮复习：函数的图象与性质-学案讲义

rd专题突破

专题一函数与导数

第1讲函数的图象与性质

[考情分析]1.函数的图象与性质是高考考查的重点和热点，主要考查函数的定义域与值域、

分段函数、函数图象的识别与应用以及函数性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性）的综合

应用，难度属于中等及以上.2.此部分内容多以选择题、填空题的形式出现，有时在压轴题的

位置，多与导数、不等式、创新性问题相结合命题.

考点一函数的概念与表示

【核心提炼】

1.复合函数的定义域

（1）若/（%）的定义域为[如n\,则在中，由加Wg（%）w〃解得x的范围即为八米%））的定义

域.

（2）若/（g（x））的定义域为[徵，〃],则由mWxW〃得到g（x）的范围，即为«x）的定义域.

2.分段函数

分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数值域的并集.

例1（1）（2023•南昌模拟）已知函数人x）的定义域为（1,+8）,则函数代劝=/（2，—3）+产G的

定义域为（）

A.（2,引B.（-2,3]

C.[-2,3]D.（0,3]

答案A

[2X-3>1,fx>2,

解析由题可知，\、1今2aW3,故函数F（x）的定义域为（2,3].

13一九三0]xW3

（一1+7,

（2）（2023・重庆模拟）设〃>0且若函数於）=।’的值域是⑶+oo）,贝।〃

[3十log。X,x>2

的取值范围是（）

A.[^2,+8）B.（1,也）

C.（1,^2]D.（卷+8）

答案c

_x+7,xW2,

,m>0且aWl)的值域是［5,+°°),

{3+logaX,x>2

故当xW2时，满足式x)=7-x25.

若a>l,/(x)=3+logG在它的定义域上为增函数，

当x>2时，由式x)=3+log“x25,

得log。22,logfl222,

；.l<aWp.

若0<a<l,Kx)=3+log°x在它的定义域上为减函数，/(x)=3+logflx<3+logfl2<3,不满足其尤)

的值域是［5,+00).

综上可得l<aWp.

规律方法(1)形如黄g(x))的函数求值时，应遵循先内后外的原则.

(2)对于分段函数的求值(解不等式)问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解.

［x~3,%210,

跟踪演练1⑴(2023・潍坊模拟)设函数加)=L一、、s则型)等于()

x<10,

A.10B.9C.7D.6

答案C

解析因为於户fx疏—3+,4x))2,10.<,10,

则18)=欢12))=犬9)=州13))

=<10)=7.

(2)(多选)设函数式X)的定义域为。，如果对任意的Xd。，存在yG。，使得八x)=—%)成立，

则称函数1X)为函数”.下列为函数”的是()

A./(x)=sinxcosxB.式无)=lnx+e*

C.fix')—2KD.fix')—x1—lx

答案AB

解析由题意，得函数"的值域关于原点对称.A中&)=sinxcosx=；sin2xG1,

其值域关于原点对称，故A是函数”；B中，函数八x)=lnx+e，的值域为R,故B是“M

函数”；C中，因为式0=2工>0,故C不是函数”；D中，八x)=K—2x=(x—Ip—1N—

1,其值域不关于原点对称，故D不是函数”.

考点二函数的图象

【核心提炼】

1.作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、

伸缩变换、对称变换.

2.利用函数图象可以判断函数的单调性、奇偶性，作图时要准确画出图象的特点.

例2(1)(2023咛波十校联考涵数段)=ln|Rcos(1+2x)的图象可能为()

答案A

解析因为函数/(x)=ln|刃85e+2%)

=—In|x|sin2x,定义域为(一8,0)U(0,+°°),

且共一x)=—In|一%|sin(­2x)=ln|x|sin2x=—fix),

所以函数兀r)为奇函数，图象关于原点对称，故排除选项B,D；

当x£(0,l)时，In|x|<0,sin2x>0,

所以1%)=-In|x|sin2x>0,故排除选项C.

--4%,

右*X\<冗2<%3<^4，月^=f(X2)=

{|10g2%bX>0,

加3)="工4)，则下列结论正确的是()

A.x\~\~X2=-4

B.13%4—1

C.1<X4<4

D.0<%IX2%3%4W4

答案AB

f—R—4%,

解析函数加)=[।'八’的图象如图所示,

L|10g2X|,X>0

设1Xl)=/(无2)=/(X3)=/(X4)=f,则0<f<4,

则直线y=f与函数y=/(x)的图象的4个交点横坐标分别为xi,及，心，x4,

对于A,函数y=—f—4x的图象关于直线x=-2对称，则为+苫2=—4,故A正确；

对于B,由图象可知|10g2X3l=|10g2%4］,且0<尤3<1<%4,

所以一10g2X3=10g2X4,即log2(X3%4)=0,所以尤3%4=1,故B正确；

当xWO时，—(x+2)2+4^4,

由图象可知log2X4d(0,4),则故C错误；

由图象可知一4<%1<一2,

所以XIMX3X4=XI(—4—尤1)=—xi—4xi=—(XI+2)2+4e(0,4),故D错误.

规律方法(1)确定函数图象的主要方法是利用函数的性质，如定义域、奇偶性、单调性等,

特别是利用一些特殊点排除不符合要求的图象.

(2)函数图象的应用主要体现为数形结合思想，借助于函数图象的特点和变化规律，求解有关

不等式恒成立、最值、交点、方程的根等问题.

跟踪演练2(1)(2022•全国乙卷)如图是下列四个函数中的某个函数在区间［—3,3］的大致图

象，则该函数是()

—xi-\~3x

A-y=7+1

_2xcosx

c-产KF

答案A

解析对于选项B,当x=l时，y=0,与图象不符，故排除B；对于选项D,当x=3时，y

=1sin3>0,与图象不符，故排除D；对于选项C,当0<x法时，0<cosx<l,故》=笔詈

〈卢*W1,与图象不符，所以排除C.故选A.

[—lx,—IWXWO,

(2)已知函数八x)=则下列图象错误的是()

[A/X,0<XW1,

答案D

解析当一1W尤WO时，fix)——lx,表不一条线段，且线段经过(一1,2)和(0,0)两点.

当0<xWl时，兀0=近，表示一段曲线.函数/(x)的图象如图所示.

兀v—1)的图象可由兀r)的图象向右平移一个单位长度得到，故A正确；八一x)的图象可由人x)

的图象关于y轴对称后得到，故B正确；由于大尤)的值域为[0,2],故兀t)=|/(x)|,故依叫的图

象与犬犬)的图象完全相同，故C正确；很明显D中川尤|)的图象不正确.

考点三函数的性质

【核心提炼】

1.函数的奇偶性

(1)定义：若函数的定义域关于原点对称，则有

7(x)是偶函数。火-x)=»=Akl)；

«x)是奇函数0/(—x)=—fix).

(2)判断方法：定义法、图象法、奇偶函数性质法(如奇函数X奇函数是偶函数).

2.函数单调性判断方法：定义法、图象法、导数法.

3.函数的周期性

若函数/(x)满足/(x+a)=/(；La)或/(x+2a)=/(x),则函数y=/(X)的周期为21al.

4.函数图象的对称中心和对称轴

(1)若函数/(x)满足关系式黄。+龙)+黄。一尤)=2b,则函数y=Kx)的图象关于点(a,b)对称.

(2)若函数人x)满足关系式y(a+x)=y(6—x),则函数y=/(x)的图象关于直线对称.

考向1单调性与奇偶性

例3(2023-泰安模拟)已知奇函数/(x)在R上是减函数，g(x)=^x),若a=g(—log25.l),b=

g(3),c=g(2"),则0,b,c的大小关系为()

A.a<b<cB.c<b<a

C.b<c<aD.b<a<c

答案D

解析因为/(x)为奇函数且在R上是减函数，

所以六一无尸一加)，且当x>0时，於)<0.

因为g(x)=xj[x),

所以8(一月=-求一尤)=对(力，

故g(x)为偶函数.

当x>0时，g'(无)=黄尤)+对''(尤)，

因为五犬)<0,/(x)<0,所以g'(劝<0.

即g(x)在(0,+8)上单调递减.

a=g(—log25.1)=g(log25.1),

因为3=Iog28>log25.l>log24=2>20-8,

08

所以^(3)<g(log25.1)<g(2),即b<a<c.

考向2奇偶性、周期性与对称性

例4(多选X2023•盐城统考)已知函数兀)g(x)的定义域均为R,八x)为偶函数，且兀c)+g(2

—x)=l,g(x)—Xx—4)=3,下列说法正确的有()

A.函数g(x)的图象关于直线x=l对称

B.函数五x)的图象关于点(一1,一1)对称

C.函数/(x)是以4为周期的周期函数

D.函数g(x)是以6为周期的周期函数

答案BC

解析对于A选项，因为式划为偶函数，

所以八一x)=/(x).

由式x)+g(2—x)=l,

可得八一x)+g(2+尤)=1,

可得g(2+x)=g(2—x),

所以函数g(x)的图象关于直线x=2对称，A错误;

对于B选项，因为g(x)—八工-4)=3,

则g(2一尤)一八一2-x)=3,

又因为y(x)+g(2—x)=i,

可得於O+八一2—X)=—2,

所以函数/(x)的图象关于点(一1,—1)对称，B正确；

对于C选项，因为函数段)为偶函数，

且儿D十五—2—x)=-2,

则人x)+«r+2)=—2,

从而尤+2)+y(x+4)=—2,

则“x+4)=/(x),

所以函数«r)是以4为周期的周期函数，C正确；

对于D选项，因为g(无)一4)=3,

且八x)=/(x—4),

所以g(x)~f(x)=3,

又因为y(x)+g(2—尤)=1,

所以ga)+g(2—x)=4,

又因为g(2—x)=g(2+x),

则g(x)+g(x+2)=4,

所以g(x+2)+g(x+4)=4,

故g(x+4)=g(x),

因此函数g(x)是周期为4的周期函数，D错误.

二级结论(1)若式x+a)=-/(尤)(或於+。)=点，其中无)#0,则人功的周期为21a.

⑵若«r)的图象关于直线x=q和1=/?对称，则/(%)的周期为2|〃一回.

(3)若兀x)的图象关于点(〃,0)和直线％=/?对称，则黄x)的周期为4\a-b\.

跟踪演练3(1)(2023•林芝模拟)已知定义在R上的函数段)在(-8,2］上单调递减，且於十

2)为偶函数，则不等式八%—1)次2%)的解集为()

A(-8,—|^U(6,+°0)

B.(―0°,—+8)

c(~y1

答案D

解析•函数Kr+2)为偶函数，

/./(-x+2)=>+2),即大2—x)=/(2+x),

函数大力的图象关于直线x=2对称，

又•••函数式x)的定义域为R,在区间(一8,2]上单调递减,

函数人x)在区间(2,+8)上单调递增，

,由近尤一1)/2x)得|(x—l)-2|>|2x-2|,

解得1,红

(2)(多选)已知函数/(x),g(x)的定义域为R,g'(x)为g(x)的导函数,g(x)为偶函数且y(x)+g'(尤)

=2,j{x)—g'(4-x)—2,则下列结论正确的是()

A.g'(x)为奇函数B.犬2)=2

C.g'(2)=2D.fil022)=2

答案ABD

解析..,8(尤)为偶函数，；.8(-%)=8(%),

••—g'(-x)=g'(x),即g'(尤)为奇函数,故A正确；

又兀0+g'(无)=2,(4一%)=2,

伏2)+g'(2)=2,

令x—2,则彳,

卜2)—g‘(2)=2,

解得/2)=2,g'(2)=0,

故B正确，C错误；

,♦VU)—g'(4—尤)=2,.\/(x+4)—g'(―x)=2,

又g'(无)为奇函数，则五x+4)+g'(x)=2,

又兀v)+g'(尤)=2,

.­->+4)=»,

故式x)是以4为周期的周期函数，

.\/(2022)=/(2)=2,故D正确.

专题强化练

一、单项选择题

1.(2023・台州质检)已知函数同时满足性质：①A—x)=yu)；②当Vxi,%26(0,1)时,

曲)二段2)<0,则函数於)可能为()

X]%2

A.fix)=jcB.X^)=(2)'

C.fix)—cos4xD./(x)=ln(l—|x|)

答案D

解析①A-x)=/U)说明式x)为偶函数，②VX1,尤2^(0,1),四)["“)<o说明函数在(0,1)上

X1—X2

单调递减.A不满足②；B不满足①；因为危尸cos4尤在(0,习上单调递减，在保1)上单

调递增，所以C不满足②；D满足①，当xG(0,l)时，式x)=ln(l—x)单调递减，也满足②.

2.(2023•成都模拟)要得到函数尸《)2的图象，只需将指数函数尸的图象()

A.向左平移1个单位长度

B.向右平移1个单位长度

C.向左平移3个单位长度

D.向右平移义个单位长度

答案D

解析由向右平移g个单位长度，得2)=(；)2厂1.

2X~2~X

3.(2023・南宁模拟)函数加)=J..的图象大致是()

答案c

2X-2~X

解析

1-X2'

函数定义域为(一8,-1)U(-1,1)U(1,+8),

2r—2工2X—2~X

——火工),

1—X21—X2

函数为奇函数，排除B,D；

23—2-363

/3)=一2=一位，

24-2-417

{4)=]_42=一蚤，

故人3）/4）,排除A.

4.（2023•天津）函数兀0的图象如图所示，则危）的解析式可能为（）

5(er-e--r)

A-©一r+2

)

5d+er2

c-小尸FT

一〜、5cos%

D.»=T+T

D

解析由题图知，函数图象关于y轴对称，其为偶函数，且人-2）=八2）<0,

A,B为奇函数，排除；

当x>0时，％,即C中的函数图象在（0,+8）上函数值为正，排除，故选D.

5.（2023・新高考全国I）设函数加）=2总“）在区间（0,1）上单调递减，则。的取值范围是（）

A.（-8,-2]B.[-2,0）

C.（0,2]D.[2,+8）

答案D

解析函数y=2]在R上是增函数，而函数於）=2M厂0在区间（0,1）上单调递减，

则函数y=x（x—〃）=1%——点在区间（0』）上单调递减，

因此拉1,解得心2,

所以〃的取值范围是[2,+°°）.

Inx,冗21,

6.（2023•大庆模拟）已知函数段）=<0，Of若12〃一1）—1<0,则实数〃的取值范围

x,x<0,

是（）

e+l,

A.F，+°0

——£)u0,e+1

B.~2~

e+1

C.0,~T~

e+1

D.—8,-y

答案D

解析因为犬2°—1)—1W0今犬2°—1)W1.

①当2a—121时，

e+1

fila-l)=ln(2〃一1)W1n1

②当0W2a—1<1,即吴°<1时,

犬2a—1)W1恒成立.

③当2a—1<0,即'时,

fi2a—1)W1怛成立.

e+1

综上所述，

7.(2023・大连模拟)已知对于每一对正实数无，y,函数小)都满足：加)+处)=加+》)一孙一1,

若共1)=1,则满足/i>)=w(〃GN*)的〃的个数是()

A.1B.2C.3D.4

答案A

解析令y=l得40+；U)=Ax+l)—无一1,

即人《+1)—XX)=%+2,

故当xGN*时，>+1)-»>0,

又犬1)=1,式2)=4,故人x)>0在xGN*上恒成立，且五尤)在xGN*上单调递增，所以满足加1)

="(wGN*)仅有式1)=1,即〃仅有1个.

8.(2023・西安模拟)已知函数应x)及其导函数/'(%)定义域均为R,记函数gCr)=f(x),若函

,3、2024

数的图象关于点(3,0)中心对称,g(2x+]J为偶函数,且g⑴=2,g(3)=-3,则石g(份等

于()

A.672B.674C.676D.678

答案D

解析因为兀r)的图象关于点(3,0)中心对称,

所以兀c+3)=-A—x+3),则犬x)=-A—尤+6),

所以/(x)=/'(—x+6),即g(x)=g(—x+6),

所以g(x+3)=g(—x+3),

所以函数g(x)的图象关于直线x=3对称.

又gg+2x)为偶函数，

所以2x^,

所以g(x)的图象关于直线x=|对称，

所以g(x+3)=g©+|—X)=g©—|+x)=g(x),

所以g(x)的周期为T=3.

由g(l+j=g(1—j,得g(2)=g(l)=2.

又g(3)=-3,所以g(l)+g(2)+g(3)=l.

2024

故3g/)=[g(l)+g(2)+g(3)]X674+g(l)+g(2)=674+4=678.

二、多项选择题

9.(2023•大同模拟)十九世纪德国数学家狄利克雷提出了“狄利克雷函数"。(x)=

”,xCQ,

八ec它在现代数学的发展过程中有着重要意义，若函数式x)=/—O(x),则下列函

[0,XGIRQ,

数/U)的函数值可能是()

A.3B.2C.1D.0

答案ABD

—],x£Q,

解析由题意可知危)=1—?P

丫，RQ.

所以月1)=12—1=0,人也)=陋)2=2,五小)=(/)2=3,而y(x)=l无解.

相2—2Wx<l

10.已知函数兀r)=|关于函数/(x)的结论正确的是()

[―尤十2,无三1,

A.八元)的定义域为R

B.八龙)的值域为(-8,4]

C.若大劝=2,则x的值是一g

D.»<1的解集为(一1,1)

答案BC

%2_2Wx<l

,’的定义域是[—2,+8）,故A错误；

{一x十2,尤31

当一2Wx<l时，式x）=/的值域为[0,4],当时，fix）=~x+2的值域为（一8,1],故人x）

的值域为（一8,4],故B正确；

当时，令八龙）=一尤+2=2,无解，当一2Wx<l时，令式无）=/=2,得到x=—啦，故C

正确；

当一2W无<1时，令兀0=/<1,解得一14<1,当龙21时，令式x）=-x+2<l,解得x>l,故

/x）<l的解集为（-+8）,故D错误.

11.（2023•上饶模拟）关于函数作）=2$正*+&|也的说法正确的是（）

A.函数/U）的图象关于y轴对称

B,函数式尤）的图象关于直线尤=倒称

C.函数加c）的最小正周期为2兀

D.函数的最小值为2

答案ABD

解析对于A,八%）的定义域为R,

因为五一；0=2$皿-工）+弓）皿一力

=d）sinA+2sinx=Xx）,

所以/（x）是R上的偶函数，

所以函数人x）的图象关于y轴对称，故A正确；

对于B,对于任意的xGR,

兀一无）=2Sin（"F+（£]sin（nr）=2sin工+⑤sinx=大尤），

所以函数人x）的图象关于直线％=胃对称，

故B正确；

对于C,因为/（7l+x）=2sinm+x）+&sinE+x）

一_si.nx\小——s・inx

-2十①

=2sinx+[j）sinx=Xx）,

所以无为函数负x）的一个周期，故2%不是函数为0的最小正周期，故c错误；

r1-

对于D,设/=2而％£2,

则人力=1+},因为f+：N2,当且仅当/=即/=1时等号成立，

所以函数式X)的最小值为2,故D正确.

12.(2023•嘉兴模拟)设函数式尤)的定义域为R,其导函数为7'Q),若(一尤)=fQ),负2尤)

+42—2x)=3,则下列结论一定正确的是()

A.八1一龙)+黄1+尤)=3

B.f(2-x)=r(2+x)

c.f'g—尤))=/々1+x))

D."(x+2))="Q))

答案ABD

解析人2尤)+42—2尤)=3,

令x=2无，得应x)+/(2—x)=3,令x=x+l,

得共1—x)+yu+尤)=3,故A正确；

由选项A的分析知人x)+K2—x)=3,等式两边同时求导，

得J⑴一(2—尤)=0,即/'(x)=f(2—x),①

又/(x)=f(一X),，(X)为偶函数，

所以/(2—x)=f(无一2),②

由①②得,(x)=f(X—2),所以函数/(x)的周期为2.

所以/(2—x)=f(x)=f(2+x),

即/(2—x)=f(2+x),故B正确；

由选项B的分析知了'(2—x)